統計学基礎/確率分布/連続変数

一様分布

• 確率密度関数

$\alpha ,\beta$を$\alpha <\beta$を満たす定数とする。$\alpha \leq x\leq \beta$を満たす$x$に対し、

$f(x)={\frac {1}{\beta -\alpha }}$

と定める。このとき、

$\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}dx=\left[{\frac {1}{\beta -\alpha }}x\right]_{\alpha }^{\beta }=1$

を満たすので、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、一様分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

${\begin{aligned}E(X)&=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}xdx\\&=\left[{\frac {1}{2(\beta -\alpha )}}x^{2}\right]_{\alpha }^{\beta }\\&={\frac {\beta ^{2}-\alpha ^{2}}{2(\beta -\alpha )}}\\&={\frac {(\beta -\alpha )(\beta +\alpha )}{2(\beta -\alpha )}}\\&={\frac {\beta +\alpha }{2}}\\\end{aligned}}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

${\begin{aligned}V(X)&=\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {1}{\beta -\alpha }}x^{2}dx-\left({\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)^{2}\\&=\left[{\frac {1}{3(\beta -\alpha )}}x^{3}\right]_{\alpha }^{\beta }-\left({\frac {\beta +\alpha }{2}}\right)^{2}\\&={\frac {\beta ^{2}+\beta \alpha +\alpha ^{2}}{3}}-{\frac {\beta ^{2}+2\beta \alpha +\alpha ^{2}}{4}}\\&={\frac {\beta ^{2}-2\beta \alpha +\alpha ^{2}}{12}}\\&={\frac {(\beta -\alpha )^{2}}{12}}\end{aligned}}$

である。

正規分布

• 確率密度関数

実数$x$に対し、

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

と定める。このとき

$I=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx$

とすると

$I^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}dxdy$

であり、$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$と極座標変換すると$dxdy={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}drd\theta =rdrd\theta$なので、

${\begin{aligned}I^{2}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}rdr\right)d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left(\left[-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\right]_{0}^{\infty }\right)d\theta \\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\theta \\&=1\end{aligned}}$

である。$I>0$であることと併せて、$I=1$であることがわかる。すなわち、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、（標準）正規分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

${\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }xe^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left[-e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }\\&=0\end{aligned}}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

${\begin{aligned}V(X)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left[-xe^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&=1\end{aligned}}$

である。

ガンマ分布

• 確率密度関数

$k,\lambda$を正の定数とする。正の数$x$に対し、

$f(x)={\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}$

と定める。ただし、$\Gamma (k)$はガンマ関数である。このとき、

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-\lambda x}dx={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx={\frac {\Gamma (k)}{\Gamma (k)}}=1$

であるから、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ガンマ分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

${\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-{\frac {\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k}{\lambda \Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx\\&={\frac {k}{\lambda }}\end{aligned}}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

${\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k+1}e^{-\lambda x}dx-\left({\frac {k}{\lambda }}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}x^{k+1}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {(k+1)\lambda ^{k-1}}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-\lambda x}dx-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&=\left[-{\frac {(k+1)\lambda ^{k-2}}{\Gamma (k)}}x^{k}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k(k+1)}{\lambda ^{2}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }(\lambda x)^{k-1}e^{-\lambda x}\lambda dx-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {k(k+1)}{\lambda ^{2}}}-{\frac {k^{2}}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {k}{\lambda ^{2}}}\end{aligned}}$

である。

ベータ分布

• 確率密度関数

$a.b$を正の定数とする。$0\leq x\leq 1$を満たす$x$に対し、

$f(x)={\frac {x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{\mathrm {B} (a,b)}}$

と定める。ただし、$\mathrm {B} (a,b)$はベータ関数である。このとき、

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{\mathrm {B} (a,b)}}dx={\frac {\mathrm {B} (a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}=1$

であるから、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ベータ分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

