数学演習/中学校2年生/確率/解答

数学演習 中学校2年生

中学校数学 2年生-数量/確率

問題はこちらにあります。

場合の数

(1)略

(2)[1,2][1,3][1,4][2,1][2,3][2,4][3,1][3,2][3,4][4,1][4,2][4,3]の12通り

(3)[1,2][1,3][1,4][2,3][2,4][3,4]の6通り

確率(1)

全ての場合を書き出してみる。表＝100ないし50、裏＝Nとする。左の2枚は100円玉、右の2枚は50円玉である。

• [100,100,50,50]・・・全て表
• [100,100,50,N][100,100,N,50][100,N,50,50][N,100,50,50]・・・3枚表で1枚裏
• [100,100,N,N][100,N,50,N][N,100,50,N][100,N,N,50][N,100,N,50][N,N,50,50]・・・2枚表で2枚裏
• [100,N,N,N][N,100,N,N][N,N,50,N][N,N,N,50]・・1枚表で3枚裏
• [N,N,N,N]・・・全て裏

(1)上を見ると全て表の出方は1通り。全ての出方は16通りなので、${\frac {1}{16}}$となる。

(2)同様に3枚表の出方は4通り。${\frac {4}{16}}={\frac {1}{4}}$となる。

(3)200円以上となる条件は3枚以上表であるか[100,100,N,N]の場合。${\frac {6}{16}}={\frac {3}{8}}$となる。

(4)100円玉と50円玉がちょうど1枚ずつ表である条件は2枚表の部分で[100,100,N,N][N,N,50,50]以外の場合である。${\frac {4}{16}}={\frac {1}{4}}$となる。

(5)上の出方を見るよりは、全体から50円玉が全く表にならなかった確率を引いたほうがよい。50円玉が全く表にならない場合は[100,100,N,N][100,N,N,N][N,100,N,N][N,N,N,N]の4通り。
$1-{\frac {4}{16}}={\frac {12}{16}}={\frac {3}{4}}$となる。

確率(2)

(1)乱数賽に10の目はないので、確率は0である。

(2)素数は2・3・5・7の4通りがそれぞれ2面あるので${\frac {8}{20}}={\frac {2}{5}}$である。

(3)一見では分かりにくいので、表にまとめてみる。GCDは最大公約数の英語の略称である。

GCD	0		1		2		3		4		5		6		7		8		9
0	×		1		2		3		4		5		6		7		8		9
1	1		1		1		1		1		1		1		1		1		1
2	2		1		2		1		2		1		2		1		2		1
3	3		1		1		3		1		1		3		1		1		3
4	4		1		2		1		4		1		2		1		4		1
5	5		1		1		1		1		5		1		1		1		1
6	6		1		2		3		2		1		6		1		2		3
7	7		1		1		1		1		1		1		7		1		1
8	8		1		2		1		4		1		2		1		8		1
9	9		1		1		3		1		1		3		1		1		9

以上の表より、${\frac {228}{400}}={\frac {57}{100}}$である。

(4)(3)に同じく表にまとめてみる。SUMは和を英語で表したものである。

SUM	0		1		2		3		4		5		6		7		8		9
0	0		1		2		3		4		5		6		7		8		9
1	1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
2	2		3		4		5		6		7		8		9		10		11
3	3		4		5		6		7		8		9		10		11		12
4	4		5		6		7		8		9		10		11		12		13
5	5		6		7		8		9		10		11		12		13		14
6	6		7		8		9		10		11		12		13		14		15
7	7		8		9		10		11		12		13		14		15		16
8	8		9		10		11		12		13		14		15		16		17
9	9		10		11		12		13		14		15		16		17		18

この表を見れば、右上から左下にのびる「9」が最も出やすい(と期待される)ことが分かる。逆に最も出にくい(と期待される)数は「0」と「18」である。

(5)得であるとは言えない

このゲーム1回で貰える賞金の平均を計算してみよう。

0円・10円・20円・30円・40円・50円・60円・70円・80円・90円が等率で出ると期待されるから、以下のように計算できる。

${\frac {1}{10}}\times 0+{\frac {1}{10}}\times 10+{\frac {1}{10}}\times 20+\cdots +{\frac {1}{10}}\times 90=45$

