を
を満たす定数とする。
を満たす
に対し、
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\beta -\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b02f2e145c21157f0d31cc1461ed1e773261c457)
と定める。このとき、
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}dx=\left[{\frac {1}{\beta -\alpha }}x\right]_{\alpha }^{\beta }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a39df704561c5d60915d9256482ebaa5a242b2)
を満たすので、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、一様分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}xdx\\&=\left[{\frac {1}{2(\beta -\alpha )}}x^{2}\right]_{\alpha }^{\beta }\\&={\frac {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}{2(\beta -\alpha )}}\\&={\frac {(\beta -\alpha )(\beta +\alpha )}{2(\beta -\alpha )}}\\&={\frac {\beta +\alpha }{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb99920211da8c96ec61ed52e9686e3fbba0adb)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}x^{2}dx-\left({\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)^{2}\\&=\left[{\frac {1}{3(\beta -\alpha )}}x^{3}\right]_{\alpha }^{\beta }-\left({\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)^{2}\\&={\frac {\beta ^{2}+\beta \alpha +\alpha ^{2}}{3}}-{\frac {\beta ^{2}+2\beta \alpha +\alpha ^{2}}{4}}\\&={\frac {\beta ^{2}-2\beta \alpha +\alpha ^{2}}{12}}\\&={\frac {(\beta -\alpha )^{2}}{12}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b956aae0bcab70f3a795b66f9bb703985cb6bed)
である。
実数
に対し、
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51840581935b991430c6b693a87d8ae172046e91)
と定める。このとき
![{\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdf41ce84225f2606a80b93b021cb8f38288a16)
とすると
![{\displaystyle I^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}dxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c91e8781c86f7ece983c9ebab5c0a766fa37af7)
であり、
と極座標変換すると
なので、
![{\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}rdr\right)d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\left[-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\right]_{0}^{\infty }\right)d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd18f3408aa29b5fe55f235f0d0fcc44445ac7e6)
である。
であることと併せて、
であることがわかる。すなわち、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、(標準)正規分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left[-e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dae4bafc3b5a8e8d7bdb504714540c6e2d90ea)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left[-xe^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764e82a6182e1828196589fbb95bf3713f5f4cba)
である。
を正の定数とする。正の数
に対し、
![{\displaystyle f(x)={\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a67e941832703cbe8a0e2ee964f86cf3d8499c54)
と定める。ただし、
はガンマ関数である。このとき、
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}dx={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx={\frac {\Gamma (k)}{\Gamma (k)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e417524699223f6d2697fa6c226a294e3ad0c8)
であるから、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ガンマ分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-{\frac {\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k}{\lambda \Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx\\&={\frac {k}{\lambda }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b9a9b09b7b176654a1fe4de5fb2752218bd8ca)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k+1}e^{-\lambda x}dx-\left({\frac {k}{\lambda }}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}x^{k+1}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {(k+1)\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-\lambda x}dx-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&=\left[-{\frac {(k+1)\lambda ^{k-2}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k(k+1)}{\lambda ^{2}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {k(k+1)}{\lambda ^{2}}}-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {k}{\lambda ^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76af3a9db87ec032ef7610dfab04738f7685516)
である。
を正の定数とする。
を満たす
に対し、
![{\displaystyle f(x)={\frac {x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{\mathrm {B} (a,b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bba491616f3f199e16a884158fcb7aa60de02a2)
と定める。ただし、
はベータ関数である。このとき、
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{\mathrm {B} (a,b)}}dx={\frac {\mathrm {B} (a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74161bf00ec230c94e7249b2d0cf502d5f0685d7)
