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さて,これまでの議論は前座であり,ここからが本論となる.
前章で述べた Laplace 変換による解法を顧みて,果たして正しい解が得られているのか否かを吟味しよう.
取り扱う対象は定数係数の線形微分方程式,
(3.1)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}x}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86bc6dc2028ec149a326a112e8d23dae1099ba1e)
および,
(3.2)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}x}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n}x=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85880878463cc8510a1e6baefd0d6267adc05066)
であり,いずれも初期値,
(3.3)
![{\displaystyle x(0)=\xi _{1},x'(0)=\xi _{2},\cdots ,x^{(n-1)}(0)=\xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a4f26b8795cf9a16ce3c69f5c7ba696e7749bc)
を満たす解を求めることが問題であるとする.解法の手順は次の通りであった.
式(3.1) を初期値,式(3.3)の下に Laplace 変換すれば,
![{\displaystyle \{s^{n}{\mathcal {L}}[x]-\xi _{1}s^{n-1}-\xi _{2}s^{n-2}-\cdots -\xi _{n}\}+a_{1}\{s^{n-1}{\mathcal {L}}[x]-\xi _{1}s^{n-2}-\cdots -\xi _{n-1}\}+\cdots +a_{n}{\mathcal {L}}[x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42343111824ecd1ccc29d44370ead51b6555fa9)
である.これを
について解けば,
(3.4)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[x]={\frac {b_{1}s^{n-1}+b_{2}s^{n-2}+\cdots +b_{n}}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7ede8aa6f7aac755a333217ff45561b508d554)
ここに,
(3.5)
![{\displaystyle \left({\begin{array}{c}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{n}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}1\\a_{1}&1&\\a_{2}&a_{1}&1&\\\vdots &&&\ddots &\\a_{n-1}&a_{n-2}&\cdots &a_{1}&1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\xi _{1}\\\xi _{2}\\\xi _{3}\\\vdots \\\xi _{n}\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5724df38153d07063f1529caeeaec8f24728401)
となる.同様に式(3.2),(3.3)を Laplace 変換し
を求めると,
(3.6)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[x]={\frac {b_{1}s^{n-1}+b_{2}s^{n-2}+\cdots +b_{n}}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}}}+{\frac {{\mathcal {L}}[f]}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d361e65483e775b3fe842aab10a99a901cf9693)
となる.そこで,
![{\displaystyle {\frac {b_{1}s^{n-1}+b_{2}s^{n-2}+\cdots +b_{n}}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}}}\sqsubset x_{0}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29233f667d41c5cd906b21356ebacfd6b54c0054)
![{\displaystyle {\frac {1}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n}}}\sqsubset g(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/913e13f24f1e6ec8dc80c17f3add7d7ed3859961)
とすると,式(3.1),(3.3)の解は,
(3.7)
![{\displaystyle x=x_{0}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464d4fcf40bb85a4697a76e88c55a1a672bce658)
式(3.2),(3.3)の解は,
(3.8)
[1]
となる,ということであった.ここに
は合成積を表す.
これだけの議論で果たして式(3.7),(3.8)が
(3.1),(3.3);
(3.2),(3.3)の解であると結論することができるであろうか.
それを吟味することが,この章の目的である.
吟味の詳細に入る前に,これまでで得られた結果をまとめておこう.
定理3.1
式(3.1),(3.3) あるいは
式(3.3),(3.3)
の解の Laplace 変換
に対して次の事実が成り立つ.
(Ⅰ) 分母は初期値に無関係に,微分方程式の形だけで決まる.
(Ⅱ) 分子は初期値によって決まる.しかも
の分子多項式
![{\displaystyle b_{1}s^{n-1}+b_{2}s^{n-2}+b_{3}s^{n-3}+\cdots +b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a450c304a58a3aff9b579e1db250f755dfbea7)
は初期値
と 1:1 に対応する.
以上より,異なる初期値には異なる
が対応する.
さらに吟味を続ける.上の解法の手順を要約すると,
- 《作業 1》 解
が存在すると仮定して,
を計算する.
- 《作業 2》 求まった
に対して
となる
を見つける.
- 《作業 3》
が解である.
となる.この推論は正しいのであろうか.このようにまとめられると,誰しも不安を感ぜざるを得ないであろう.この不安を取り除く方法は,
- (1)
が解であることを直接確かめる
のが一番の良策である.さらに,
- (2)
以外に解がない
ことが確かめられたらさらによい.その上,
- (3)
で初期値が与えられたときの解の見つけ方
を知っておくことも必要である.
この章では,線形定常常微分方程式論からの若干の話題を準備しながら,これらの問題の解決を与えることにしよう.
- ^
を過渡解,
を定常解と呼ぶこともある.