このあたりで,2階の線形微分方程式の解き方をまとめておこう.
(2.24)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a{\frac {dx}{dt}}+bx=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc16b73464bd277951a9abfcfd2bbd0f4527a4d6)
ここに,
は実定数とする.
この式を Laplace 変換すると,
![{\displaystyle \{s^{2}{\mathcal {L}}[x]-x(0)s-x'(0)\}+a\{s{\mathcal {L}}[x]-x(0)\}+b{\mathcal {L}}[x]={\mathcal {L}}[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43cc95cfb70ce5a8eb2ccc38f61cb960e2df634)
となる.これを
について解くと,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[x]={\frac {cs+d}{s^{2}+as+b}}+{\frac {{\mathcal {L}}[f]}{s^{2}+as+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e7a2c090f398a54e0d4d58d0e7ab9943723f918)
ここに,
![{\displaystyle c=x(0),d=x'(0)+ax(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66cf53896c8885a282b321e17dfc6b8e183c620)
いま,
![{\displaystyle {\frac {cs+d}{s^{2}+as+b}}\sqsubset x_{0}(t),\quad {\frac {1}{s^{2}+as+b}}\sqsubset g(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4935a0922c137024c07784150d9d176868667955)
とすれば,式(2.24) の解は,
![{\displaystyle x(t)=x_{0}(t)+\int _{0}^{t}g(t-\tau )f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5073991e818ec3622e025fd50415e80278afa9f5)
となる.したがってあとは,2次の分数式
![{\displaystyle R(s)={\frac {cs+d}{s^{2}+as+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/445a21415f6aeaa5029d8728e30ce505c192c81b)
の原像[1]を求めることだけが残っている.そこで分母の多項式を,
![{\displaystyle h(s):=s^{2}+as+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03c5ed4d01678a6e23861b264ffe1e4d294d9e1)
とおき,次の三つの場合に分けて考える.
(i)
が異なる 2 実根
を持つとき,
![{\displaystyle R(s)={\frac {cs+d}{(s-\alpha )(s-\beta )}}={\frac {A}{s-\alpha }}+{\frac {B}{s-\beta }}\sqsubset Ae^{\alpha t}+Be^{\beta t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b56f60e25c2107b47d324959332bf2cce648ff)
(ii)
が重根
を持つとき,
![{\displaystyle R(s)={\frac {cs+d}{(s-\alpha )^{2}}}={\frac {A}{(s-\alpha )^{2}}}+{\frac {B}{s-\alpha }}\sqsubset (At+B)e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b643e8a67599a1e54765ceb6a8fe1eec3f04f491)
(iii)
が虚根
を持つとき,
![{\displaystyle R(s)={\frac {cs+d}{(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {A(s-\alpha )+\beta B}{(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}\sqsubset e^{\alpha t}(A\cos \beta t+B\sin \beta t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84da09056a5ed11f75b2fc253185542fdeb599c)
となる.
初期値が定まれば
は決まる[2].しかしこのまま未定のまま放置しておいても,与えられた微分方程式の解である.
例48
の原像は,同次微分方程式[3],
(2.25)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a{\frac {dx}{dt}}+bx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dd3af2d0205521086e18d40d16bf9d65085ebf)
の解であることを,直接,式(2.25) に代入して確かめよ.
解答例
(i) 上記
が二実根を持つ場合.
の二根を
とすると,解と係数の関係より
.
よって対応する微分方程式は,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-(\alpha +\beta ){\frac {dx}{dt}}+\alpha \beta x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0e8828a3179aca337b500c03ec7d68d1b939b51)
この解が
であることを、この方程式に直接代入して確かめる.
![{\displaystyle x'=\alpha Ae^{\alpha t}+\beta Be^{\beta t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cb5bca6b62d10c9c9a68b5adae1ab0f92d68e6)
![{\displaystyle x''=\alpha ^{2}Ae^{\alpha t}+\beta ^{2}Be^{\beta t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f37892c3753c4f91cc3ccf4d9e577b408c2f8cd)
![{\displaystyle x''-(\alpha +\beta )x'+\alpha \beta x=\{\alpha ^{2}-\alpha (\alpha +\beta )+\alpha \beta \}Ae^{\alpha t}+\{\beta ^{2}-\beta (\alpha +\beta )+\alpha \beta \}Be^{\beta t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05bdcd7ea97ed6984ac88efb70f1593f8c0f3b3)
.
