出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
前節で導いた公式
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[f']=s{\mathcal {L}}[f]-f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7222bca52530729f8b341a4df58b25c4a7bfefd)
において,
とおくと,
であるから,
![{\displaystyle \alpha {\mathcal {L}}[e^{\alpha t}]=s{\mathcal {L}}[e^{\alpha t}]-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/079536495278b56c98de5067a3bb60aa9605c32b)
となる.
![{\displaystyle \therefore {\mathcal {L}}[e^{\alpha t}]={\frac {1}{s-\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cce24da9ba2061996e0465d3425fca332e408e)
よって公式,
(2.12)
![{\displaystyle e^{\alpha t}\sqsupset {\frac {1}{s-\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a2117c65b2b8ecb796afacade91ac7f927d08d)
を得る.
ここで上式の右辺を
で展開してみると,
[1]
すなわち,
![{\displaystyle {\frac {1}{s-\alpha }}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{s^{n+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a32d584df04dc2d81161dd5199cddf43040676)
となるが,この原像は,式(2.8)より,
![{\displaystyle e^{\alpha t}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}t^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1daf17fb3c6e7f8049900d6139068d22af729d92)
である.これは
の Taylor 展開にほかならない.
次に公式(2.12) の応用として 14C による年代測定を説明しよう.
試料に含まれている 14C の濃度を
とすると,
![{\displaystyle {\frac {dc}{dt}}=-\lambda c\quad \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9832665af4e561238d11b757fc0806a742f17af)
は壊変定数
なる微分方程式を満たす.すなわち炭素の放射性同位元素 14C の壊変の速さは,その時の濃度に比例する.この式を Laplace 変換すると
![{\displaystyle s{\mathcal {L}}[c]-c(0)=-\lambda {\mathcal {L}}[c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e5d1be08d19261e5fafa8b01f6e389c5294f3e)
![{\displaystyle \therefore {\mathcal {L}}[c]={\frac {c(0)}{s+\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d000ce319c2812ff910cbce88f95bd011edbd0f0)
この原像は、
![{\displaystyle c(t)=c(0)e^{-\lambda t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc98ba1c3fc54ef4fcb4bfc81e9abe066acdf41)
である.これより経過年数は,
![{\displaystyle t={\frac {1}{\lambda }}\log {\frac {c(0)}{c(t)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f83170bbd2eee7e524a3e331290928227a666ea)
と求まる.
となる時間を半減期といい
で表す.14C の場合は,
![{\displaystyle T_{1/2}=5730}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af6442ec9a0628350d7ab5776aa4d608f2338e27)
年
![{\displaystyle \pm 40}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9349d19fef10021a29abc2c79acdadee0889640)
年
である.半減期が分かれば、壊変定数が分かる.[2]
したがって,初期濃度
が分かれば現在の濃度
を測定することによって経過年数が分かる.これが 14C による年代測定の原理である.
例22
の決定が大問題である.
としては,1950年代の大気中の 14C の濃度をとる.これは奇怪である.理由を調べてみよ.
解答例
不明.
例23
(2.13)
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+ax=f(t),\quad x(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eb4c6e9296f3ce49a30babd26c4ee76e52e2baf)
ここに
![{\displaystyle f(t)={\begin{cases}b,&t\geqq 0\\0,&t<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892ffce84118444669ca5bbbfe1238be13af7436)
を解け.ただし
は定数である.
解
Laplace 変換すると
![{\displaystyle s{\mathcal {L}}[x]+a{\mathcal {L}}[x]={\frac {b}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059ed4b172d4f93451e196a042cbdcd29468cd23)
これを
について解き,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[x]={\frac {b}{s(s+a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce37ebd7ab568e59bf76562e3bc30e957037c42a)
さらに右辺を部分分数分解すると,
[3]
この原像を求めると,
![{\displaystyle x(t)={\frac {b}{a}}\left(1-e^{-at}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfbca6714820e60b97c500c926268a1b3e99cac)
を得る.
この例は,時刻
にスイッチを入れて部屋を暖房したときの温度変化を表す.