であるから、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ベータ分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b-1}dx\\&=\left[-{\frac {1}{b\mathrm {B} (a,b)}}x^{a}(1-x)^{b}\right]_{0}^{1}+{\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b}dx\\&={\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}\left(x^{a-1}(1-x)^{b-1}-x^{a}(1-x)^{b-1}\right)dx\\&={\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\left(\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (a,b)E(X)\right)\\&={\frac {a}{b}}\left(1-E(X)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66ab2d18aa931e145e923431c50cd96fe9499de)
であるから、これを整理すると
![{\displaystyle E(X)={\frac {a}{a+b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ab0dc4833cb8d13f67b9aaeeee38515133e745)
が得られる。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&={\frac {1}{\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a+1}(1-x)^{b-1}dx-\left({\frac {a}{a+b}}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {1}{b\mathrm {B} (a,b)}}x^{a+1}(1-x)^{b}\right]_{0}^{1}+{\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b}dx-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}\left(x^{a}(1-x)^{b-1}-x^{a+1}(1-x)^{b-1}\right)dx-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\left({\frac {a\mathrm {B} (a,b)}{a+b}}-\mathrm {B} (a,b)\left(V(X)+{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\right)\right)-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a(a+1)(a+b)-a^{2}(a+1)-a^{2}b}{b(a+b)^{2}}}-{\frac {a+1}{b}}V(X)\\&={\frac {a}{(a+b)^{2}}}-{\frac {a+1}{b}}V(X)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed95ee6967ca494c85093e7332bcae8227cc725)
であるから、これを整理すると
![{\displaystyle V(X)={\frac {ab}{(a+b+1)(a+b)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8d126e09a3498ed9bcef48c4e31be34e98cb4b)
が得られる。
を正の定数とする。正の数
に対し、
![{\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523a6735ac5e9b3991646b12ddbcf0cfe5da6af5)
と定めると、
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22b44d4321d89c1115303dd8f0bcc802d90d618)
なので、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、指数分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}dx\\&=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-{\frac {1}{\lambda }}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }\\&={\frac {1}{\lambda }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacc034c294448d2a4917c9d7d8f2152024d425e)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }\lambda x^{2}e^{-\lambda x}dx-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}dx-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {2}{\lambda }}{\frac {1}{\lambda }}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b409e0847d0efed99b260474502b8356bbad6960)
である。
を正整数の定数とする。正の数
に対し、
![{\displaystyle f(x)={\frac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6189cc614a8cb04e15c2ab1e26ad98cc82e08acf)
と定める。ただし、
はガンマ関数である。このとき、
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {x}{2}}\right)^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}{\frac {1}{2}}dx={\frac {\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283c441efbb7c42d25d6c10db0cd74a82ea4f90f)
なので、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、カイ二乗分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx\\&=\left[-{\frac {x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}dx\\&={\frac {k}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {x}{2}}\right)^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}{\frac {1}{2}}dx\\&={\frac {k\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\\&=k\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef117a293693169eebc472ecbe969a3ea201ae7)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{{\frac {k}{2}}+1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx-k^{2}\\&=\left[-{\frac {x^{{\frac {k}{2}}+1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {{\frac {k}{2}}+1}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}dx-k^{2}\\&=(k+2)E(X)-k^{2}\\&=(k+2)k-k^{2}\\&=2k\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c5f1932164c8a00d641efb10c2770da784db72)
である。
を4以上の自然数とする。実数
に対して、
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81dc1fae40c7feebbdae9f508b54bde98f6bbac)
と定める。ただし、
はガンマ関数である。このとき、
と置換すると
なので、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}(1+\tan ^{2}\theta )^{-{\frac {n}{2}}}{\frac {\sqrt {n-1}}{\cos ^{2}\theta }}d\theta \\&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n-2}\theta d\theta \\&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n-2}\theta d\theta \\&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a941e802fb883c3d0f747533b093d63d00513bba)
