高等学校数学C > 確率分布
1から15までの番号札があり、その15枚の札から任意に1枚を選ぶ。
このとき、2の倍数を選ぶという事象をA、3の倍数を選ぶという事象をBとすると、
,
,
となる。
このとき、選び出された札が2の倍数であるとわかったとして、それが3の倍数である確率
を考える。
は、2の倍数である札7枚の中から、6の倍数である札2枚を選ぶ確率であるから
事象Aが起こったとして、そのときに事象Bの起こる確率を、Aが起こったときのBの条件つき確率といい、
で表す。
![{\displaystyle P_{A}(B)={\frac {n(A\cap B)}{n(A)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181dfc9a4707507d0a9523760a8c574b91784447)
この式の右辺の分母、分子をそれぞれ
で割ると
![{\displaystyle P_{A}(B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5df32e1135f998fd2e81ec4f07a5bf83b509529)
ある観光バスの乗客のうち、60%が女性で、42%が50歳以上の女性である。女性の中から任意に1人を選び出したとき、その人が50歳以上である確率を求めよ。
「女性である」事象をA、「50歳以上である」事象をBとする。
![{\displaystyle P(A)={\frac {60}{100}},P(A\cap B)={\frac {42}{100}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a9b476524d463731ca81fb49ed4ac281d9ecf1)
よって、求める確率は
![{\displaystyle P_{A}(B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}={\cfrac {\cfrac {42}{100}}{\cfrac {60}{100}}}={\frac {7}{10}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72ee830d9edef72b0d0f640880e498e6074e0a4)
の分母を払うと、次のようになる。
乗法定理
|
のとき
|
5本のくじの中に3本の当たりくじがある。a、b2人が、引いたくじをもとに戻さないで、a、bの順に1本ずつくじを引くとき、2人とも当たる確率を求めよ。
aが当たるという事象をA、bが当たるという事象をBとすると、求める確率は
である。
aが当たったとき、残り4本のくじの中に当たりくじが2本あるから
![{\displaystyle P_{A}(B)={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22e9fa43c6c53aeff5b5ee97a70e849314403313)
よって、2人とも当たる確率は
![{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P_{A}(B)={\frac {3}{5}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {3}{10}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e4ef8b19efbbcb2dbc6b1cb946e4e12c8e5fd8c)
1個のさいころを投げるとき、偶数の目が出る事象をA、3の倍数の目が出る事象をB、4以上の目が出る事象をCとすると、
A={2,4,6} , B={3,6} , C={4,5,6}
このとき
,
より、
が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Bが起こることに影響を与えていない。
また、
,
より、
が成り立つ。つまり、事象Aが起こることは事象Cが起こることに影響を与えている。
2つの事象A , Bについて、事象Aの起こることが事象Bの起こることに影響を与えないとき、AとBは独立であるという。また、AとBが独立でないとき、AとBは従属であるという。
事象AとBが独立であるとき、
である。乗法定理を用いると、事象の独立について、次のことが成り立つ。
事象の独立
|
事象AとBが独立である
|
トランプのハートのカードが1組13枚ある。
(1)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻さないで、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。
(2)初めにAが1枚引き、そのカードをもとに戻して、次にBが1枚引く場合、A、Bがともに絵札を引く確率を求めよ。
Aが絵札を引くという事象をA、Bが絵札を引くという事象をBとする。
(1) AとBがともに絵札を引くという事象は
で表される。
Aが絵札を引く確率は ![{\displaystyle P(A)={\frac {3}{13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630208892f5f388aa4d230d9fdbcbd5e7ea20891)
Aが絵札を引いたあと、12枚のカードの中に絵札が2枚残っているから、Bが絵札を引く確率
は、 ![{\displaystyle P_{A}(B)={\frac {2}{12}}={\frac {1}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee310cf358b49b4642263be34162439f861cf59)
よって ![{\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P_{A}(B)={\frac {3}{13}}\times {\frac {1}{6}}={\frac {1}{26}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f577b0cb0994e155114d8a7fd1ac4c1dadf92953)
(2) Aが引いたカードは、もとに戻すから、2つの事象A、Bは互いに独立である。
したがって確率は
1枚の硬貨を2回続けて投げる試行において、表の出る回数をXで表す。Xのとりうる値は、0 , 1 , 2 である。
それぞれが起こる確率は
となる確率は ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736afaa782f29e16b79abda25cdbfd30a91206b3)
となる確率は ![{\displaystyle {}_{2}C_{1}\times {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51401a2fe41fa857f0e3b88f5a5785c9903462ac)
となる確率は ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736afaa782f29e16b79abda25cdbfd30a91206b3)
この結果を表にすると、次のようになる。
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) | 0 | 1 | 2 | 計 |
確率 | ![{\displaystyle \quad {\frac {1}{4}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8304673e3b5811cca69978b71aa4869a4f69f918) | ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55) | ![{\displaystyle {\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dfb63ee75ec084f2abb25d248bc151a2687508) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
一般に、Xが有限個の値
をとる変数で、
となる確率
が与えられて、
を満たすとき、Xを確率変数という。
このとき
と
の対応は下の表のようになる。
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) | ![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308) | ![{\displaystyle x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5ea190699149306d242b70439e663559e3ffbe) | 計 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) | ![{\displaystyle p_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b58f22283ca46dd5da309cc34303b06a797783) | ![{\displaystyle p_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f1b08d7d69712872e051c2b33fdfa9f5d42319) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle p_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f79dcba35ecde0d43fbb7c914165586166ce8c2) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
