統計学基礎/確率分布/連続変数

一様分布

確率密度関数

$\alpha ,\beta$ を $\alpha <\beta$ を満たす定数とする。 $\alpha \leq x\leq \beta$ を満たす $x$ に対し、

f(x)={\frac {1}{\beta -\alpha }}

と定める。このとき、

\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}dx=\left[{\frac {1}{\beta -\alpha }}x\right]_{\alpha }^{\beta }=1

を満たすので、この $f(x)$ は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、一様分布という。

期待値

期待値E(X)は、

{\begin{aligned}E(X)&=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}xdx\\&=\left[{\frac {1}{2(\beta -\alpha )}}x^{2}\right]_{\alpha }^{\beta }\\&={\frac {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}{2(\beta -\alpha )}}\\&={\frac {(\beta -\alpha )(\beta +\alpha )}{2(\beta -\alpha )}}\\&={\frac {\beta +\alpha }{2}}\\\end{aligned}}

である。

分散

分散V(X)は、

{\begin{aligned}V(X)&=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}x^{2}dx-\left({\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)^{2}\\&=\left[{\frac {1}{3(\beta -\alpha )}}x^{3}\right]_{\alpha }^{\beta }-\left({\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)^{2}\\&={\frac {\beta ^{2}+\beta \alpha +\alpha ^{2}}{3}}-{\frac {\beta ^{2}+2\beta \alpha +\alpha ^{2}}{4}}\\&={\frac {\beta ^{2}-2\beta \alpha +\alpha ^{2}}{12}}\\&={\frac {(\beta -\alpha )^{2}}{12}}\end{aligned}}

である。

正規分布

確率密度関数

実数 $x$ に対し、

f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}

と定める。このとき

I=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx

とすると

I^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}dxdy

であり、 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ と極座標変換すると $dxdy={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}drd\theta =rdrd\theta$ なので、

{\begin{aligned}I^{2}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}rdr\right)d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\left[-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\right]_{0}^{\infty }\right)d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=1\end{aligned}}

である。 $I>0$ であることと併せて、 $I=1$ であることがわかる。すなわち、この $f(x)$ は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、（標準）正規分布という。

期待値

期待値E(X)は、

{\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left[-e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }\\&=0\end{aligned}}

である。

分散

分散V(X)は、

{\begin{aligned}V(X)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left[-xe^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&=1\end{aligned}}

である。

ガンマ分布

確率密度関数

$k,\lambda$ を正の定数とする。正の数 $x$ に対し、

f(x)={\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}

と定める。ただし、 $\Gamma (k)$ はガンマ関数である。このとき、

\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}dx={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx={\frac {\Gamma (k)}{\Gamma (k)}}=1

であるから、この $f(x)$ は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ガンマ分布という。

期待値

期待値E(X)は、

{\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-{\frac {\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k}{\lambda \Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx\\&={\frac {k}{\lambda }}\end{aligned}}

である。

分散

分散V(X)は、

{\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k+1}e^{-\lambda x}dx-\left({\frac {k}{\lambda }}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}x^{k+1}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {(k+1)\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-\lambda x}dx-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&=\left[-{\frac {(k+1)\lambda ^{k-2}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k(k+1)}{\lambda ^{2}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {k(k+1)}{\lambda ^{2}}}-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {k}{\lambda ^{2}}}\end{aligned}}

である。

ベータ分布

確率密度関数

$a.b$ を正の定数とする。 $0\leq x\leq 1$ を満たす $x$ に対し、

f(x)={\frac {x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{\mathrm {B} (a,b)}}

と定める。ただし、 $\mathrm {B} (a,b)$ はベータ関数である。このとき、

\int _{0}^{1}{\frac {x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{\mathrm {B} (a,b)}}dx={\frac {\mathrm {B} (a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}=1