${\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b-1}dx\\&=\left[-{\frac {1}{b\mathrm {B} (a,b)}}x^{a}(1-x)^{b}\right]_{0}^{1}+{\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b}dx\\&={\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}\left(x^{a-1}(1-x)^{b-1}-x^{a}(1-x)^{b-1}\right)dx\\&={\frac {a}{b\mathrm {B} (a,b)}}\left(\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (a,b)E(X)\right)\\&={\frac {a}{b}}\left(1-E(X)\right)\end{aligned}}$

であるから、これを整理すると

$E(X)={\frac {a}{a+b}}$

が得られる。

• 分散

分散V(X)は、

${\begin{aligned}V(X)&={\frac {1}{\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a+1}(1-x)^{b-1}dx-\left({\frac {a}{a+b}}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {1}{b\mathrm {B} (a,b)}}x^{a+1}(1-x)^{b}\right]_{0}^{1}+{\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}x^{a}(1-x)^{b}dx-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\int _{0}^{1}\left(x^{a}(1-x)^{b-1}-x^{a+1}(1-x)^{b-1}\right)dx-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a+1}{b\mathrm {B} (a,b)}}\left({\frac {a\mathrm {B} (a,b)}{a+b}}-\mathrm {B} (a,b)\left(V(X)+{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\right)\right)-{\frac {a^{2}}{(a+b)^{2}}}\\&={\frac {a(a+1)(a+b)-a^{2}(a+1)-a^{2}b}{b(a+b)^{2}}}-{\frac {a+1}{b}}V(X)\\&={\frac {a}{(a+b)^{2}}}-{\frac {a+1}{b}}V(X)\\\end{aligned}}$

であるから、これを整理すると

$V(X)={\frac {ab}{(a+b+1)(a+b)^{2}}}$

が得られる。

指数分布

• 確率密度関数

$\lambda$を正の定数とする。正の数$x$に対し、

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$

と定めると、

$\int _{0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}dx=\left[-e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }=1$

なので、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、指数分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

${\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}dx\\&=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}dx\\&=\left[-{\frac {1}{\lambda }}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }\\&={\frac {1}{\lambda }}\end{aligned}}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

${\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }\lambda x^{2}e^{-\lambda x}dx-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&=\left[-x^{2}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }2xe^{-\lambda x}dx-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {2}{\lambda }}{\frac {1}{\lambda }}-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\\&={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\end{aligned}}$

である。

カイ二乗分布

• 確率密度関数

$k$を正整数の定数とする。正の数$x$に対し、

$f(x)={\frac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}$

と定める。ただし、$\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)$はガンマ関数である。このとき、

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {x}{2}}\right)^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}{\frac {1}{2}}dx={\frac {\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}=1$

なので、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、カイ二乗分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

${\begin{aligned}E(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx\\&=\left[-{\frac {x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {k}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}dx\\&={\frac {k}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {x}{2}}\right)^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}{\frac {1}{2}}dx\\&={\frac {k\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\\&=k\end{aligned}}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

${\begin{aligned}V(X)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{{\frac {k}{2}}+1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}dx-k^{2}\\&=\left[-{\frac {x^{{\frac {k}{2}}+1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\right]_{0}^{\infty }+{\frac {{\frac {k}{2}}+1}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{\frac {k}{2}}e^{-{\frac {x}{2}}}dx-k^{2}\\&=(k+2)E(X)-k^{2}\\&=(k+2)k-k^{2}\\&=2k\end{aligned}}$

である。

t分布

• 確率密度関数

$n$を4以上の自然数とする。実数$x$に対して、

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}$

と定める。ただし、$\Gamma$はガンマ関数である。このとき、$x={\sqrt {n-1}}\tan \theta$と置換すると$dx={\frac {\sqrt {n-1}}{\cos ^{2}\theta }}d\theta$なので、