この対応関係をXの確率分布という。
となる確率を
と書く。
確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。
確率分布の表
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) | ![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308) | ![{\displaystyle x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5ea190699149306d242b70439e663559e3ffbe) | 計 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) | ![{\displaystyle p_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b58f22283ca46dd5da309cc34303b06a797783) | ![{\displaystyle p_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f1b08d7d69712872e051c2b33fdfa9f5d42319) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle p_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f79dcba35ecde0d43fbb7c914165586166ce8c2) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
このとき、
を確率変数Xの平均または期待値といい、
で表す。
確率変数の平均
|
|
確率分布が上の表(確率分布の表)で与えられている確率変数Xの平均
をmとする。このとき、
は1つの確率変数となり、その確率分布は下の表のようになる。
![{\displaystyle \left(X-m\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd2292e31484cc8324b022c2b26e5fc3eb9b24b2) | ![{\displaystyle \left(x_{1}-m\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e3e03de1d8d4581d78594b534a6f8c9d8196518) | ![{\displaystyle \left(x_{2}-m\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769d7cf4ca5ba923184631d7b595d4571050299c) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle \left(x_{n}-m\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70255c3c0dfdaa2fa2efe24070cb6b9dbcda5da1) | 計 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) | ![{\displaystyle p_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b58f22283ca46dd5da309cc34303b06a797783) | | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
がとるn個の値
のそれぞれは、Xとmとのへだたりの程度を表す。
確率変数
の平均
を、確率変数の分散といい、
で表す。
また、
をXの標準偏差といい、
で表す。
確率変数の分散と標準偏差
|
|
分散
を表す式は次のように変形できる。
![{\displaystyle V(X)=\sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}-m\right)^{2}p_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}\right)^{2}p_{k}-2m\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}+m^{2}\sum _{k=1}^{n}p_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa54536a0fdd1812c271a519fa47e6d561a79579)
ここで、
であるから
![{\displaystyle V(X)=\sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}\right)^{2}p_{k}-2m\times m+m^{2}\times 1=\sum _{k=1}^{n}\left(x_{k}\right)^{2}p_{k}-m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9738de747a9b6a3d7b68d140807c337f824ed9)
さらに、
であるから、次の等式が成り立つ。
確率変数の分散
|
|
1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。
Xの確率分布は、下の表で与えられる。
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) | | | ![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) | | | | 計 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) | | | ![{\displaystyle {\frac {1}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1caf4c96d913f6aafa9da0634f069fa42e0290) | | | | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
Xの平均は
![{\displaystyle E(X)=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}={\frac {7}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7269372f59f8734112c4b7e58b760de5a512c9)
また、
の平均は
![{\displaystyle E\left(X^{2}\right)=1^{2}\times {\frac {1}{6}}+2^{2}\times {\frac {1}{6}}+3^{2}\times {\frac {1}{6}}+4^{2}\times {\frac {1}{6}}+5^{2}\times {\frac {1}{6}}+6^{2}\times {\frac {1}{6}}={\frac {91}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2a28555e7d487fc5ec0542c208e82c0417b4c5)
よってXの分散は
![{\displaystyle V(X)=E\left(X^{2}\right)-\left\{E(X)\right\}^{2}={\frac {91}{6}}-\left({\frac {7}{2}}\right)^{2}={\frac {35}{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/294fe4cf81f5867f5b76cc7ef231f5bd211f1373)
Xの標準偏差は
![{\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\frac {35}{12}}}={\frac {\sqrt {105}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee35067d50010767e6ff97cfa9f264ce28bc1c9)
確率変数Xの確率分布が次の表で与えられているとする。
