一様分布[編集]
を
を満たす定数とする。
を満たす
に対し、

と定める。このとき、
![{\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}dx=\left[{\frac {1}{\beta -\alpha }}x\right]_{\alpha }^{\beta }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a39df704561c5d60915d9256482ebaa5a242b2)
を満たすので、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、一様分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}xdx\\&=\left[{\frac {1}{2(\beta -\alpha )}}x^{2}\right]_{\alpha }^{\beta }\\&={\frac {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}{2(\beta -\alpha )}}\\&={\frac {(\beta -\alpha )(\beta +\alpha )}{2(\beta -\alpha )}}\\&={\frac {\beta +\alpha }{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb99920211da8c96ec61ed52e9686e3fbba0adb)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}x^{2}dx-\left({\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)^{2}\\&=\left[{\frac {1}{3(\beta -\alpha )}}x^{3}\right]_{\alpha }^{\beta }-\left({\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)^{2}\\&={\frac {\beta ^{2}+\beta \alpha +\alpha ^{2}}{3}}-{\frac {\beta ^{2}+2\beta \alpha +\alpha ^{2}}{4}}\\&={\frac {\beta ^{2}-2\beta \alpha +\alpha ^{2}}{12}}\\&={\frac {(\beta -\alpha )^{2}}{12}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b956aae0bcab70f3a795b66f9bb703985cb6bed)
である。
正規分布[編集]
実数
に対し、

と定める。このとき

とすると

であり、
と極座標変換すると
なので、
![{\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}rdr\right)d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\left[-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\right]_{0}^{\infty }\right)d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd18f3408aa29b5fe55f235f0d0fcc44445ac7e6)
である。
であることと併せて、
であることがわかる。すなわち、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、(標準)正規分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left[-e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dae4bafc3b5a8e8d7bdb504714540c6e2d90ea)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left[-xe^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764e82a6182e1828196589fbb95bf3713f5f4cba)
である。
ガンマ分布[編集]
を正の定数とする。正の数
に対し、

と定める。ただし、
はガンマ関数である。このとき、

であるから、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ガンマ分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-{\frac {\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k}{\lambda \Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx\\&={\frac {k}{\lambda }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b9a9b09b7b176654a1fe4de5fb2752218bd8ca)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k+1}e^{-\lambda x}dx-\left({\frac {k}{\lambda }}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}x^{k+1}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {(k+1)\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-\lambda x}dx-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&=\left[-{\frac {(k+1)\lambda ^{k-2}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k(k+1)}{\lambda ^{2}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {k(k+1)}{\lambda ^{2}}}-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {k}{\lambda ^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76af3a9db87ec032ef7610dfab04738f7685516)
である。
ベータ分布[編集]
を正の定数とする。
を満たす
に対し、

と定める。ただし、
はベータ関数である。このとき、

であるから、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ベータ分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b-1}dx\\&=\left[-{\frac {1}{b\mathrm {B} (a,b)}}x^{a}(1-x)^{b}\right]_{0}^{1}+{\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b}dx\\&={\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}\left(x^{a-1}(1-x)^{b-1}-x^{a}(1-x)^{b-1}\right)dx\\&={\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\left(\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (a,b)E(X)\right)\\&={\frac {a}{b}}\left(1-E(X)\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66ab2d18aa931e145e923431c50cd96fe9499de)
であるから、これを整理すると

が得られる。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&={\frac {1}{\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a+1}(1-x)^{b-1}dx-\left({\frac {a}{a+b}}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {1}{b\mathrm {B} (a,b)}}x^{a+1}(1-x)^{b}\right]_{0}^{1}+{\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b}dx-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}\left(x^{a}(1-x)^{b-1}-x^{a+1}(1-x)^{b-1}\right)dx-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\left({\frac {a\mathrm {B} (a,b)}{a+b}}-\mathrm {B} (a,b)\left(V(X)+{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\right)\right)-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a(a+1)(a+b)-a^{2}(a+1)-a^{2}b}{b(a+b)^{2}}}-{\frac {a+1}{b}}V(X)\\&={\frac {a}{(a+b)^{2}}}-{\frac {a+1}{b}}V(X)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed95ee6967ca494c85093e7332bcae8227cc725)
であるから、これを整理すると

が得られる。
指数分布[編集]
を正の定数とする。正の数
に対し、

と定めると、
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22b44d4321d89c1115303dd8f0bcc802d90d618)
なので、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、指数分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}dx\\&=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-{\frac {1}{\lambda }}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }\\&={\frac {1}{\lambda }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bacc034c294448d2a4917c9d7d8f2152024d425e)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }\lambda x^{2}e^{-\lambda x}dx-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}dx-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {2}{\lambda }}{\frac {1}{\lambda }}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b409e0847d0efed99b260474502b8356bbad6960)
である。
カイ二乗分布[編集]
を正整数の定数とする。正の数
に対し、