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx&=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}(1+\tan ^{2}\theta )^{-{\frac {n}{2}}}{\frac {\sqrt {n-1}}{\cos ^{2}\theta }}d\theta \\&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n-2}\theta d\theta \\&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n-2}\theta d\theta \\&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}\\&=1\end{aligned}}$

である。ただし、途中補遺で導いた式

${\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta$

で$a={\frac {1}{2}},b={\frac {n-1}{2}}$とした式を用いた。この計算より、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、t分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

${\begin{aligned}E(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}x\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx\\&=\left[{\frac {\sqrt {n-1}}{2-n}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{1-{\frac {n}{2}}}\right]_{-\infty }^{\infty }\\&=0\end{aligned}}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

${\begin{aligned}V(X)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}x^{2}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx\\&={\frac {2}{\sqrt {n-1}}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }x^{2}\left(1+{\frac {x^{2}}{n-1}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}dx\end{aligned}}$

である。ここで、$1+{\frac {x^{2}}{n-1}}=u^{-1}$とおくと、$x={\sqrt {\frac {(n-1)(1-u)}{u}}}$であり、${\frac {2x}{n-1}}dx=-u^{-2}du$より$dx=-{\frac {\sqrt {n-1}}{2}}u^{-{\frac {3}{2}}}(1-u)^{-{\frac {1}{2}}}du$である。また、$u|_{x=0}=1,\lim _{x\to \infty }u=0$である。よって、

${\begin{aligned}V(X)&={\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}{\frac {(n-1)(1-u)}{u}}u^{\frac {n}{2}}u^{-{\frac {3}{2}}}(1-u)^{-{\frac {1}{2}}}du\\&={\frac {(n-1)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}u^{\frac {n-5}{2}}(1-u)^{\frac {1}{2}}du\\&={\frac {(n-1)\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\mathrm {B} \left({\frac {n-3}{2}},{\frac {3}{2}}\right)\\&=(n-1){\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\frac {n-3}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n-1}{2}}\right)}}\\&=(n-1){\frac {1}{2}}{\frac {2}{n-3}}\\&={\frac {n-1}{n-3}}\\\end{aligned}}$

である。ただし、途中補遺で導いた式

$\mathrm {B} (a,b)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}$

で$a={\frac {n-3}{2}},b={\frac {3}{2}}$とした式を用いた。

F分布

• 確率密度関数

$d_{1},d_{2}$を正整数の定数とし、特に$d_{2}$は4より大きいとする。正の数$x$に対し、

$f(x)={\frac {1}{x\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}$

と定める。ただし、$\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)$はベータ関数である。

このとき、$t={\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}$と置くと、$t|_{x=0}=0,\lim _{x\to \infty }t=1$であり、$dt={\frac {d_{1}d_{2}}{(d_{1}x+d_{2})^{2}}}dx={\frac {t(1-t)}{x}}dx$であることに注意すると、

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}dx\\&={\frac {1}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}dt\\&={\frac {\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&=1\end{aligned}}$

なので、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、F分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

$E(X)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}dx$

である。ここで、先ほどの置換をすると

$x={\frac {d_{2}t}{d_{1}(1-t)}}$

であることに注意すると、

${\begin{aligned}E(X)&={\frac {d_{2}}{d_{1}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}dt\\&=-{\frac {d_{2}}{d_{1}\left({\frac {d_{2}}{2}}-1\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left[t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}\right]_{0}^{1}+{\frac {d_{2}}{(d_{2}-2)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-1}dt\\&={\frac {d_{2}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}{(d_{2}-2)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\&={\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\end{aligned}}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

$V(X)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}\left(1-{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\right)^{\frac {d_{2}}{2}}dx-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}$

