統計学基礎/標本空間
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標本空間と事象
[編集]ある実験を行ったときに、起こり得る全ての結果の集合を標本空間、または全事象という。 標本空間の要素（元）を標本点、標本空間の部分集合を事象という。
- 事象に含まれる標本点の数は有限個かも知れないし、無限個かもしれない。
例
[編集]コイン投げ
[編集]コイン投げを1回行った時に、起こり得る結果は{表}がでるか{裏}がでるかのいずれかである。この場合、標本点は{表}と{裏}であり、標本空間は{表、裏}となる。事象の定義は、標本空間の部分集合なので、∅、{表}、{裏}、{表、裏}の4つになる。特に空集合∅も事象（空事象という）である。
コイン投げを2回行うとどうなるだろうか？標本点は1回目に何が出たか？2回目に何が出たか？という情報を持たされる。1回目と2回目で表と裏どちらが出たかを表すために（1回目、2回目）の形で書くと、標本空間は{（表、表）、（表、裏）、（裏、表）、（裏、裏）}となる。事象は、
- ∅ 、 {（表、表）}、 {（表、裏）}、 {（裏、表）}、 {（裏、裏）}、 {（表、表）、（表、裏）}、 {（表、表）、（裏、表）}、 {（表、表）、（裏、裏）}、 {（表、裏）、（裏、表）}、 {（表、裏）、（裏、裏）}、 {（裏、表）、（裏、裏）}、 {（表、表）、（表、裏）、（裏、表）}、 {（表、表）、（表、裏）、（裏、裏）}、 {（表、表）、（裏、表）、（裏、裏）}、 {（表、裏）、（裏、表）、（裏、裏）}、 {（表、表）、（表、裏）、（裏、表）、（裏、裏）}
の、 合計16個ということになる。
- 一般にn個の要素がある集合の部分集合は2n個あるので、 標本点が4個であれば24=16個というように計算できる。
事象の種類
[編集]コイン投げの例で並べた事象を眺めてみると、 標本点の数が0個（空事象）～4個（全事象）まで様々だが、 特に標本点が1個の事象を根元事象、 標本点が2個以上の事象を複合事象という。
毎回このように、 事象を書くたびに{…}のように標本点を並べたりするのは大変なので、 事象A={…}のように記号を用いて事象を表し、 Aという記号を用いて説明することも多い。 標本空間（全事象）は、 Ω と書く。
事象の扱い方
[編集]事象の演算
[編集]事象は標本空間の部分集合であると定義したので、 集合同士の演算というものが可能である。 ここでは、 事象Aと事象Bを考える。
- 和集合 A ∪ B を和事象という。
- 積集合 A ∩ B を積事象という。
- 差集合 A - B を差事象という。
- 余集合 Ac を余事象という。
- 補集合をとるための全集合は、 標本空間（全事象）とする。
このように「事象」という言葉を定義はしたものの、 それは、 「集合」と何ら変わりはない。
排反事象
[編集]積事象 A ∩ B が空集合となるとき、 AとBは排反事象であるという。 重なりが無いとはどういうことかと考えると、 事象は標本点の集合なので、 共通の標本点を含まない事象同士の事であり、 このような事象同士の関係を背反であると言う。
集合について（復習）
[編集]- これは、 集合について知らない人、 或いは、 忘れかけてる人のために補足するための項目です。
- まだ予定です。