は暖房前の室温(外界の温度に等しいと仮定している)からの偏位を表す.
定常状態の温度は,
![{\displaystyle \lim _{t\to \infty }(t)={\frac {b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c45f9401d921e6fa1f17498a113d78235a292abc)
であって,これは供給熱量と外界に逃げる熱量とが平衡を保つ状態での温度を示す.
これは平衡状態の式,すなわち式(2.13) で
とおいた式,
![{\displaystyle ax=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046b82cb3720d07ecbcab36145af8fee0b7a3519)
の解と一致している.
例24
(2.14)
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+ax=f(t),\quad x(0)=x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01783af125cdb8d8f5fb9fc4858d1a0fafaf8f90)
を解け.
解
Laplace 変換すると,
![{\displaystyle s{\mathcal {L}}[x]-x_{0}+a{\mathcal {L}}[x]={\mathcal {L}}[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68342ccb99896e352bfb844cd8ff285bfca25ffa)
![{\displaystyle \therefore {\mathcal {L}}[x]={\frac {x_{0}}{s+a}}+{\frac {{\mathcal {L}}[f]}{s+a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48727e7edb6ff2c5dcdfd40890027a8de01efae)
ところで,
![{\displaystyle {\frac {{\mathcal {L}}[f]}{s+a}}={\frac {1}{s+a}}\cdot {\mathcal {L}}[f]\sqsubset e^{-at}*f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f951796102a91de3f9e3122f0cedf5b2f52fcfff)
となることを想い起こすと,原像は,
(2.15)
![{\displaystyle x(t)=e^{-at}x_{0}+\int _{0}^{t}e^{-a(t-\tau )}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f8f93e9b6fc3d255411a5b99003d2610cf753d)
となる.
式(2.15)は定数変化の公式と呼ばれている重要な公式である.
その名前の由来は次のとおりである.
同次式,
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+ax=0,\quad x(0)=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da343a5fa8abb2beb3833fa09f64a460f7356b5)
の解は,
![{\displaystyle x=ce^{-at}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294895014b76c8d1fa1c8ff97c3188f4cabbb504)
であった.定数
を変数
に置き換えて、非同次の式(2.14)
の解を探す.すなわち,
(2.16)
![{\displaystyle x(t)=u(t)e^{-at}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61a2fffb98005c79490043fcda0f65d0f323ac0)
を式(2.14)に代入すると,
![{\displaystyle e^{-at}{\frac {du}{dt}}-ae^{-at}u+ae^{-at}u=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aca8b3daa4615b0b20c42454ce6562d1a8c19fb)
![{\displaystyle \therefore {\frac {du}{dt}}=e^{at}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcc7a5b96dfca89e970cf377d569b911f447fae)
となる.これを
から
まで積分し,
![{\displaystyle u(t)=\int _{0}^{t}e^{a\tau }f(\tau )d\tau +u(0),\quad u(0)=x(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202fad8a5a660a02d489abf6dc2e45f4f1928d4d)
この結果を式(2.16)に代入すると,
![{\displaystyle x(t)=e^{-at}u(t)=e^{-at}\left(\int _{0}^{t}e^{a\tau }f(\tau )d\tau +x(0)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b5e9c15772c4059ca6050304afa3f1b14fad6a)
![{\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}e^{a\tau -at}f(\tau )d\tau +e^{-at}x(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd5e4e3de86704eaf4fd351bd5893cacf253ff00)
となり求める結果を得る.
この公式は重要であるから,誘導法とともに覚えておくことが望ましい.
例25
次の微分方程式を解け.解を直接微分方程式に代入して成否を確かめよ.