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) | ![{\displaystyle x_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8788bf85d532fa88d1fb25eff6ae382a601c308) | ![{\displaystyle x_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7af1b928f06e4c7e3e8ebfd60704656719bd766) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5ea190699149306d242b70439e663559e3ffbe) | 計 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) | ![{\displaystyle p_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b58f22283ca46dd5da309cc34303b06a797783) | ![{\displaystyle p_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f1b08d7d69712872e051c2b33fdfa9f5d42319) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle p_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f79dcba35ecde0d43fbb7c914165586166ce8c2) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
a,bが定数のとき、Xの1次式
でYを定めると、Yも確率変数になる。Yのとる値は
であり、Yの確率分布は次の表のようになる。
![{\displaystyle Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f) | ![{\displaystyle y_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef4db76d658a98219aca14df06d9869d2b43c42) | ![{\displaystyle y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7377c7399e662562cd420fa5c7ce49cfba574998) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle y_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5fbb0c89590b028eba7239a8803fd0cd2e698e) | 計 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) | ![{\displaystyle p_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b58f22283ca46dd5da309cc34303b06a797783) | ![{\displaystyle p_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f1b08d7d69712872e051c2b33fdfa9f5d42319) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle p_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f79dcba35ecde0d43fbb7c914165586166ce8c2) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
Xに対して上のようなYを考えることを、確率変数の変換という。
確率変数の変換
によって、その平均、分散、標準偏差がどのように変わるだろうか。
Yの期待値については
![{\displaystyle E(Y)=\sum _{k=1}^{n}y_{k}p_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(ax_{k}+b\right)p_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(ax_{k}p_{k}+bp_{k}\right)=a\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}+b\sum _{k=1}^{n}p_{k}=aE(X)+b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38bd029be3f9b5f3a7fdbeafcf087586e827d059)
また、Yの分散については
![{\displaystyle y_{k}-E(Y)=ax_{k}+b-\left\{aE(X)+b\right\}=a\left\{x_{k}-E(X)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc421de376bb5be59142055ba62189d252d3f06)
であるから
![{\displaystyle V(Y)=\sum _{k=1}^{n}\left\{y_{k}-E(Y)\right\}^{2}p_{k}=a^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\{x_{k}-E(x)\right\}^{2}p_{k}=a^{2}V(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0941e6eb5e1ca30de9f2bc9c91c460ba2878f2f)
Yの標準偏差は
![{\displaystyle \sigma (Y)={\sqrt {V(Y)}}=|a|{\sqrt {V(X)}}=|a|\sigma (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e5b37730e6f17ea2e7d04135d118a1117a7faa)
1個のさいころを投げるとき、出る目の数をXとする。確率変数
の平均、分散、標準偏差を求めよ。
上の問題より、
![{\displaystyle E(X)={\frac {7}{2}},V(X)={\frac {35}{12}},\sigma (X)={\frac {\sqrt {105}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba79cdf0b5f6d1f02cf41cc39757baff887d632f)
Yの平均は
![{\displaystyle E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=2\times {\frac {7}{2}}+3=10}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e0928af7c8a54dc9585eac39346eab55da9937)
Yの分散は
![{\displaystyle V(Y)=V(2X+3)=2^{2}V(X)=4\times {\frac {35}{12}}={\frac {35}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4f1fb9002ba61ac05458403fc0cb042da8c9407)
Yの標準偏差は
![{\displaystyle \sigma (Y)=\sigma (2X+3)=|2|\sigma (X)=2\times {\frac {\sqrt {105}}{6}}={\frac {\sqrt {105}}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ee193ce0550ea0621be05ed473455af38e5d547)
A,B2人がそれぞれ1個のさいころを投げる。Aは、さいころの目が3の倍数ならば0、3の倍数でなければ1と記録する。Bは、さいころの目が1ならば1、偶数の目ならば2、1以外の奇数の目ならば3と記録する。
A,Bの記録する数をそれぞれX,Yとすると、XとYは確率変数で、
かつ
となる確率は次のようになる。
![{\displaystyle X/Y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5c21f71ffba4f60a9c805ffb509a370f1e9c547) | 1 | 2 | 3 | ![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) |
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) | ![{\displaystyle {\frac {1}{18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ab65e5b6dabdbc9c6684139976d15111dd3590) | ![{\displaystyle {\frac {1}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1caf4c96d913f6aafa9da0634f069fa42e0290) | ![{\displaystyle {\frac {1}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e41e551372333b5c0d7d525ecf3797d67f980a) | ![{\displaystyle {\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7093420fb1b77a06432a4e0d9eba91705cef6d02) |
