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数学演習/中学校2年生/確率/解答

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

数学演習 中学校2年生

中学校数学 2年生-数量/確率

問題はこちらにあります。

場合の数

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(1)略

(2)[1,2][1,3][1,4][2,1][2,3][2,4][3,1][3,2][3,4][4,1][4,2][4,3]の12通り

(3)[1,2][1,3][1,4][2,3][2,4][3,4]の6通り

確率(1)

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全ての場合を書き出してみる。表=100ないし50、裏=Nとする。左の2枚は100円玉、右の2枚は50円玉である。

  • [100,100,50,50]・・・全て表
  • [100,100,50,N][100,100,N,50][100,N,50,50][N,100,50,50]・・・3枚表で1枚裏
  • [100,100,N,N][100,N,50,N][N,100,50,N][100,N,N,50][N,100,N,50][N,N,50,50]・・・2枚表で2枚裏
  • [100,N,N,N][N,100,N,N][N,N,50,N][N,N,N,50]・・1枚表で3枚裏
  • [N,N,N,N]・・・全て裏

(1)上を見ると全て表の出方は1通り。全ての出方は16通りなので、となる。

(2)同様に3枚表の出方は4通り。となる。

(3)200円以上となる条件は3枚以上表であるか[100,100,N,N]の場合となる。

(4)100円玉と50円玉がちょうど1枚ずつ表である条件は2枚表の部分で[100,100,N,N][N,N,50,50]以外の場合である。となる。

(5)上の出方を見るよりは、全体から50円玉が全く表にならなかった確率を引いたほうがよい。50円玉が全く表にならない場合は[100,100,N,N][100,N,N,N][N,100,N,N][N,N,N,N]の4通り。
となる。

確率(2)

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(1)乱数賽に10の目はないので、確率は0である。

(2)素数は2・3・5・7の4通りがそれぞれ2面あるのでである。

(3)一見では分かりにくいので、表にまとめてみる。GCDは最大公約数の英語の略称である。

GCD 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3
4 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1
5 5 1 1 1 1 5 1 1 1 1
6 6 1 2 3 2 1 6 1 2 3
7 7 1 1 1 1 1 1 7 1 1
8 8 1 2 1 4 1 2 1 8 1
9 9 1 1 3 1 1 3 1 1 9

以上の表より、である。

(4)(3)に同じく表にまとめてみる。SUMは和を英語で表したものである。

SUM 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

この表を見れば、右上から左下にのびる「9」が最も出やすい(と期待される)ことが分かる。逆に最も出にくい(と期待される)数は「0」と「18」である。

(5)得であるとは言えない

このゲーム1回で貰える賞金の平均を計算してみよう。

0円・10円・20円・30円・40円・50円・60円・70円・80円・90円が等率で出ると期待されるから、以下のように計算できる。

計算結果は、このゲーム1回あたりの賞金の平均が45円であることを意味している。

このゲームの参加費が50円であることから、1ゲームにつき平均5円分損をしているだろうと考えることができる。

確率の分野では平均と言わずに、期待値という言葉を用いる。期待値(きたいち)とは、1試行で出る値の平均を示す指標で、この問題の場合は「それぞれの目の数値×その目の出る確率」の総和で求められる。(期待値について詳しくは、高校で学習する。)

例えばサイコロは1〜6の面が均等に出る(と期待される)から、その期待値は

となる。詳しくはここでは説明しないが、n回振った時の目の総和の平均がになることも意味している。


確率(3)

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(1)Aが当たる確率はである。

(2)Aが当たった場合とAが外れた場合を分けて考える必要がある。以前の人が引いたらくじの本数が減っていることに注意。

  • Aが当たった場合

(A当たり)(B当たり)

  • Aが外れた場合

(A外れ)(B当たり)

これら2つの確率はAが当たりと外れが同時に起こらないことから足してよいので、

(3)結論から言うと、Cの当たる確率もなのである。

  • AもBも当たった場合

(A当たり)(B当たり)(C当たり)

  • Aが当たりBが外れた場合

(A当たり)(B外れ)(C当たり)

  • Bが当たりAが外れた場合

(A外れ)(B当たり)(C当たり)

  • AもBも外れた場合

(A外れ)(B外れ)(C当たり)

同様に確率の和は

以上の結果から分かる通り、当たる確率はくじを引く順番によらないのである。

(4)少なくとも誰か1人当たる確率は「1-全員外れる確率」で求められる。全員外れる確率は。よって

確率(4)

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(1)トランプ52枚の中にハートは13枚あるから、である。

(2)「1枚目が絵札になる確率×(カードの総数が1枚減って)2枚目が絵札にならない確率」で求められるから、となる。

(3) 2枚目を引くときに1枚目と同じ数字、さらに3枚目のときにも同じ数字、さらに4枚目のときも同じ数字を引けばよいので、となる。