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+x=t;\quad x(0)=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd96ea542785a6623860f3e1f8cba2bd1d2a5fc)
解答例
![{\displaystyle s{\mathcal {L}}[x]-2+{\mathcal {L}}[x]={\frac {1}{s^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/964b989709230fa34daf346d82df292f4b28d031)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[x]={\frac {1}{s^{2}(s+1)}}+{\frac {2}{s+1}}={\frac {-1}{s}}+{\frac {1}{s^{2}}}+{\frac {3}{s+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a726be1f76d6c6ad759735de34608ada99fd5781)
![{\displaystyle \therefore x=t-1+3e^{-t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4e86c94b6aaa02c17cdef65bc2a4ba33dce2fe)
このとき
![{\displaystyle x'=1-3e^{-t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1129377746bf22c4a0468914a189f16feb4331a6)
![{\displaystyle \therefore x+x'=t-1+3e^{-t}+1-3e^{-t}=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d93112896d5d9f23e171065da8ca7aa2e7b63211)
![{\displaystyle x(0)=-1+3^{0}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7110ac8511255dcff342d26fe3416c531e5b8987)
よって解
は与方程式の解のひとつ.
例26
次の微分方程式を解け.解を直接微分方程式に代入して成否を確かめよ.
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-3{\frac {dx}{dt}}+2x=0;\quad x(0)=0,\quad x'(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021454134cf317de7d56829e09ee3aae5361fbac)
解答例
![{\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}[x]-1-3s{\mathcal {L}}[x]+2{\mathcal {L}}[x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ba13e8fdb9dc34eea9d56f82744fa46438c196)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[x]={\frac {1}{(s-1)(s-2)}}={\frac {1}{s-2}}-{\frac {1}{s-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5107d5ca99b9005aa15ce89a79eb5a661604afa0)
![{\displaystyle \therefore x=e^{2t}-e^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef10e330146afbcfe1d366255fd871b50f3d94e2)
このとき
![{\displaystyle x'=2e^{2t}-e^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fbf8df92d59b27025ade8edfa4b38860f7a813a)
![{\displaystyle x''=4e^{2t}-e^{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a93ce38fd5cb6bf885a916fde84e26e64aa6f1a9)
![{\displaystyle \therefore x''-3x'+2x=4e^{2t}-e^{t}-3(2e^{2t}-e^{t})+2(e^{2t}-e^{t})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d19a6c23627e1e2b69f0168b266921d4fce69a)
![{\displaystyle x(0)=e^{2\cdot 0}-e^{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8e7a189e39facc64da97a6e1553884f8328463)
![{\displaystyle x'(0)=2e^{2\cdot 0}-e^{0}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c716b4a094681e39d561ed3cdfd0c0b62680cb)
よって解
は与方程式の解のひとつ.
例27
次の微分方程式を解け.解を直接微分方程式に代入して成否を確かめよ.
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-4x=8;\quad x(0)=x'(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce11a55d7d57815d4fc02b73d0657d5bb61beaa)
解答例
[4]
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[x]={\frac {8}{s(s+2)(s-2)}}={\frac {-2}{s}}+{\frac {1}{s-2}}+{\frac {1}{s+2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e52a06f11d1eed1f13a3e7a0d0150991354bcc)
![{\displaystyle \therefore x=e^{2t}+e^{-2t}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cc07e64ebf71d8b833617d03196c5c18d90e3b6)
このとき
![{\displaystyle x'=2e^{2t}-2e^{-2t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c350a9d3ca9730fb030a6ecec7c9885e8c52b992)
![{\displaystyle x''=4e^{2t}+4e^{-2t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4903a6791d76576dda6d5bd6125864388767c63a)
![{\displaystyle \therefore x''-4x=4e^{2t}+4e^{-2t}-4(e^{2t}+e^{-2t}-2)=8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1198b1e8ad5305f3c84e72a3d78a5e10e6f9c1bd)
![{\displaystyle x(0)=e^{0}+e^{0}-2=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a564263098542d4d05dd1abb0f2c63dfb62cc9a)
![{\displaystyle x'(0)=2e^{0}-e^{0}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80afcd4279e9afe81a805bd51ae541cbbb217895)
よって解
は与方程式の解のひとつ.
例28
次の微分方程式を解け.解を直接微分方程式に代入して成否を確かめよ.