であるから、この $f(x)$ は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ベータ分布という。

期待値

期待値E(X)は、

{\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b-1}dx\\&=\left[-{\frac {1}{b\mathrm {B} (a,b)}}x^{a}(1-x)^{b}\right]_{0}^{1}+{\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b}dx\\&={\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}\left(x^{a-1}(1-x)^{b-1}-x^{a}(1-x)^{b-1}\right)dx\\&={\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\left(\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (a,b)E(X)\right)\\&={\frac {a}{b}}\left(1-E(X)\right)\end{aligned}}

であるから、これを整理すると

E(X)={\frac {a}{a+b}}

が得られる。

分散

分散V(X)は、

{\begin{aligned}V(X)&={\frac {1}{\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a+1}(1-x)^{b-1}dx-\left({\frac {a}{a+b}}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {1}{b\mathrm {B} (a,b)}}x^{a+1}(1-x)^{b}\right]_{0}^{1}+{\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b}dx-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}\left(x^{a}(1-x)^{b-1}-x^{a+1}(1-x)^{b-1}\right)dx-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\left({\frac {a\mathrm {B} (a,b)}{a+b}}-\mathrm {B} (a,b)\left(V(X)+{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\right)\right)-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a(a+1)(a+b)-a^{2}(a+1)-a^{2}b}{b(a+b)^{2}}}-{\frac {a+1}{b}}V(X)\\&={\frac {a}{(a+b)^{2}}}-{\frac {a+1}{b}}V(X)\\\end{aligned}}

であるから、これを整理すると

V(X)={\frac {ab}{(a+b+1)(a+b)^{2}}}

が得られる。

指数分布

確率密度関数

$\lambda$ を正の定数とする。正の数 $x$ に対し、

f(x)=\lambda e^{-\lambda x}

と定めると、

\int _{0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }=1

なので、この $f(x)$ は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、指数分布という。

期待値

期待値E(X)は、

{\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}dx\\&=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-{\frac {1}{\lambda }}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }\\&={\frac {1}{\lambda }}\end{aligned}}

である。

分散

分散V(X)は、

{\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }\lambda x^{2}e^{-\lambda x}dx-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}dx-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {2}{\lambda }}{\frac {1}{\lambda }}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\end{aligned}}

である。

カイ二乗分布

確率密度関数

$k$ を正整数の定数とする。正の数 $x$ に対し、

f(x)={\frac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}

と定める。ただし、 $\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)$ はガンマ関数である。このとき、

\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {x}{2}}\right)^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}{\frac {1}{2}}dx={\frac {\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}=1

なので、この $f(x)$ は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、カイ二乗分布という。

期待値

期待値E(X)は、

{\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx\\&=\left[-{\frac {x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}dx\\&={\frac {k}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {x}{2}}\right)^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}{\frac {1}{2}}dx\\&={\frac {k\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\\&=k\end{aligned}}

である。

分散

分散V(X)は、

{\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{{\frac {k}{2}}+1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx-k^{2}\\&=\left[-{\frac {x^{{\frac {k}{2}}+1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {{\frac {k}{2}}+1}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}dx-k^{2}\\&=(k+2)E(X)-k^{2}\\&=(k+2)k-k^{2}\\&=2k\end{aligned}}

である。

t分布

確率密度関数

$n$ を4以上の自然数とする。実数 $x$ に対して、

f(x)={\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}

と定める。ただし、 $\Gamma$ はガンマ関数である。このとき、 $x={\sqrt {n-1}}\tan \theta$ と置換すると $dx={\frac {\sqrt {n-1}}{\cos ^{2}\theta }}d\theta$ なので、

{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}(1+\tan ^{2}\theta )^{-{\frac {n}{2}}}{\frac {\sqrt {n-1}}{\cos ^{2}\theta }}d\theta \\&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n-2}\theta d\theta \\&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n-2}\theta d\theta \\&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\\&=1\end{aligned}}

である。ただし、途中補遺で導いた式

{\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta

で $a={\frac {1}{2}},b={\frac {n-1}{2}}$ とした式を用いた。この計算より、この $f(x)$ は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、t分布という。