(i) 上記
が重根を持つ場合.
重根を
とするとき,
対応する微分方程式は,
![{\displaystyle x''-2\alpha x'+\alpha ^{2}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6213aa31de5df904afb7443f4fcfb49dcb48e9f)
この解が
であることを直接代入して確認する.
![{\displaystyle x'=Ae^{\alpha t}+(At+B)\alpha e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27bd18854ed71c1839d17654a3d786714dbed1c0)
![{\displaystyle x''=2A\alpha e^{\alpha t}+(At+B)\alpha ^{2}e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c916365d4f2c2720e23c0ffbe0aeadd8eabb73)
![{\displaystyle x''-2\alpha x'+\alpha ^{2}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9b5052471c6e855c0bda72f71bf3a6607625cc)
![{\displaystyle =2A\alpha e^{\alpha t}+(At+B)\alpha ^{2}e^{\alpha t}-2\alpha \{Ae^{\alpha t}+(At+B)\alpha e^{\alpha t}\}+\alpha ^{2}(At+B)e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3fe920ef324979393df40b5d0fc5b0acfd042ce)
![{\displaystyle =e^{\alpha t}\{2\alpha A+\alpha ^{2}(At+B)-2\alpha A-2\alpha ^{2}(At+B)+\alpha ^{2}(At+B)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f32cf43ef4daace58e9422626212ab61719dfc)
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e)
(i) 上記
が虚根を持つ場合.
二虚根を
とするとき,これを根とする方程式は,
![{\displaystyle (s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}=s^{2}-2\alpha s+\alpha ^{2}+\beta ^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73551b531921c0d8791b12eb8522d1fd8f95884)
対応する微分方程式は
![{\displaystyle x''-2\alpha x'+(\alpha ^{2}+\beta ^{2})x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef2a1170665f7f697042db0aa8c69918ac34e9a)
がこの方程式の解であることを実際に代入して確認する.
![{\displaystyle x'=e^{\alpha t}(-\beta A\sin \beta t+\beta B\cos \beta t)+\alpha e^{\alpha t}(A\cos \beta t+B\sin \beta t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a28297752469810dfc6839b7cd75df7665af95d)
![{\displaystyle =e^{\alpha t}\{(-\beta A+\alpha B)\sin \beta t+(\beta B+\alpha A)\cos \beta t\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e18dfe3615ec1c30ed14d9158e9650a16b9a949c)
![{\displaystyle x''=e^{\alpha t}\{(-\beta ^{2}A+\alpha \beta B)\cos \beta t+(-\beta ^{2}B-\alpha \beta A)\sin \beta t\}+\alpha e^{\alpha t}\{(-\beta A+\alpha B)\sin \beta t+(\beta B+\alpha A)\cos \beta t\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc08a9c14fc6f4b12c25b7e48d74451bb7c885c1)
![{\displaystyle =e^{\alpha t}[\{(\alpha ^{2}-\beta ^{2})B-2\alpha \beta A\}\sin \beta t+\{(\alpha ^{2}-\beta ^{2})A+2\alpha \beta B\}\cos \beta t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc5fca99f0710386c3e819c2eef4d66c14fe8e5)
![{\displaystyle x''-2\alpha x'+(\alpha ^{2}+\beta ^{2})x=e^{\alpha t}[\{(\alpha ^{2}-\beta ^{2})B-2\alpha \beta A+2\alpha \beta A-2\alpha ^{2}B+(\alpha ^{2}+\beta ^{2})B\}\sin \beta t+\{(\alpha ^{2}-\beta ^{2})A+2\alpha \beta B-2\alpha \beta B-2\alpha ^{2}A+(\alpha ^{2}+\beta ^{2})A\}\cos \beta t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5448359c4e44c6310fe4718cf8b0fdfb69619c)
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e)
を未定のまま,放置しておいた解を一般解という.
一般解は,
の分母,すなわち,
![{\displaystyle p(s):=s^{2}+as+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4dcea8acf86dda83457c21dd7ac0ab560984558)
だけによって決まる.この式は式 (2.25) から直ちに書き下すことができる.