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
| ![{\displaystyle {\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7093420fb1b77a06432a4e0d9eba91705cef6d02) | ![{\displaystyle {\frac {2}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90d7f2722dc936bba318461fe655108c572ba03) | ![{\displaystyle {\frac {2}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19eee5d63f2cf9106dc531cdfdea8cfb8f34b2cf) |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) |
| ![{\displaystyle {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a11cfb2fdb143693b1daf78fcb5c11a023cb1c55) | ![{\displaystyle {\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7093420fb1b77a06432a4e0d9eba91705cef6d02) | |
このとき、
も確率変数で、Zの確率分布は次のようになる。
![{\displaystyle Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6b75e09a8aa3f04d8584b11db534f88fb56bd) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) | ![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) | ![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f) | | 計 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) | ![{\displaystyle {\frac {1}{18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ab65e5b6dabdbc9c6684139976d15111dd3590) | ![{\displaystyle {\frac {5}{18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053989600ffda7e92384f39a74840a0678041b3b) | ![{\displaystyle {\frac {4}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13ca7a90f2e65f751186364ba382c61bb14b2f61) | ![{\displaystyle {\frac {2}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90d7f2722dc936bba318461fe655108c572ba03) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
よって、Zの平均は
![{\displaystyle E(Z)=1\times {\frac {1}{18}}+2\times {\frac {5}{18}}+3\times {\frac {4}{9}}+4\times {\frac {2}{9}}={\frac {17}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a336edc5af9792131781361c7c0f396a062da6)
一方
![{\displaystyle E(X)=0\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {2}{3}}={\frac {2}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495c61761f36ad6b662e5a48d3867afeeae26e54)
![{\displaystyle E(Y)=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{2}}+3\times {\frac {1}{3}}={\frac {13}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d17a48ed6b3e68872a7fb6546246832686daac8)
であるから
![{\displaystyle E(X)+E(Y)={\frac {2}{3}}+{\frac {13}{6}}={\frac {17}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ea82504d5c499a35a9082a5b0dac182fe5624f)
したがって、
が成り立っている。
確率変数の和の平均
|
確率変数X,Yについて
|
確率変数Xのとる任意の値aと確率変数Yのとる任意の値bについて、
かつ
である確率が
に等しいとき、確率変数XとYは互いに独立であるという。
上の例において確率変数XとYは互いに独立である。この確率変数X,Yについて、
を考えると、Uも確率変数で、Uの確率分布は次のようになる。
![{\displaystyle U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025) | ![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) | ![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) | | 計 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) | ![{\displaystyle {\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7093420fb1b77a06432a4e0d9eba91705cef6d02) | ![{\displaystyle {\frac {1}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e41e551372333b5c0d7d525ecf3797d67f980a) | ![{\displaystyle {\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7093420fb1b77a06432a4e0d9eba91705cef6d02) | ![{\displaystyle {\frac {2}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f90d7f2722dc936bba318461fe655108c572ba03) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
よって、Uの平均は
![{\displaystyle E(U)=0\times {\frac {1}{3}}+1\times {\frac {1}{9}}+2\times {\frac {1}{3}}+3\times {\frac {2}{9}}={\frac {13}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9a94f2426be6a6f22d4464cefee7ea5ecf11bf7)
一方、
であるから
![{\displaystyle E(X)E(Y)={\frac {2}{3}}\times {\frac {13}{6}}={\frac {13}{9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5073c0f18a3486143eb845fad09cf5d7b6f0a569)
したがって、
が成り立っている。
独立な確率変数の積の平均
|
確率変数XとYが互いに独立ならば
|
2つの確率変数X,Yの和の分散についても、次のことが成り立つ。
独立な確率変数の和の分散
|
確率変数XとYが互いに独立ならば
|
大小2個のさいころを同時に投げるとき、それぞれのさいころの出る目をX,Yとする。出る目の和
の平均、出る目の積
の平均、出る目の和
の分散を求めよ。
XとYは互いに独立である。今までの例より
![{\displaystyle E(X)={\frac {7}{2}},E(Y)={\frac {7}{2}},V(X)={\frac {35}{12}},V(Y)={\frac {35}{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5bd4fa56951167afa6f84a9c48b3c440fed9d5)