である。ただし、途中補遺で導いた式
![{\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d69334259244a0e3a52159a7131103a0cc827a2)
で
とした式を用いた。この計算より、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、t分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}x\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx\\&=\left[{\frac {\sqrt {n-1}}{2-n}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{1-{\frac {n}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374211dd0a5aed8a562025f7da06d6bedd7a0b69)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}x^{2}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx\\&={\frac {2}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{2}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79d2c6e35c7eba735c3f21aa8ab9cc5f78839b14)
である。ここで、
とおくと、
であり、
より
である。また、
である。よって、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}{\frac {(n-1)(1-u)}{u}}u^{\frac {n}{2}}u^{-{\frac {3}{2}}}(1-u)^{-{\frac {1}{2}}}du\\&={\frac {(n-1)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}u^{\frac {n-5}{2}}(1-u)^{\frac {1}{2}}du\\&={\frac {(n-1)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\mathrm {B} \left({\frac {n-3}{2}},{\frac {3}{2}}\right)\\&=(n-1){\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n-3}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\\&=(n-1){\frac {1}{2}}{\frac {2}{n-3}}\\&={\frac {n-1}{n-3}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d67ac07cba35ab6cc9a79f8f9eb296b6a006084)
である。ただし、途中補遺で導いた式
![{\displaystyle \mathrm {B} (a,b)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ddd7412723915f208e21c3d409ee0ac32ce1fc)
で
とした式を用いた。
を正整数の定数とし、特に
は4より大きいとする。正の数
に対し、
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f83dd2b2e42e4cee3bddc82ff7f725fe20928a9)
と定める。ただし、
はベータ関数である。
このとき、
と置くと、
であり、
であることに注意すると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}dt\\&={\frac {\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74116290dd88a5693fd15868eb2fd83849d6817)
なので、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、F分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle E(X)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83848b7d81196f13573f05a20337b1c0e9f748e)
である。ここで、先ほどの置換をすると
![{\displaystyle x={\frac {d_{2}t}{d_{1}(1-t)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0023fe1a1887bcbfd5050f74a6106a9d31336b7d)
であることに注意すると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {d_{2}}{d_{1}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}dt\\&=-{\frac {d_{2}}{d_{1}\left({\frac {d_{2}}{2}}-1\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left[t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}\right]_{0}^{1}+{\frac {d_{2}}{(d_{2}-2)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}dt\\&={\frac {d_{2}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}{(d_{2}-2)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950f1fc6768582e491dc5effaca9609a2e134a5c)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle V(X)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}dx-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1978180029ce10c40c25f32f25a0474d156fdb)
である。同様に、先ほどの置換をすると
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&={\frac {d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}+1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-3}dt-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}\left({\frac {d_{2}}{2}}-2\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left[t^{{\frac {d_{1}}{2}}+1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}\right]_{0}^{1}+{\frac {d_{2}^{2}\left({\frac {d_{1}}{2}}+1\right)}{d_{1}^{2}\left({\frac {d_{2}}{2}}-2\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}dt-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&={\frac {d_{2}(d_{1}+2)}{d_{1}(d_{2}-4)}}{\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&={\frac {d_{2}^{2}}{d_{2}-2}}\left({\frac {d_{1}+2}{d_{1}(d_{2}-4)}}-{\frac {1}{d_{2}-2}}\right)\\&={\frac {2d_{2}^{2}(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15dc0c175b8e72de92faef913c192344b893feeb)
である。
を
の定数とする。
を満たす実数
に対し、
![{\displaystyle f(x)={\frac {ab^{a}}{x^{a+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b437bba2cd6e2ff65aeaacef3f49933e52ac5f)
と定めると、
