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一般論に入る前に,まず一つの例を与える.
(3.20)
の解を,特に初期値を指定しないで求めてみよう.
Laplace 変換すると,
について整理すると,
となる.この式の右辺は の 2 次式である. をとくに指定しないので,一般には高々 2 次式の多項式となる.
これを とおこう.すると,
とまとまる.これを部分分数に展開すると,
ここで初期値を指定していないので は未定の定数である.この原像は,
(3.21)
となる.すでに述べたことであるが,3 階の微分方程式は一般に 3 個の未定定数を含む.
このような解を一般解と呼んでいる.“一般”という意味は を適当に選ぶことによって,どのように初期値を与えてもそれを満たす解が
式 (3.21) から作れるという意味である.
そのことを確かめよう.初期値を,
と与えると,
(3.22)
とならなければならないが,この係数の作る行列式は
3 行目に 1 行目を加えて,
となり,これは がどんな値であっても,決して とはならない.
よって式 (3.22) を満たす が一意に確定する.このことは,
(3.23)
が式 (3.20) の解であって,
しかも 1 次独立であることに起因する.このことの詳細は次節に示すこととし,ここでは 式 (3.23) が 1 次独立であることを示しておこう.
(3.24)
から を導けばよい.それにはまず 式 (3.24) に を作用させるとよい.このとき と の項は消えて,
となる.次に,
において とおくと を得,ついで を得る.
このように,3 階の線形微分方程式は常に 3 個の 1 次独立な解をもち,その 1 次結合が一般解となるのである.
一般の場合の証明も,この例とほぼ同様にして示される.
例77
次の微分方程式の一般解を求めよ.
解答例
例78
次の微分方程式の一般解を求めよ.
解答例
例79
次の微分方程式の一般解を求めよ.
解答例
例80
一般解は Laplace 変換によらずとも,特性多項式を見れば直ちに分かる.どうしてか.
解答例