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+5{\frac {dt}{dx}}+6x=f(t);\quad x(0)=x_{0},x'(0)=v_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a213e0ad03cef1d49a992d47df402209253c80a)
解答例
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[x]={\frac {x_{0}s+(v_{0}+5x_{0})}{(s+2)(s+3)}}+{\frac {{\mathcal {L}}[f]}{(s+2)(s+3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450fa25417ba71b049fcc25ebf556a889efd53bb)
過渡解を
とすると,
については
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[u]={\frac {x_{0}s}{(s+2)(s+3)}}+{\frac {(v_{0}+5x_{0})}{(s+2)(s+3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067df89aa6037802da0cb2dc0a447f70c9b18e62)
![{\displaystyle =x_{0}\left({\frac {-2}{s+2}}+{\frac {3}{s+3}}\right)+(v_{0}+5x_{0})\left({\frac {1}{s+2}}-{\frac {1}{s+3}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6ed61934a7889310cbc3708a64b67d9bdd4b71)
この原像は
![{\displaystyle u(t)=x_{0}\left(-2e^{-2t}+3e^{-3t}\right)+(v_{0}+5x_{0})\left(e^{-2t}-e^{-3t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f523e27ea286c0f5f6bca26d09b0c87cf837a9e)
![{\displaystyle =x_{0}\left(-2e^{-2t}+3e^{-3t}+5e^{-2t}-5e^{-3t}\right)+v_{0}\left(e^{-2t}-e^{-3t}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13db02b779c9364507e652c04f23c3f9d3abee9e)
![{\displaystyle =x_{0}(3e^{-2t}-2e^{-3t})+v_{0}(e^{-2t}-e^{-3t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34960f4e39b9860a5c1403c3b3a8e5bb6e02ebc0)
定常解を
とすると,
については
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[v]={\frac {{\mathcal {L}}[f]}{(s+2)(s+3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb4fec4ec94860abae5897434cbb8a89545614d9)
![{\displaystyle =\left({\frac {1}{s+2}}-{\frac {1}{s+3}}\right)\cdot {\mathcal {L}}[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10ddf6ab4bde217a9337bf640fcaf175db4e48dc)
この原像は
![{\displaystyle v(t)=(e^{-2t}-e^{-3t})*f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3899ac02eef27133675c9ecd94f5d7a564cce3cc)
![{\displaystyle =\int _{0}^{t}\left\{e^{-2(t-\tau )}-e^{-3(t-\tau )}\right\}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c995622c955d44a222826885a8e4c0b9b3929d6)
よって解は
![{\displaystyle x(t)=u(t)+v(t)=x_{0}(3e^{-2t}-2e^{-3t})+v_{0}(e^{-2t}-e^{-3t})+\int _{0}^{t}\left\{e^{-2(t-\tau )}-e^{-3(t-\tau )}\right\}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/958e3e00886ddc3991ee84091864e42acdd44c90)
続いて検算を実施する.積分範囲の上端が変数である定積分の微分について復習すると,
ただし,
の被積分形
の中にすでに変数
が入っていてはいけない.[5]
定常解
については
![{\displaystyle v(t)=\int _{0}^{t}\left\{e^{-2(t-\tau )}-e^{-3(t-\tau )}\right\}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59df99af18573cf1e1b822f8b19d5749edb53ac)
![{\displaystyle =\int _{0}^{t}\left\{e^{-2t}\cdot e^{2\tau }-e^{-3t}\cdot e^{3\tau }\right\}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22cee1f8abdc1470e44ee68809b07cf8ad7d83a5)
![{\displaystyle =e^{-2t}\int _{0}^{t}e^{2\tau }f(\tau )d\tau -e^{-3t}\int _{0}^{t}e^{3\tau }f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d08d70bd14fee7faff2c7588fe911148e70828)
