数学演習/中学校3年生/2乗に比例する関数/解答

数学演習 中学校3年生

中学校数学 3年生-数量/2乗に比例する関数

問題はこちらにあります。

2乗に比例する関数

2乗に比例しているので、x=1のときのyの値がそのまま比例定数になる。

(1)a=-1

(2)a=3

(3)$a={\frac {1}{3}}$

1次関数との融合

2年次の1次関数で学習したのと同様に、共有点の座標を求めるには連立方程式を解けばよい。

(1)$(x,y)=(3,9),(-3,9)$

$\left\{{\begin{matrix}y=9\\y=x^{2}\end{matrix}}\right.$

を解く。上のyを下に代入すると

$9=x^{2}$

となり2次方程式に帰着することができ、$x=\pm 3$と求められる。yは元の式を見れば9と書いてある。

(2)$(x,y)=(0,0),(1,1)$

$\left\{{\begin{matrix}y=x\\y=x^{2}\end{matrix}}\right.$

を解く。上のyを下に代入する。

$x^{2}-x=0$

因数分解し$x(x-1)=0$でx = 0,1となる。yはx=0の時0、x=1の時1である。

(3)$(x,y)=(0,0),({\frac {2}{3}},{\frac {4}{3}})$

$\left\{{\begin{matrix}y=2x\\y=3x^{2}\end{matrix}}\right.$

を解く。上のyを下に代入する。

$3x^{2}-2x=0$

全体を$x^{2}$の係数で割る。

$x^{2}-{\frac {2}{3}}x=0$

因数分解し$x(x-{\frac {2}{3}})=0$で$x=0,{\frac {2}{3}}$となる。yはx=0の時0、$x={\frac {2}{3}}$の時${\frac {4}{3}}$である。

(4)$(x,y)=(-5+{\sqrt {31}},28-5{\sqrt {31}}),(-5-{\sqrt {31}},28+5{\sqrt {31}})$

$\left\{{\begin{matrix}y=-5x+3\\y={\frac {1}{2}}x^{2}\end{matrix}}\right.$

を解く。上のyを下に代入する。

${\frac {1}{2}}x^{2}+5x-3=0$

全体を$x^{2}$の係数で割る。

$x^{2}+10x-6=0$

これは因数分解が困難な形であるので解の公式を用いて解く。

復習までに、解の公式は以下であった。(ただし、aは0ではないものとする。)

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

a=1,b=10,c=-6を代入して計算する。

${\begin{matrix}x&=&{\frac {-10\pm {\sqrt {10^{2}-4\times 1\times (-6)}}}{2\times 1}}\\&=&{\frac {-10\pm {\sqrt {124}}}{2}}\\&=&{\frac {-10\pm 2{\sqrt {31}}}{2}}\\&=&-5\pm {\sqrt {31}}\end{matrix}}$

$x=-5\pm {\sqrt {31}}$ということが分かったので、yに代入する。

$x=-5+{\sqrt {31}}$の時、

${\begin{matrix}y&=&-5x+3\\&=&-5(-5+{\sqrt {31}})+3\\&=&25-5{\sqrt {31}}+3\\&=&28-5{\sqrt {31}}\end{matrix}}$

$x=-5-{\sqrt {31}}$の時、

${\begin{matrix}y&=&-5x+3\\&=&-5(-5-{\sqrt {31}})+3\\&=&25+5{\sqrt {31}}+3\\&=&28+5{\sqrt {31}}\end{matrix}}$

となりxとyが求まった。