制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/線形定常性

$p(D)x={\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}x}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {dx}{dt}}+a_{n}x=0$

は $a_{i}$ が定数であるため，系の特性は時が経過しても不変である．したがってその解も時間軸を移動させても変わらないことが当然予想される． このことを用いて $t_{0}\neq 0$ で初期値が与えられている時の解法を見出すことができる．

定常性の原理 Ⅰ

$\varphi (t)$ が $p(D)x=0$ の解ならば，$\varphi (t+\alpha )$ も同じく解となる．ここに $\alpha$ は定数である．

証明

${\frac {d^{n}\varphi (t)}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}\varphi (t)}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}\varphi (t)}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}+a_{n}\varphi (t)\equiv 0$

において $t$ を $t+\alpha$ に置き換えると，

${\frac {d^{n}\varphi (t+\alpha )}{d(t+\alpha )^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}\varphi (t+\alpha )}{d(t+\alpha )^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}\varphi (t+\alpha )}{d(t+\alpha )^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {d\varphi (t+\alpha )}{d(t+\alpha )}}+a_{n}\varphi (t+\alpha )\equiv 0$

となる．ここで，

${\frac {d^{k}\varphi (t+\alpha )}{d(t+\alpha )^{k}}}={\frac {d^{k}\varphi (t+\alpha )}{dt^{k}}}\quad (k=1,2,\cdots )$

が成立するので所要の結果が得られる．事実 $k=1$ の場合は，$\tau :=t+\alpha$ とおくと，

${\frac {d\varphi (t+\alpha )}{dt}}={\frac {d\varphi (\tau )}{dt}}={\frac {d\varphi (\tau )}{d\tau }}\cdot {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {d\varphi (\tau )}{d\tau }}$

$\therefore {\frac {d\varphi (t+\alpha )}{dt}}={\frac {d\varphi (t+\alpha )}{d(t+\alpha )}}$

となる．$k\geqq 2$ の場合も同様である．

$\diamondsuit$

つまり微分演算子が不変，すなわち $D_{t}=D_{t+\alpha }$ であるので，一般に $a_{i}$ が定数であるから $p_{t+\alpha }(D)=p_{t}(D)$ が成立するということである．ここで添え字で微分する変数を示した．

例68$\quad$

$x(t)=\cos \beta t$ は

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta ^{2}x=0$

の $x(0)=1,x'(0)=0$ の解である．定常性の原理 Ⅰによって，

$x(t)=\cos \beta (t-t_{0})$

も上の微分方程式の解である．しかも

$x(t_{0})=1,x'(t_{0})=0$

を満足する． $\diamondsuit$

また非同次式の場合は，

${\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x(t)}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}x(t)}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {dx(t)}{dt}}+a_{n}x(t)\equiv f(t)$

において，$t$ を $t+\alpha$ とおくと，

${\frac {d^{n}x(t+\alpha )}{d(t+\alpha )^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x(t+\alpha )}{d(t+\alpha )^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}x(t+\alpha )}{d(t+\alpha )^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {dx(t+\alpha )}{d(t+\alpha )}}+a_{n}x(t+\alpha )=f(t+\alpha )$

前と同様の議論により，

$p(D)x={\frac {d^{n}x(t+\alpha )}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x(t+\alpha )}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}x(t+\alpha )}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {dx(t+\alpha )}{dt}}+a_{n}x(t+\alpha )\equiv f(t+\alpha )$

となる．よって，

定常性の原理 Ⅱ

$x(t)$ を $p(D)x=f(t)$ の解とすると，$x(t+\alpha )$ は，

$p(D)x=f(t+\alpha )$

の解となる． $\diamondsuit$