![{\displaystyle v'(t)=-2e^{-2t}\int _{0}^{t}e^{2\tau }f(\tau )d\tau +e^{-2t}e^{2t}f(t)+3e^{-3t}\int _{0}^{t}e^{3\tau }f(\tau )d\tau -e^{-3t}e^{3t}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f416eb5cda8bc0f49f1767eb4895a46c2ab44b)
![{\displaystyle =-2e^{-2t}\int _{0}^{t}e^{2\tau }f(\tau )d\tau +3e^{-3t}\int _{0}^{t}e^{3\tau }f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9598d8f2c2358e4fd11f55c564aa0b37c17a394)
![{\displaystyle v''(t)=4e^{-2t}\int _{0}^{t}e^{2\tau }f(\tau )d\tau -2e^{-2t}\cdot e^{2t}f(t)-9e^{-3t}\int _{0}^{t}e^{3\tau }f(\tau )d\tau +3e^{-3t}e^{3t}f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abe622519dbcce29535b643b01c9ea2372da06d)
![{\displaystyle =4e^{-2t}\int _{0}^{t}e^{2\tau }f(\tau )d\tau -9e^{-3t}\int _{0}^{t}e^{3\tau }f(\tau )d\tau +f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb45d6c753bf7571c46b25fc97b880b840dbb0f1)
よって
![{\displaystyle v''+5v'+6v=\left\{4+5(-2)+6\cdot 1\right\}\int _{0}^{t}e^{2\tau }f(\tau )d\tau +\left\{(-9)+5\cdot 3+6(-1)\right\}\int _{0}^{t}e^{3\tau }f(\tau )d\tau +f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf5e6cc0d2e355cb0ff702375c3d224236b92438)
![{\displaystyle =f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/657c9ee7c7335d55e2867bdc230289c85232fc7b)
過渡解
については
![{\displaystyle u(t)=x_{0}(3e^{-2t}-2e^{-3t})+v_{0}(e^{-2t}-e^{-3t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e82c9af041b7ff069f6cc4a3deaaca572f0499)
![{\displaystyle u'(t)=x_{0}(-6e^{-2t}+6e^{-3t})+v_{0}(-2e^{-2t}+3e^{-3t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8a2d8c1faa7bef29a3b1f6911931d88b48eaf3)
![{\displaystyle u''(t)=x_{0}(12e^{-2t}-18e^{-3t})+v_{0}(4e^{-2t}-9e^{-3t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac5d815aa852ef064969c3c4e18240d412ef0df)
よって
![{\displaystyle u''+5u'+6u=x_{0}\left[\left\{12+5(-6)+6\cdot 3\right\}e^{-2t}+\left\{(-18)+5\cdot 6+6(-2)\right\}\right]+v_{0}\left[\left\{4+5(-2)+6\cdot 1\right\}e^{-2t}+\left\{-9+5\cdot 3+6(-1)\right\}e^{-3t}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/305ea0f7c076b924dadc2f6653aec62a51700a35)
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e)
![{\displaystyle x(0)=u(0)=x_{0}(3e^{0}-2e^{0})+v_{0}(e^{0}-e^{0})=x_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/859a20131f246479de05f368122464acebbdb8b8)
![{\displaystyle x'(0)=u'(0)=x_{0}(-6e^{0}+6e^{0})+v_{0}(-2e^{0}+3e^{0})=v_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fc7bbaa7cad1848c701190a609733fba4ebb379)
よって
は与方程式の解のひとつ.
補題
(2.17a)
![{\displaystyle e^{\alpha t}f(t)*e^{\alpha t}g(t)=e^{\alpha t}\{f(t)*g(t)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a954e1e3aba764c5059bc765136e7b15e78b453c)
証明
合成積の定義より
左辺
![{\displaystyle =\int _{0}^{t}e^{\alpha (t-\tau )}f(t-\tau )\cdot e^{\alpha \tau }g(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb8864dd280077cdf287316836e152227b1a0f40)
![{\displaystyle =\int _{0}^{t}e^{\alpha t}\cdot e^{-\alpha \tau }e^{\alpha \tau }\cdot f(t-\tau )g(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f80b015d1b02b02545dfc4c6f132b55b31aed326)
![{\displaystyle =e^{\alpha t}\int _{0}^{t}f(t-\tau )g(\tau )d\tau =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3470b3af85ae991e09c05bf555151121fb3847)
右辺
を得る.