である。同様に、先ほどの置換をすると

${\begin{aligned}V(X)&={\frac {d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{{\frac {d_{1}}{2}}+1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-3}dt-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&=-{\frac {d_{2}^{2}}{d_{1}^{2}\left({\frac {d_{2}}{2}}-2\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left[t^{{\frac {d_{1}}{2}}+1}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}\right]_{0}^{1}+{\frac {d_{2}^{2}\left({\frac {d_{1}}{2}}+1\right)}{d_{1}^{2}\left({\frac {d_{2}}{2}}-2\right)\mathrm {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\int _{0}^{1}t^{\frac {d_{1}}{2}}(1-t)^{{\frac {d_{2}}{2}}-2}dt-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&={\frac {d_{2}(d_{1}+2)}{d_{1}(d_{2}-4)}}{\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}-\left({\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\right)^{2}\\&={\frac {d_{2}^{2}}{d_{2}-2}}\left({\frac {d_{1}+2}{d_{1}(d_{2}-4)}}-{\frac {1}{d_{2}-2}}\right)\\&={\frac {2d_{2}^{2}(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}\end{aligned}}$

である。

パレート分布

• 確率密度関数

$a,b$を$a>2,b>0$の定数とする。$x\geq b$を満たす実数$x$に対し、

$f(x)={\frac {ab^{a}}{x^{a+1}}}$

と定めると、

$\int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a+1}}}dx=\left[-{\frac {b^{a}}{x^{a}}}\right]_{b}^{\infty }=1$

なので、この$f(x)$は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、パレート分布という。

• 期待値

期待値E(X)は、

${\begin{aligned}E(X)&=\int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a}}}dx\\&=\left[-{\frac {ab^{a}}{(a-1)x^{a-1}}}\right]_{b}^{\infty }\\&={\frac {ab}{a-1}}\end{aligned}}$

である。

• 分散

分散V(X)は、

${\begin{aligned}V(X)&=\int _{b}^{\infty }{\frac {ab^{a}}{x^{a-1}}}dx-\left({\frac {ab}{a-1}}\right)^{2}\\&=\left[-{\frac {ab^{a}}{(a-2)x^{a-2}}}\right]_{b}^{\infty }-{\frac {a^{2}b^{2}}{(a-1)^{2}}}\\&={\frac {ab^{2}}{a-2}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{(a-1)^{2}}}\\&={\frac {ab^{2}}{(a-2)(a-1)^{2}}}\end{aligned}}$

である。

補遺：ガンマ関数とベータ関数

• ガンマ関数

正の数$k$に対して、積分

$\Gamma (k)=\int _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx$

をガンマ関数という。

この積分は広義積分であるから、収束性を確認しておこう。$I_{0}=\int _{0}^{1}x^{k-1}e^{-x}dx,\ I_{1}=\int _{1}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx$のそれぞれが収束することを示せばよい。$I_{0}$については、$0<x\leq 1$において$e^{-x}<1$より$x^{k-1}e^{-x}<x^{k-1}$であり、$\int _{0}^{1}x^{k-1}dx={\frac {1}{k}}$であるから、$I_{0}$は収束する。$I_{1}$については、$\lim _{x\to \infty }x^{k-1}e^{-{\frac {x}{2}}}=0$であることに注意すると、ある正の数$M$が存在して$1\leq x$において$x^{k-1}e^{-{\frac {x}{2}}}<M$であるから、$x^{k-1}e^{-x}<Me^{-{\frac {x}{2}}}$であり、$\int _{1}^{\infty }Me^{-{\frac {x}{2}}}dx={\frac {2M}{\sqrt {e}}}$であるから、$I_{1}$は収束する。

ガンマ関数について、

${\begin{aligned}\Gamma (k+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}dx\\&=\left[-x^{k}e^{-x}\right]_{0}^{\infty }+k\int _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x}dx\\&=k\Gamma (k)\end{aligned}}$

が成り立つ。このことと、

$\Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}dx=\left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty }=1$