期待値

期待値E(X)は、

{\begin{aligned}E(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}x\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx\\&=\left[{\frac {\sqrt {n-1}}{2-n}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{1-{\frac {n}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }\\&=0\end{aligned}}

である。

分散

分散V(X)は、

{\begin{aligned}V(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}x^{2}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx\\&={\frac {2}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{2}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx\end{aligned}}

である。ここで、 $1+{\frac {x^{2}}{n-1}}=u^{-1}$ とおくと、 $x={\sqrt {\frac {(n-1)(1-u)}{u}}}$ であり、 ${\frac {2x}{n-1}}dx=-u^{-2}du$ より $dx=-{\frac {\sqrt {n-1}}{2}}u^{-{\frac {3}{2}}}(1-u)^{-{\frac {1}{2}}}du$ である。また、 $u|_{x=0}=1,\lim _{x\to \infty }u=0$ である。よって、

{\begin{aligned}V(X)&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}{\frac {(n-1)(1-u)}{u}}u^{\frac {n}{2}}u^{-{\frac {3}{2}}}(1-u)^{-{\frac {1}{2}}}du\\&={\frac {(n-1)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}u^{\frac {n-5}{2}}(1-u)^{\frac {1}{2}}du\\&={\frac {(n-1)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\mathrm {B} \left({\frac {n-3}{2}},{\frac {3}{2}}\right)\\&=(n-1){\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n-3}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\\&=(n-1){\frac {1}{2}}{\frac {2}{n-3}}\\&={\frac {n-1}{n-3}}\\\end{aligned}}

である。ただし、途中補遺で導いた式

\mathrm {B} (a,b)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}

で $a={\frac {n-3}{2}},b={\frac {3}{2}}$ とした式を用いた。

F分布

確率密度関数

$d_{1},d_{2}$ を正整数の定数とし、特に $d_{2}$ は4より大きいとする。正の数 $x$ に対し、

f(x)={\frac {1}{x\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}

と定める。ただし、 $\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)$ はベータ関数である。

このとき、 $t={\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}$ と置くと、 $t|_{x=0}=0,\lim _{x\to \infty }t=1$ であり、 $dt={\frac {d_{1}d_{2}}{(d_{1}x+d_{2})^{2}}}dx={\frac {t(1-t)}{x}}dx$ であることに注意すると、

{\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}dt\\&={\frac {\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&=1\end{aligned}}

なので、この $f(x)$ は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、F分布という。

期待値

期待値E(X)は、

E(X)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}dx

である。ここで、先ほどの置換をすると

x={\frac {d_{2}t}{d_{1}(1-t)}}

であることに注意すると、

{\begin{aligned}E(X)&={\frac {d_{2}}{d_{1}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}dt\\&=-{\frac {d_{2}}{d_{1}\left({\frac {d_{2}}{2}}-1\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left[t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}\right]_{0}^{1}+{\frac {d_{2}}{(d_{2}-2)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}dt\\&={\frac {d_{2}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}{(d_{2}-2)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\end{aligned}}

である。

分散

分散V(X)は、

V(X)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}dx-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}

である。同様に、先ほどの置換をすると

{\begin{aligned}V(X)&={\frac {d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}+1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-3}dt-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}\left({\frac {d_{2}}{2}}-2\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left[t^{{\frac {d_{1}}{2}}+1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}\right]_{0}^{1}+{\frac {d_{2}^{2}\left({\frac {d_{1}}{2}}+1\right)}{d_{1}^{2}\left({\frac {d_{2}}{2}}-2\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}dt-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&={\frac {d_{2}(d_{1}+2)}{d_{1}(d_{2}-4)}}{\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&={\frac {d_{2}^{2}}{d_{2}-2}}\left({\frac {d_{1}+2}{d_{1}(d_{2}-4)}}-{\frac {1}{d_{2}-2}}\right)\\&={\frac {2d_{2}^{2}(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\end{aligned}}