![{\displaystyle \int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a+1}}}dx=\left[-{\frac {b^{a}}{x^{a}}}\right]_{b}^{\infty }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abee03b037aafe476ef78adc069844d882783751)
なので、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、パレート分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a}}}dx\\&=\left[-{\frac {ab^{a}}{(a-1)x^{a-1}}}\right]_{b}^{\infty }\\&={\frac {ab}{a-1}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48592256f7c1423f8d5083f77312493cd2a9d27)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a-1}}}dx-\left({\frac {ab}{a-1}}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {ab^{a}}{(a-2)x^{a-2}}}\right]_{b}^{\infty }-{\frac {a^{2}b^{2}}{(a-1)^{2}}}\\&={\frac {ab^{2}}{a-2}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{(a-1)^{2}}}\\&={\frac {ab^{2}}{(a-2)(a-1)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f067e7638c83b862f15eecfab9af82e06c5dcf14)
である。
正の数
に対して、積分
![{\displaystyle \Gamma (k)=\int _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7c2d355f4b2b13254c2a5a69e7d55d45cc100d)
をガンマ関数という。
この積分は広義積分であるから、収束性を確認しておこう。
のそれぞれが収束することを示せばよい。
については、
において
より
であり、
であるから、
は収束する。
については、
であることに注意すると、ある正の数
が存在して
において
であるから、
であり、
であるから、
は収束する。
ガンマ関数について、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (k+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}dx\\&=\left[-x^{k}e^{-x}\right]_{0}^{\infty }+k\int _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx\\&=k\Gamma (k)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8064b6ca84d9351656b657148a7accb793136fd2)
が成り立つ。このことと、
![{\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1245323acce990a86c6ccb014dd23a808c6615)
であることを合わせると、自然数
に対しては
![{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3f7eebd96f717c5f1fd154b3905af7fbcabf24)
であることがわかる。
正の数
に対して、積分
![{\displaystyle \mathrm {B} (a,b)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7397abfd2b425ccc39e11cfe7512bb8f8143c02b)
をベータ関数という。
この積分は一見すると通常の積分であるが、
または
のときは端点での値が発散するので広義積分である。収束性を確認しておこう。
のそれぞれが収束することを示せばよい。
については、
において
より
であり、
であるから、
は収束する。
については、
において
より
であり、
であるから、
は収束する。
ガンマ関数とベータ関数の間には、
![{\displaystyle \mathrm {B} (a,b)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ddd7412723915f208e21c3d409ee0ac32ce1fc)
という関係式が成り立つ。
- (証明)
- 両辺ともに
![{\displaystyle 2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f1bf57f0ef1fe9292a75ed2c2b04cd47620820e)
- という積分と等しくなることを示す。
- ベータ関数について、
![{\displaystyle \mathrm {B} (a,b)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7397abfd2b425ccc39e11cfe7512bb8f8143c02b)
- において
とすると
であるから、
![{\displaystyle \mathrm {B} (a,b)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-2}\theta (1-\sin ^{2}\theta )^{b-1}2\sin \theta \cos \theta d\theta =2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a93eba819923548da21f55924d95b0093d7f02c)
- である。
- ガンマ関数について、
![{\displaystyle \Gamma (a)\Gamma (b)=\int _{0}^{\infty }y^{a-1}e^{-y}dy\int _{0}^{\infty }x^{b-1}e^{-x}dx=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{b-1}y^{a-1}e^{-x-y}dxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbd0cb4457cdbdbb278e5d41c306f29613a348a3)
- において、
と変数変換すると、
であるから、
![{\displaystyle \Gamma (a)\Gamma (b)=4\int _{0}^{\infty }r^{2a+2b-1}e^{-r^{2}}dr\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e1799350f7877de3861585723fed122e818e16a)
- である。ここでさらに
とすると、
であるから、
![{\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }r^{2a+2b-1}e^{-r^{2}}dr=\int _{0}^{\infty }t^{a+b-1}e^{-t}dt=\Gamma (a+b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc58cf61665479783e89915ad372375d8f2ee9ee)
- であることがわかるので、以上より
![{\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d69334259244a0e3a52159a7131103a0cc827a2)
- である。//
ここで、得られた関係式に
を代入してみよう。すると、左辺、右辺はそれぞれ
![{\displaystyle \mathrm {B} (2,2)=\int _{0}^{1}x(1-x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7b673d3b8529bd6726b755305b6c7407ada029)
![{\displaystyle {\frac {\Gamma (2)\Gamma (2)}{\Gamma (4)}}={\frac {1!1!}{3!}}={\frac {1}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf190db477d3848ccc1c645d552248fc88d9684)
であり、これは大学受験数学でおなじみの1/6公式そのものである。他にも、
とすると![{\displaystyle \int _{0}^{1}x(1-x)^{2}dx={\frac {1!2!}{4!}}={\frac {1}{12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1997e5bd7f487271d676b6e1bca8b7b28a0c344)
とすると![{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}(1-x)^{2}dx={\frac {2!2!}{5!}}={\frac {1}{30}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ce0eeffc64472a22ddc5b8c98ffe2cf21b571f4)
なども、大学受験対策の公式として暗記した人もいるかもしれない。本節で示した関係式は、これらの公式を一般化したものといえるものである。