数学演習/中学校3年生/2乗に比例する関数/解答

数学演習 中学校3年生

中学校数学 3年生-数量/2乗に比例する関数

問題はこちらにあります。

2乗に比例する関数

2乗に比例しているので、x=1のときのyの値がそのまま比例定数になる。

(1)a=-1

(2)a=3

(3)$a=\frac{1}{3}$

1次関数との融合

2年次の1次関数で学習したのと同様に、共有点の座標を求めるには連立方程式を解けばよい。

(1)$(x,y)=(3,9),(-3,9)$

$\{\begin{array}{c}y=9\\ y=x^2\end{array}$

を解く。上のyを下に代入すると

$9=x^2$

となり2次方程式に帰着することができ、$x=\pm 3$と求められる。yは元の式を見れば9と書いてある。

(2)$(x,y)=(0,0),(1,1)$

$\{\begin{array}{c}y=x\\ y=x^2\end{array}$

を解く。上のyを下に代入する。

$x^2-x=0$

因数分解し$x(x-1)=0$でx = 0,1となる。yはx=0の時0、x=1の時1である。

(3)$(x,y)=(0,0),(\frac{2}{3},\frac{4}{3})$

$\{\begin{array}{c}y=2x\\ y=3x^2\end{array}$

を解く。上のyを下に代入する。

$3x^2-2x=0$

全体を$x^2$の係数で割る。

$x^2-\frac{2}{3}x=0$

因数分解し$x(x-\frac{2}{3})=0$で$x=0,\frac{2}{3}$となる。yはx=0の時0、$x=\frac{2}{3}$の時$\frac{4}{3}$である。

(4)$(x,y)=(-5+\sqrt{31},28-5\sqrt{31}),(-5-\sqrt{31},28+5\sqrt{31})$

$\{\begin{array}{c}y=-5x+3\\ y=\frac{1}{2}{x}^2\end{array}$

を解く。上のyを下に代入する。

$\frac{1}{2}{x}^2+5x-3=0$

全体を$x^2$の係数で割る。

$x^2+10x-6=0$

これは因数分解が困難な形であるので解の公式を用いて解く。

復習までに、解の公式は以下であった。(ただし、aは0ではないものとする。)

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

a=1,b=10,c=-6を代入して計算する。

$\begin{array}{ccc}x& =& \frac{-10\pm \sqrt{10^2-4\times 1\times (-6)}}{2\times 1}\\ & =& \frac{-10\pm \sqrt{124}}{2}\\ & =& \frac{-10\pm 2\sqrt{31}}{2}\\ & =& -5\pm \sqrt{31}\end{array}$

$x=-5\pm \sqrt{31}$ということが分かったので、yに代入する。

$x=-5+\sqrt{31}$の時、

$\begin{array}{ccc}y& =& -5x+3\\ & =& -5(-5+\sqrt{31})+3\\ & =& 25-5\sqrt{31}+3\\ & =& 28-5\sqrt{31}\end{array}$

$x=-5-\sqrt{31}$の時、

$\begin{array}{ccc}y& =& -5x+3\\ & =& -5(-5-\sqrt{31})+3\\ & =& 25+5\sqrt{31}+3\\ & =& 28+5\sqrt{31}\end{array}$

となりxとyが求まった。