である。

パレート分布

確率密度関数

$a,b$ を $a>2,b>0$ の定数とする。 $x\geq b$ を満たす実数 $x$ に対し、

f(x)={\frac {ab^{a}}{x^{a+1}}}

と定めると、

\int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a+1}}}dx=\left[-{\frac {b^{a}}{x^{a}}}\right]_{b}^{\infty }=1

なので、この $f(x)$ は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、パレート分布という。

期待値

期待値E(X)は、

{\begin{aligned}E(X)&=\int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a}}}dx\\&=\left[-{\frac {ab^{a}}{(a-1)x^{a-1}}}\right]_{b}^{\infty }\\&={\frac {ab}{a-1}}\end{aligned}}

である。

分散

分散V(X)は、

{\begin{aligned}V(X)&=\int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a-1}}}dx-\left({\frac {ab}{a-1}}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {ab^{a}}{(a-2)x^{a-2}}}\right]_{b}^{\infty }-{\frac {a^{2}b^{2}}{(a-1)^{2}}}\\&={\frac {ab^{2}}{a-2}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{(a-1)^{2}}}\\&={\frac {ab^{2}}{(a-2)(a-1)^{2}}}\end{aligned}}

である。

補遺：ガンマ関数とベータ関数

ガンマ関数

正の数 $k$ に対して、積分

\Gamma (k)=\int _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx

をガンマ関数という。

この積分は広義積分であるから、収束性を確認しておこう。 $I_{0}=\int _{0}^{1}x^{k-1}e^{-x}dx,\ I_{1}=\int _{1}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx$ のそれぞれが収束することを示せばよい。 $I_{0}$ については、 $0<x\leq 1$ において $e^{-x}<1$ より $x^{k-1}e^{-x}<x^{k-1}$ であり、 $\int _{0}^{1}x^{k-1}dx={\frac {1}{k}}$ であるから、 $I_{0}$ は収束する。 $I_{1}$ については、 $\lim _{x\to \infty }x^{k-1}e^{-{\frac {x}{2}}}=0$ であることに注意すると、ある正の数 $M$ が存在して $1\leq x$ において $x^{k-1}e^{-{\frac {x}{2}}}<M$ であるから、 $x^{k-1}e^{-x}<Me^{-{\frac {x}{2}}}$ であり、 $\int _{1}^{\infty }Me^{-{\frac {x}{2}}}dx={\frac {2M}{\sqrt {e}}}$ であるから、 $I_{1}$ は収束する。

ガンマ関数について、

{\begin{aligned}\Gamma (k+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}dx\\&=\left[-x^{k}e^{-x}\right]_{0}^{\infty }+k\int _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx\\&=k\Gamma (k)\end{aligned}}

が成り立つ。このことと、

\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty }=1

であることを合わせると、自然数 $n$ に対しては

\Gamma (n)=(n-1)!

であることがわかる。

ベータ関数

正の数 $a,b$ に対して、積分

\mathrm {B} (a,b)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx

をベータ関数という。

この積分は一見すると通常の積分であるが、 $0<a<1$ または $0<b<1$ のときは端点での値が発散するので広義積分である。収束性を確認しておこう。 $I_{0}=\int _{0}^{\frac {1}{2}}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx,\ I_{1}=\int _{\frac {1}{2}}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$ のそれぞれが収束することを示せばよい。 $I_{0}$ については、 $0<x\leq {\frac {1}{2}}$ において $(1-x)^{b-1}<2$ より $x^{a-1}(1-x)^{b-1}<2x^{a-1}$ であり、 $\int _{0}^{\frac {1}{2}}2x^{a-1}dx={\frac {1}{2^{a-1}a}}$ であるから、 $I_{0}$ は収束する。 $I_{1}$ については、 ${\frac {1}{2}}\leq x<1$ において $x^{a-1}<2$ より $x^{a-1}(1-x)^{b-1}<2(1-x)^{b-1}$ であり、 $\int _{\frac {1}{2}}^{1}2(1-x)^{b-1}dx={\frac {1}{2^{b-1}b}}$ であるから、 $I_{1}$ は収束する。