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物理数学II > フーリエ解析
フーリエ級数とは
のようにある関数
を三角関数の無限和で表したものである。
におけるフーリエ級数
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xの定義域を
と定義したとき、フーリエ級数は
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx),(-\pi <x<\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a5f6d3c1ea51507fa15ab58f31aaca014fe01e)
で表される。このとき
と
は
![{\displaystyle a_{n}={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\,dx,(n=0,1,2,3,\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e29ac125207877ef387354540130768563b1502)
![{\displaystyle b_{n}={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\,dx,(n=1,2,3,\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5be439901c50ab4d475d62a0f7cf8dcc755d05b0)
で表される。
のフーリエ級数
は奇関数なので
は
![{\displaystyle a_{n}={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }x\cos nx\,dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6b4aab24418203cc30bb23b5512e5ca3cd7b20)
となる。また
は
![{\displaystyle b_{n}={1 \over \pi }\int _{-\pi }^{\pi }x\sin nx\,dx=-{\frac {2\cos n\pi }{n}}={\frac {2(-1)^{n+1}}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a0824de77422d9f5c707687d22eb469d915356)
となる。よって
のフーリエ級数は
![{\displaystyle x=2\left(\sin x-{\frac {1}{2}}\sin 2x+{\frac {1}{3}}\sin 3x-\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ecf75154869643bec35b356a3542069d426129)
となる。
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