この補題(2.17a)を適用すれば,
![{\displaystyle \underbrace {e^{\alpha t}*e^{\alpha t}*\cdots *e^{\alpha t}} _{n{\text{個}}}=e^{\alpha t}(\underbrace {1*1*\cdots *1} _{n{\text{個}}})={\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8783d4e34790196b184e58609436ea454a68fa4f)
を得る.ところで,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[\underbrace {e^{\alpha t}*e^{\alpha t}*\cdots *e^{\alpha t}} _{n{\text{個}}}]=({\mathcal {L}}[e^{\alpha t}])^{n}={\frac {1}{(s-\alpha )^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb00d8a5383bba5d7373e749f46ed2f712f690e1)
よって次の公式を得る.
(2.17b)
![{\displaystyle {\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}e^{\alpha t}\sqsupset {\frac {1}{(s-\alpha )^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e2cf7e34f3d11dc1b9fc900cdecaf902b645dd)
この公式を前の結果
(2.8)
![{\displaystyle {\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}\sqsupset {\frac {1}{s^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4276dfeeb0c21278559728dacdf123837c2340c7)
と比較すると,
領域で
を掛けることと,
領域で
だけ移動することとが対応している.
このことは,もっと一般的に成立する事実である.
第一移動定理
![{\displaystyle f(t)\sqsupset F(s)\Longrightarrow f(t)e^{\alpha t}\sqsupset F(s-\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffb1cb7318c694a23e7985e510aa57ea48ff983)
証明
(2.17c)
[6]
この定理から,直ちに,
![{\displaystyle {\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}\sqsupset {\frac {1}{s^{n}}}\Longrightarrow {\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}e^{\alpha t}\sqsupset {\frac {1}{(s-\alpha )^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25792b71119ae55adcd651228e6938bfea978752)
が導かれるのである.
例29
![{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}+4{\frac {dx}{dt}}+4x=3e^{-2t}\quad x(0)=2,x'(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe1e21456a74635cce94891bcffc4c950660d521)
を解け.
解答例
与式を Laplace 変換すると,
![{\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}[x]-2s+1+4({\mathcal {L}}[x]-2)+4{\mathcal {L}}[x]={\frac {3}{s+2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6df003ef015f5dbbcee51f5240913f34a7c20f1)
これを
について解くと,
[7]
となるから,この原像は,
![{\displaystyle x(t)=\left(2+5t+{\frac {3}{2}}t^{2}\right)e^{-2t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5f41c56dedcadad5e7403e964bd01b59d79239)
である.
例30
![{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}+2a{\frac {dx}{dt}}+a^{2}x=f(t),\quad x(0)=x'(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4c0b8f103ec570541d55361a96334537984b57)
を解け.
解
![{\displaystyle x(t)\sqsupset X(s),\quad f(t)\sqsupset F(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ecd80c83ec3911f40273338193387c87cb6ba1f)
とおくと,
![{\displaystyle s^{2}X(s)+2asX(s)+a^{2}X(s)=F(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9749d9a605ea86e8fcfd0af531170cdc17de896)
![{\displaystyle \therefore X(s)={\frac {F(s)}{(s+a)^{2}}}\sqsubset te^{-at}*f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf250be11b465e1c90c042af3643cfc2c7bda8b)
それゆえ,
![{\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}(t-\tau )e^{-a(t-\tau )}f(\tau )d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab328a018f913dee4752a804505867c3df718bcc)
を得る.
例31
次の微分方程式を解け.
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}+x=e^{-t},\quad x(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c9fd9dd1c9d145f0db5c1945cdf66099f40e261)
解等例
例32
次の微分方程式を解け.
![{\displaystyle {\frac {d^{2}t}{dt^{2}}}+2{\frac {dx}{dt}}+x=te^{-t},\quad x(0)=x'(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3fe86767e2442fbcae2df554eacf4ba624455c9)
解答例
例33
次の微分方程式を解け.
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+4{\frac {dx}{dt}}+4x=3te^{-2t},\quad x(0)=2,x'(0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42013025fc3d8a31738a42f41c72b246e4e6b8d0)
解答例