計算結果は、このゲーム1回あたりの賞金の平均が45円であることを意味している。

このゲームの参加費が50円であることから、1ゲームにつき平均5円分損をしているだろうと考えることができる。

確率の分野では平均と言わずに、期待値という言葉を用いる。期待値(きたいち)とは、1試行で出る値の平均を示す指標で、この問題の場合は「それぞれの目の数値×その目の出る確率」の総和で求められる。(期待値について詳しくは、高校で学習する。)

例えばサイコロは1〜6の面が均等に出る(と期待される)から、その期待値は

${\frac {1}{6}}\times 1+{\frac {1}{6}}\times 2+{\frac {1}{6}}\times 3+{\frac {1}{6}}\times 4+{\frac {1}{6}}\times 5+{\frac {1}{6}}\times 6=3.5$

となる。詳しくはここでは説明しないが、n回振った時の目の総和の平均が$3.5n$になることも意味している。

確率(3)

(1)Aが当たる確率は${\frac {3}{10}}$である。

(2)Aが当たった場合とAが外れた場合を分けて考える必要がある。以前の人が引いたらくじの本数が減っていることに注意。

• Aが当たった場合

${\frac {3}{10}}$（A当たり）$\times {\frac {2}{9}}$（B当たり）$={\frac {6}{90}}={\frac {1}{15}}$

• Aが外れた場合

${\frac {7}{10}}$（A外れ）$\times {\frac {3}{9}}$（B当たり）$={\frac {21}{90}}={\frac {7}{30}}$

これら2つの確率はAが当たりと外れが同時に起こらないことから足してよいので、${\frac {1}{15}}+{\frac {7}{30}}={\frac {9}{30}}={\frac {3}{10}}$

(3)結論から言うと、Cの当たる確率も${\frac {3}{10}}$なのである。

• AもBも当たった場合

${\frac {3}{10}}$（A当たり）$\times {\frac {2}{9}}$（B当たり）$\times {\frac {1}{8}}$（C当たり）$={\frac {6}{720}}={\frac {1}{120}}$

• Aが当たりBが外れた場合

${\frac {3}{10}}$（A当たり）$\times {\frac {7}{9}}$（B外れ）$\times {\frac {2}{8}}$（C当たり）$={\frac {42}{720}}={\frac {7}{120}}$

• Bが当たりAが外れた場合

${\frac {7}{10}}$（A外れ）$\times {\frac {3}{9}}$（B当たり）$\times {\frac {2}{8}}$（C当たり）$={\frac {42}{720}}={\frac {7}{120}}$

• AもBも外れた場合

${\frac {7}{10}}$（A外れ）$\times {\frac {6}{9}}$（B外れ）$\times {\frac {3}{8}}$（C当たり）$={\frac {126}{720}}={\frac {21}{120}}$

同様に確率の和は${\frac {1}{120}}+{\frac {7}{120}}+{\frac {7}{120}}+{\frac {21}{120}}={\frac {36}{120}}={\frac {3}{10}}$

以上の結果から分かる通り、当たる確率はくじを引く順番によらないのである。

(4)少なくとも誰か1人当たる確率は「1-全員外れる確率」で求められる。全員外れる確率は${\frac {7}{10}}\times {\frac {6}{9}}\times {\frac {5}{8}}={\frac {210}{720}}={\frac {7}{24}}$。よって$1-{\frac {7}{24}}={\frac {17}{24}}$

確率(4)

(1)トランプ52枚の中にハートは13枚あるから、${\frac {13}{52}}={\frac {1}{4}}$である。

(2)「1枚目が絵札になる確率×(カードの総数が1枚減って)2枚目が絵札にならない確率」で求められるから、${\frac {12}{52}}\times {\frac {40}{51}}$となる。

(3) 2枚目を引くときに1枚目と同じ数字、さらに3枚目のときにも同じ数字、さらに4枚目のときも同じ数字を引けばよいので、${\frac {3}{51}}\times {\frac {2}{50}}\times {\frac {1}{49}}$となる。