これを,微分方程式 (2.25) の特性多項式という[4].
非同次の方程式[5],
(2.26)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a{\frac {dx}{dt}}+bx=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ce36da2c421115926b25cbe5df7899ea8f3821)
の解の一つ,
![{\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}g(t-\tau )f(\tau )d\tau =g*f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f5eb7c5a7cc55b561ad7d6681f0af73b195671)
ここに,
![{\displaystyle g(t)\sqsupset {\frac {1}{s^{2}+as+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d9dc70e81cf6b0073baa695d7b04634fd3b6e7)
[6]が,確かに式 (2.26) を満たすことを確認しておこう.
その前に次の補題を準備する.
補題 2.2
![{\displaystyle {\frac {d(g*f)}{dt}}={\frac {dg}{dt}}*f+g(0)f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7402a7fb9b49199e647e34d893c35c703a0a5f21)
証明
![{\displaystyle g(t)\sqsupset G(s),\quad f(t)\sqsupset F(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265dea9cb7d39db837701b7450aab0dc04171a5e)
とすると,
![{\displaystyle sG(s)F(s)=[sG(s)-g(0)]F(s)+g(0)F(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b2a2d14715c99a411593fe3f5cdb3fb957d969)
となる.この原像が求める公式である.というのは,
![{\displaystyle g*f{\bigg |}_{t=0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87bfa97b93f1b365342f805d0f8a5810e86c899c)
だから[7]である.
このように Laplace 変換を使えば簡単に証明できるが,これを使わない別証を与えておく.
その理由は,「Laplace 変換によって求めた解が正しい解であること」を確認するという目的であるのに,
そのために Laplace 変換を使うのはまずいからである.
別証
![{\displaystyle g*f=\int _{0}^{t}g(t-\tau )f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e1ee525d813eb63ae01d5592889c9850cc430da)
に
[8]
を代入した式,
![{\displaystyle g*f=\int _{0}^{t}\left\{\int _{\tau }^{t}g'(u-\tau )du+g(0)\right\}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e23dbc3e443476939bc7829ca4b8cbe90750abf8)
![{\displaystyle =\int _{0}^{t}d\tau \int _{\tau }^{t}du\ g'(u-\tau )f(\tau )+g(0)\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11908d0a162df46912c7252a74c2f0dfb0058d17)
において,右辺の第 1 項の積分順序を変更する.
合成積 の Laplace 変換を計算したときと同様に考えればよい.積分範囲は三角領域,
![{\displaystyle 0<\tau <u<t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2198d6dee94f511b5dd125157410f4cb2b016d01)
であるから,
![{\displaystyle g*f=\int _{0}^{t}du\int _{0}^{\tau }d\tau g'(u-\tau )f(\tau )+g(0)\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c4427c000558504ef4cd8e429174259623386b)
すなわち
![{\displaystyle g*f=\int _{0}^{t}(g'*f)\ du+g(0)\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49e2837f6fef7c4bf2ecd879a8536ed8ff9d5765)
となる.これを
で微分すればよい.
さて,この合成積の微分をもう一度実行すると,
![{\displaystyle (g*f)''=(g'*f+g(0)f)'=g''*f+g'(0)f+g(0)f'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b4e42a875bc63ce467455543abf31e6f39daacf)
となる.以下帰納的に,公式
(2.28)
![{\displaystyle (g*f)^{(n)}=g^{(n)}*f+\sum _{r=0}^{n-1}g^{(n-1-r)}f^{(r)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bc7a1ae529f25061fb2d97b883fd9c293e4e95d)
を得る[9].ただし
とする.もちろん
は必要なだけ微分可能としている.
さて,これだけ準備しておいて,本題に入ろう.
は
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a{\frac {dx}{dt}}+bx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dd3af2d0205521086e18d40d16bf9d65085ebf)
![{\displaystyle x(0)=0,\quad x'(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954a63e9b10cadbe2ff506cad0c6c96c0994f4d3)
の解である[10]から,
![{\displaystyle (g*f)'=g'*f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f226438d1934bbd4b146cead781e2bb5454beb)
![{\displaystyle (g*f)''=g''*f+f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50e9c146bc73a80606b02e759a1a26b4e4737fd)
となる.よって,
![{\displaystyle (g*f)''+a(g*f)'+b(g*f)=(g''+ag'+bg)*f+f=f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b949de816911b44b1d52396f81f6a67e894148a)
となって証明が完了する.