と定める。ただし、
はガンマ関数である。このとき、

なので、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、カイ二乗分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx\\&=\left[-{\frac {x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}dx\\&={\frac {k}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {x}{2}}\right)^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}{\frac {1}{2}}dx\\&={\frac {k\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\\&=k\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef117a293693169eebc472ecbe969a3ea201ae7)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{{\frac {k}{2}}+1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx-k^{2}\\&=\left[-{\frac {x^{{\frac {k}{2}}+1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {{\frac {k}{2}}+1}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}dx-k^{2}\\&=(k+2)E(X)-k^{2}\\&=(k+2)k-k^{2}\\&=2k\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99c5f1932164c8a00d641efb10c2770da784db72)
である。
t分布[編集]
を4以上の自然数とする。実数
に対して、

と定める。ただし、
はガンマ関数である。このとき、
と置換すると
なので、

である。ただし、途中補遺で導いた式

で
とした式を用いた。この計算より、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、t分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}x\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx\\&=\left[{\frac {\sqrt {n-1}}{2-n}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{1-{\frac {n}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }\\&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374211dd0a5aed8a562025f7da06d6bedd7a0b69)
である。
分散V(X)は、

である。ここで、
とおくと、
であり、
より
である。また、
である。よって、

である。ただし、途中補遺で導いた式

で
とした式を用いた。
F分布[編集]
を正整数の定数とし、特に
は4より大きいとする。正の数
に対し、

と定める。ただし、
はベータ関数である。
このとき、
と置くと、
であり、
であることに注意すると、

なので、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、F分布という。
期待値E(X)は、

である。ここで、先ほどの置換をすると

であることに注意すると、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {d_{2}}{d_{1}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}dt\\&=-{\frac {d_{2}}{d_{1}\left({\frac {d_{2}}{2}}-1\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left[t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}\right]_{0}^{1}+{\frac {d_{2}}{(d_{2}-2)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}dt\\&={\frac {d_{2}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}{(d_{2}-2)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950f1fc6768582e491dc5effaca9609a2e134a5c)
である。
分散V(X)は、

である。同様に、先ほどの置換をすると
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&={\frac {d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}+1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-3}dt-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}\left({\frac {d_{2}}{2}}-2\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left[t^{{\frac {d_{1}}{2}}+1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}\right]_{0}^{1}+{\frac {d_{2}^{2}\left({\frac {d_{1}}{2}}+1\right)}{d_{1}^{2}\left({\frac {d_{2}}{2}}-2\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}dt-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&={\frac {d_{2}(d_{1}+2)}{d_{1}(d_{2}-4)}}{\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&={\frac {d_{2}^{2}}{d_{2}-2}}\left({\frac {d_{1}+2}{d_{1}(d_{2}-4)}}-{\frac {1}{d_{2}-2}}\right)\\&={\frac {2d_{2}^{2}(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15dc0c175b8e72de92faef913c192344b893feeb)
である。
パレート分布[編集]
を
の定数とする。
を満たす実数
に対し、

と定めると、
![{\displaystyle \int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a+1}}}dx=\left[-{\frac {b^{a}}{x^{a}}}\right]_{b}^{\infty }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abee03b037aafe476ef78adc069844d882783751)
なので、この
は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、パレート分布という。
期待値E(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a}}}dx\\&=\left[-{\frac {ab^{a}}{(a-1)x^{a-1}}}\right]_{b}^{\infty }\\&={\frac {ab}{a-1}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48592256f7c1423f8d5083f77312493cd2a9d27)
である。
分散V(X)は、
![{\displaystyle {\begin{aligned}V(X)&=\int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a-1}}}dx-\left({\frac {ab}{a-1}}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {ab^{a}}{(a-2)x^{a-2}}}\right]_{b}^{\infty }-{\frac {a^{2}b^{2}}{(a-1)^{2}}}\\&={\frac {ab^{2}}{a-2}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{(a-1)^{2}}}\\&={\frac {ab^{2}}{(a-2)(a-1)^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f067e7638c83b862f15eecfab9af82e06c5dcf14)
である。
補遺:ガンマ関数とベータ関数[編集]
正の数
に対して、積分

をガンマ関数という。
ガンマ関数について、
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (k+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}dx\\&=\left[-x^{k}e^{-x}\right]_{0}^{\infty }+k\int _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx\\&=k\Gamma (k)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8064b6ca84d9351656b657148a7accb793136fd2)
が成り立つ。このことと、
![{\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b1245323acce990a86c6ccb014dd23a808c6615)
であることを合わせると、自然数
に対しては

であることがわかる。
正の数
に対して、積分

をベータ関数という。
ガンマ関数とベータ関数の間には、

という関係式が成り立つ。
- (証明)
- 両辺ともに

- という積分と等しくなることを示す。
- ベータ関数について、

- において
とすると
であるから、

- である。
- ガンマ関数について、

- において、
と変数変換すると、
であるから、

- である。ここでさらに
とすると、
であるから、

- であることがわかるので、以上より

- である。//