したがって
![{\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)={\frac {7}{2}}+{\frac {7}{2}}=7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa494f0ddc6d892473943ff8b0826231835a49a2)
![{\displaystyle E(XY)=E(X)E(Y)={\frac {7}{2}}\times {\frac {7}{2}}={\frac {49}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62868d0ea1b3406052e1e2873abca816d1b70c95)
![{\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)={\frac {35}{12}}+{\frac {35}{12}}={\frac {35}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf45d6213434d1d1b3934ddaef995e5d6351ac01)
1個のさいころを3回投げるとき、1の目の出る回数をXとすると
である。確率変数Xの確率分布は次のようになる。
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) | ![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) | ![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f) | | 計 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) | ![{\displaystyle _{3}C_{0}\left({\frac {1}{6}}\right)^{0}\left({\frac {5}{6}}\right)^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2980956dc1c45710d02cd85b539e169e09b7891e) | ![{\displaystyle _{3}C_{1}\left({\frac {1}{6}}\right)^{1}\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a77ccdd585d80287a1c5891affdf5bdf6cfb4111) | ![{\displaystyle _{3}C_{2}\left({\frac {1}{6}}\right)^{2}\left({\frac {5}{6}}\right)^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f132f86628ba019850970d8418c269762f687ee6) | ![{\displaystyle _{3}C_{3}\left({\frac {1}{6}}\right)^{3}\left({\frac {5}{6}}\right)^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb2fbf1abd9d202e186c4bfc5b1aa8bd709258c) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
一般に、1回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、この試行をn回行う反復試行において、Aの起こる回数をXとすると、確率変数Xの確率分布は次のようになる。ただし、
である。
![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab) | ![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b) | 計 |
![{\displaystyle P}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a) | | | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle _{n}C_{r}\ p^{r}q^{n-r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0f63c2bfff688abb74852bce7a9d989873ae65) | ![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56) | ![{\displaystyle _{n}C_{n}\ p^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab2379c463f9bfaf159d3f018f7835cb68f9e2c) | ![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) |
この表の確率は、二項定理の展開式
の右辺の各項を順に並べたものである。この確率分布を二項分布といい、
で表す。ただし、
とする。
上の例は、
である。
1枚の硬貨を6回投げるとき、表が出る回数をXとすると、Xは二項分布
に従う。
二項分布
に従う確率変数Xの平均・分散・標準偏差を求めよう。ただし、
とする。
Xの平均は
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=0\times _{3}C_{0}\ q^{3}+1\times _{3}C_{1}\ p\ q^{2}+2\times _{3}C_{2}\ p^{2}\ q+3\times _{3}C_{3}\ p^{3}\\&=3p^{3}+6p^{2}q+3pq^{2}=3p(p^{2}+2pq+q^{2})\\&=3p(p+q)^{2}=3p\times 1=3p\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284d09a3819f4bb1936eb2447edb1515097dcd00)
また、
の平均は
![{\displaystyle {\begin{aligned}E\left(X^{2}\right)&=0^{2}\times _{3}C_{0}\ q^{3}+1^{2}\times _{3}C_{1}\ p\ q^{2}+2^{2}\times _{3}C_{\ }p^{2}\ q+3^{2}\times _{3}C_{3}\ p^{3}\\&=9p^{3}+12p^{2}q+3pq^{2}=3p(3p^{2}+4pq+q^{2})\\&=3p(p+q)(3p+q)=3p\times 1\times (3p+q)=3p(3p+q)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98ffe9b8f67f518c0828b5f2f8f53055c423171)
よって、Xの分散は
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=E\left(X^{2}\right)-\left\{E(X)\right\}^{2}\quad \\&=3p(3p+q)-(3p)^{2}\\&=3pq\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1252971eeaa7b155e16af2818cdba7b8dc37cf0)
Xの標準偏差は
![{\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {V(X)}}={\sqrt {3pq}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87788262f90e2969e6d13a29239166cf950f0889)
一般に、二項分布に従う確率変数について、次のことが成り立つ。
白玉7個と黒玉3個が入っている袋から、もとに戻しながら、玉を100回取り出す。白玉の出る回数Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。
Xは二項分布
に従う。
Xの平均は
![{\displaystyle E(X)=np=100\times {\frac {7}{10}}=70}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f232d7e4c4b4ab18d4d7f11577fe1f417d1f490)
Xの分散は
![{\displaystyle V(X)=npq=100\times {\frac {7}{10}}\times {\frac {3}{10}}=21}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d41e7b5e759ddb4eb9f0f81e1d4a3f8f774f22)
Xの標準偏差は
![{\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {npq}}={\sqrt {21}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97c2cd4b71ca98d299f5b3fd52a56f60f15011fa)