例49
例にならって
![{\displaystyle x(t)=e^{-at}*f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb87e7ef07fcc741baa6b7f768d422e26c5237b4)
が
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+ax=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872c69731c229772d29f13467b6f2ff2a516ddae)
の解であることを証明してみよ.
解答例
![{\displaystyle x=\int _{0}^{t}e^{-a(t-\tau )}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca2ce03907877a2388faffa2b7fb978bf3c1530)
![{\displaystyle =e^{-at}\int _{0}^{t}e^{a\tau }f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37c73339850f897cee342285a1f1a30f817d608f)
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-ae^{-at}\int _{0}^{t}e^{a\tau }f(\tau )d\tau +e^{-at}\cdot e^{at}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99158c49aad883dd51a1f73c0197f6a1ea428ed5)
![{\displaystyle =-ae^{-at}\int _{0}^{t}e^{a\tau }f(\tau )d\tau +f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3be1db99a9fbd008ad53d6a105cacc9f648be260)
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+ax=-ae^{-at}\int _{0}^{t}e^{a\tau }f(\tau )d\tau +ae^{-at}\int _{0}^{t}e^{a\tau }f(\tau )d\tau +f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aecc1a417bfa27eea1d48fcc2f6ae248b2ac188)
![{\displaystyle =f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657c9ee7c7335d55e2867bdc230289c85232fc7b)
例50
例にならって
![{\displaystyle x(t)={\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02236964decab248116cf6fad048f4342c99246)
が
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\beta ^{2}x=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2c5c6a16c54de32cd5a99a5639e149d5d23c28)
の解であることを証明してみよ.
解答例
![{\displaystyle x(t)={\frac {1}{\beta }}\sin \beta t*f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02236964decab248116cf6fad048f4342c99246)
![{\displaystyle ={\frac {1}{\beta }}\int _{0}^{t}\sin \beta (t-\tau )f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4fa7679cb8ad5deeb161efd336c24176870d7e8)
加法定理)
![{\displaystyle ={\frac {1}{\beta }}\left\{\cos \beta t\int _{0}^{t}\sin \beta \tau f(\tau )d\tau -\cos \beta t\int _{0}^{t}\sin \beta \tau f(\tau )d\tau \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/318d438b6ae61047c0784c64bf62475286b08e54)
![{\displaystyle x'(t)={\frac {1}{\beta }}\left\{\beta \cos \beta t\int _{0}^{t}\cos \beta \tau f(\tau )d\tau +{\color {red}\sin \beta t\cdot \cos \beta tf(t)}+\beta \sin \beta t\int _{0}^{t}\sin \beta \tau f(\tau )d\tau {\color {red}-\cos \beta t\cdot \sin \beta tf(t)}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2205c4194d9fbdc61384a25ae82e1f47cb69a98a)
![{\displaystyle =\cos \beta t\int _{0}^{t}\cos \beta \tau f(\tau )d\tau +\sin \beta t\int _{0}^{t}\sin \beta \tau f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb9d6a9f54af239c922d78c0f0d1ae9e5a3aad0)
![{\displaystyle x''(t)=-\beta \sin \beta t\int _{0}^{t}\cos \beta \tau f(\tau )d\tau +{\color {red}\cos ^{2}\beta t}f(t)+\beta \cos \beta t\int _{0}^{t}\sin \beta \tau f(\tau )d\tau +{\color {red}\sin ^{2}\beta t}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ce829afaa66e3fb8cdb529afabd8c82b70ea3c)
![{\displaystyle =-\beta \sin \beta t\int _{0}^{t}\cos \beta \tau f(\tau )d\tau +\beta \cos \beta t\int _{0}^{t}\sin \beta \tau f(\tau )d\tau +f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c5c42f02ef134cec1381ff21053b41ae516ac16)
![{\displaystyle \therefore x''(t)+\beta ^{2}x(t)=f(t)+\beta \cos \beta t\int _{0}^{t}\sin \beta \tau f(\tau )d\tau -\beta \sin \beta t\int _{0}^{t}\cos \beta \tau f(\tau )d\tau +\beta ^{2}\left\{{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t\int _{0}^{t}\cos \beta \tau f(\tau )d\tau -{\frac {1}{\beta }}\cos \beta t\int _{0}^{t}\sin \beta \tau f(\tau )d\tau \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/183e50d2d7a8b4692a631861cf966ea4b9129b04)
![{\displaystyle =f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657c9ee7c7335d55e2867bdc230289c85232fc7b)
- ^ 過渡解と呼ぶ.
