数学演習/中学校3年生/式の計算/解答

数学演習 中学校3年生

中学校数学 3年生-数量/式の計算

問題はこちらにあります。

展開(1)

1. $z(x+y)=xz+yz$
2. $(x+4)(x+5)=x^{2}+5x+4x+20=x^{2}+9x+20$
3. $(x+3)^{2}=(x+3)(x+3)=x^{2}+3x+3x+9=x^{2}+6x+9$
4. $(x-6)^{2}=(x-6)(x-6)=x^{2}-6x-6x+36=x^{2}-12x+36$
5. $(x+5)(x-5)=x^{2}+5x-5x-25=x^{2}-25$
6. $(3x+4y)^{2}=(3x+4y)(3x+4y)=9x^{2}+12xy+12xy+16y^{2}=9x^{2}+24xy+16y^{2}$
7. $(x+2y)(-x+2y)=(2y+x)(2y-x)=-x^{2}+4y^{2}$
8. $2(x-2y)^{2}=2(x-2y)(x-2y)=2(x^{2}-4xy+4y^{2})=2x^{2}-8xy+8y^{2}$

展開(2)

複雑な式は一部を文字に置き換えることにより展開しやすくなる。ある程度まで計算が進んだら置いた文字を元に戻すことを忘れずに。

1.解答の途中で$a^{2}+b^{2}=A$としている。

${\begin{aligned}(a+b)^{4}&=((a+b)^{2})^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})^{2}\\&=(A+2ab)^{2}\\&=A^{2}+2\times A\times 2ab+4a^{2}b^{2}\\&=A^{2}+4abA+4a^{2}b^{2}\\&=(a^{2}+b^{2})^{2}+4ab(a^{2}+b^{2})+4a^{2}b^{2}\\&=(a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4})+4a^{3}b+4ab^{3}+4a^{2}b^{2}\\&=a^{4}+4a^{3}b+(4+2)a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\\&=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\\\end{aligned}}$

2.問題の$a+b=B$とする。

${\begin{aligned}(a+b+c)(a+b-c)&=(B+c)(B-c)\\&=B^{2}-c^{2}\\&=(a+b)^{2}-c^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})-c^{2}\\&=a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}\\\end{aligned}}$

因数分解(1)

1. $xy+yz=y(x+z)$
2. $x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3)$
3. $x^{2}+10x+25=(x+5)^{2}$
4. $x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}$
5. $x^{2}-100=(x+10)(x-10)$
6. $12x^{2}+x-1=(3x+1)(4x-1)$
7. $9x^{2}-4y^{2}=(3x+2y)(3x-2y)$
8. $3x^{2}+12x+12=3(x^{2}+4x+4)=3(x+2)^{2}$
9. $(4x+9)(x+4)-11=4x^{2}+25x+36-11=4x^{2}+25x+25=(4x+5)(x+5)$

因数分解(2)

1.問題の$x^{3}=X$とする。

${\begin{aligned}x^{6}-x^{3}-6&=(x^{3})^{2}-x^{3}-6\\&=X^{2}-X-6\\&=(X+2)(X-3)\\&=(x^{3}+2)(x^{3}-3)\\\end{aligned}}$

2.問題の$2x+3y=C,3x-4y+D$とする。

${\begin{aligned}(2x+3y)^{2}-(3x-4y)^{2}&=C^{2}-D^{2}\\&=(C+D)(C-D)\\&=(2x+3y+3x-4y)(2x+3y-3x+4y)\\&=(5x-y)(-x+7y)\\\end{aligned}}$

展開と因数分解の利用

1. $201\times 199=(200+1)(200-1)=200^{2}-1^{2}=39999$
2. $105^{2}=(100+5)^{2}=100^{2}+2\times 100\times 5+5^{2}=10000+1000+25=11025$
3. $51^{2}-49^{2}=(51+49)(51-49)=100\times 2=200$