であることを合わせると、自然数$n$に対しては

$\Gamma (n)=(n-1)!$

であることがわかる。

• ベータ関数

正の数$a,b$に対して、積分

$\mathrm {B} (a,b)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

をベータ関数という。

この積分は一見すると通常の積分であるが、$0<a<1$または$0<b<1$のときは端点での値が発散するので広義積分である。収束性を確認しておこう。$I_{0}=\int _{0}^{\frac {1}{2}}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx,\ I_{1}=\int _{\frac {1}{2}}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$のそれぞれが収束することを示せばよい。$I_{0}$については、$0<x\leq {\frac {1}{2}}$において$(1-x)^{b-1}<2$より$x^{a-1}(1-x)^{b-1}<2x^{a-1}$であり、$\int _{0}^{\frac {1}{2}}2x^{a-1}dx={\frac {1}{2^{a-1}a}}$であるから、$I_{0}$は収束する。$I_{1}$については、${\frac {1}{2}}\leq x<1$において$x^{a-1}<2$より$x^{a-1}(1-x)^{b-1}<2(1-x)^{b-1}$であり、$\int _{\frac {1}{2}}^{1}2(1-x)^{b-1}dx={\frac {1}{2^{b-1}b}}$であるから、$I_{1}$は収束する。

• ガンマ関数とベータ関数の関係

ガンマ関数とベータ関数の間には、

$\mathrm {B} (a,b)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}$

という関係式が成り立つ。

（証明）

両辺ともに

$2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta$

という積分と等しくなることを示す。

ベータ関数について、

$\mathrm {B} (a,b)=\int _{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

において$x=\sin ^{2}\theta$とすると$dx=2\sin \theta \cos \theta d\theta$であるから、

$\mathrm {B} (a,b)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-2}\theta (1-\sin ^{2}\theta )^{b-1}2\sin \theta \cos \theta d\theta =2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta$

である。

ガンマ関数について、

$\Gamma (a)\Gamma (b)=\int _{0}^{\infty }y^{a-1}e^{-y}dy\int _{0}^{\infty }x^{b-1}e^{-x}dx=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{b-1}y^{a-1}e^{-x-y}dxdy$

において、$x=(r\cos \theta )^{2},y=(r\sin \theta )^{2}$と変数変換すると、$dxdy={\begin{vmatrix}2r\cos ^{2}\theta &-2r^{2}\sin \theta \cos \theta \\2r\sin ^{2}\theta &2r^{2}\sin \theta \cos \theta \end{vmatrix}}drd\theta =4r^{3}\sin \theta \cos \theta drd\theta$であるから、

$\Gamma (a)\Gamma (b)=4\int _{0}^{\infty }r^{2a+2b-1}e^{-r^{2}}dr\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta$

である。ここでさらに$r^{2}=t$とすると、$2rdr=dt$であるから、

$2\int _{0}^{\infty }r^{2a+2b-1}e^{-r^{2}}dr=\int _{0}^{\infty }t^{a+b-1}e^{-t}dt=\Gamma (a+b)$

であることがわかるので、以上より

${\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}}=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}\theta \cos ^{2b-1}\theta d\theta$

である。//

ここで、得られた関係式に$a=2,b=2$を代入してみよう。すると、左辺、右辺はそれぞれ

$\mathrm {B} (2,2)=\int _{0}^{1}x(1-x)dx$

${\frac {\Gamma (2)\Gamma (2)}{\Gamma (4)}}={\frac {1!1!}{3!}}={\frac {1}{6}}$

であり、これは大学受験数学でおなじみの1/6公式そのものである。他にも、

$a=2,b=3$とすると$\int _{0}^{1}x(1-x)^{2}dx={\frac {1!2!}{4!}}={\frac {1}{12}}$

$a=3,b=3$とすると$\int _{0}^{1}x^{2}(1-x)^{2}dx={\frac {2!2!}{5!}}={\frac {1}{30}}$

なども、大学受験対策の公式として暗記した人もいるかもしれない。本節で示した関係式は、これらの公式を一般化したものといえるものである。