- ^
実際、式(2.24) の初期値として
のとき,
が二実根を持つなら
が重根を持つなら,
が虚根を持つなら
.
- ^ または斉次微分方程式.
- ^ 隣接三項間の線形漸化式にも特性方程式が登場するが,単にそれにとどまらず隣接三項間の漸化式全体がこの二階微分方程式と相似する.
- ^ または非斉次微分方程式.
- ^ 定常解と呼ぶ.
- ^
すなわち,
で
.
- ^
![{\displaystyle g(t)=\int _{x_{0}}^{t}g'(u)du+g(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7812ba53834b3f745f602e4908252fd18a540358)
![{\displaystyle \therefore g(t)=\int _{0}^{t}g'(u)du+g(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c05fe4360935797bdd66f9262df7d702aef1e97)
![{\displaystyle \therefore g(t-\tau )=\int _{0}^{t-\tau }g'(u)du+g(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb5dd4d84d50ec20b0d2f5a23601ca516ab19b4)
.
- ^
![{\displaystyle (g*f)'''=(g''*f+g'(0)f+g(0)f')'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba28534dbb1cd3bf0380478ae7ed10cdae97aed5)
![{\displaystyle =(g''*f)'+g'(0)f'+g(0)f''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cbaac4a3d83a1aa5b1c34036613d20c88a7be9c)
ここで
より
![{\displaystyle (g*f)'''=g'''*f+g''(0)f+g'(0)f'+g(0)f''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0737932ef9c5d1036a755c3f12ef050c7ccee053)
![{\displaystyle (g*f)^{(4)}=(g^{(3)}*f+g^{(2)}(0)f+g^{(1)}(0)f^{(1)}+g(0)f^{(2)})'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225b30b399480bda6d2a8034a22fbfe30607b2b5)
![{\displaystyle =(g^{(3)}*f)'+g^{(2)}(0)f^{(1)}+g^{(1)}(0)f^{(2)}+g(0)f^{(3)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f75726e6dea60f17472d4dafeabe47fc8bee51e7)
ここで
より
![{\displaystyle (g*f)^{(4)}=g^{(4)}*f+g^{(3)}(0)f+g^{(2)}(0)f^{(1)}+g^{(1)}(0)f^{(2)}+g(0)f^{(3)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7dda183ba1ab38bd08d8b83ff0a69f1fc0a71ea)
例によって数学的帰納法による記述は回避する.
- ^
![{\displaystyle g(t)\sqsupset G(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2375de7877bbcb176b8323ef9ba35fadf09cba22)
とおくと
![{\displaystyle G={\frac {1}{s^{2}+as+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16eaf049a90269438c253ff6e26d435d82a80117)
![{\displaystyle s^{2}G+asG+bG=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e151391aa77dd16e36961c0e81a6b0c9e333a31)
すなわち
![{\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}[g]+as{\mathcal {L}}[g]+b{\mathcal {L}}[g]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda675bbd28472e0adb55db8b98752d69565f103)
ここで
![{\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}[g]={\mathcal {L}}[g'']+sg(0)+g'(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90217e3b42ed0a9395c2f67c655944993c7918e8)
![{\displaystyle s{\mathcal {L}}[g]={\mathcal {L}}[g']+g(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb84a6e924dc257ffb40bc06f481f61c371e5650)
より
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[g'']+a{\mathcal {L}}[g']+b{\mathcal {L}}[g]+s\cdot g(0)+ag(0)+g'(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0595b6053f3b31f59096f7cdc8b38c9e5f13b845)
よって
![{\displaystyle g(0)=0,\quad g'(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b90a98a34d231a4fdc41ef85064ffd7ce5195bb)