統計学基礎/標本空間

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標本空間と事象[編集]

ある実験を行ったときに, 起こり得る全ての結果の集合を標本空間, または, 全事象という. 標本空間の要素(元)を標本点, 標本空間の部分集合を事象という.

事象に含まれる標本点の数は有限個かも知れないし, 無限個かもしれない.


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コイン投げ[編集]

コイン投げを1回行った時に, 起こり得る結果は{表}がでるか{裏}がでるかのいずれかである. この場合, 標本点は{表}と{裏}であり, 標本空間は{表,裏}となる. 事象の定義は, 標本空間の部分集合なので, φ, {表}, {裏}, {表,裏}の四つになる. 特に空集合 φ も事象(空事象という)である.

では, コイン投げを2回行うとどうなるだろうか?標本点は1回目に何が出たか?2回目に何が出たか?という情報を持たされる. 1回目と2回目で表と裏どちらが出たかを表すために(1回目,2回目)の形で書くと, 標本空間は{(表,表),(表,裏),(裏,表),(裏,裏)}ということになる. 事象は,

φ , {(表,表)}, {(表,裏)}, {(裏,表)}, {(裏,裏)}, {(表,表),(表,裏)}, {(表,表),(裏,表)}, {(表,表),(裏,裏)}, {(表,裏),(裏,表)}, {(表,裏),(裏,裏)}, {(裏,表),(裏,裏)}, {(表,表),(表,裏),(裏,表)}, {(表,表),(表,裏),(裏,裏)}, {(表,表),(裏,表),(裏,裏)}, {(表,裏),(裏,表),(裏,裏)}, {(表,表),(表,裏),(裏,表),(裏,裏)}

の, 合計16個ということになる.

一般にn個の要素がある集合の部分集合は2n個あるので, 標本点が4個であれば24=16個というように計算できる.

事象の種類[編集]

コイン投げの例で並べた事象を眺めてみると, 標本点の数が0個(空事象)~4個(全事象)まで様々だが, 特に標本点が1個の事象を根元事象, 標本点が2個以上の事象を複合事象という.

毎回このように, 事象を書くたびに{…}のように標本点を並べたりするのは大変なので, 事象A={…}のように記号を用いて事象を表し, Aという記号を用いて説明することも多い. 標本空間(全事象)は, Ω と書く.

事象の扱い方[編集]

事象の演算[編集]

事象は標本空間の部分集合であると定義したので, 集合同士の演算というものが可能である. ここでは, 事象Aと事象Bを考える.

  • 和集合 AB和事象という.
  • 積集合 AB積事象という.
  • 差集合 A - B差事象という.
  • 余集合 Ac余事象という.
補集合をとるための全集合は, 標本空間(全事象)とする.

このように「事象」という言葉を定義はしたものの, それは, 「集合」と何ら変わりはない.

排反事象[編集]

積事象 AB が空集合となるとき, AB排反事象であるという. 重なりが無いとはどういうことかと考えると, 事象は標本点の集合なので, 共通の標本点を含まない事象同士の事であり, このような事象同士の関係を背反であると言う.

集合について(復習)[編集]

これは, 集合について知らない人, 或いは, 忘れかけてる人のために補足するための項目です.
まだ予定です.