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線型代数学/クラメルの公式

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
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線型代数学/線型方程式の解では、未知数がn個、方程式の数が、m個である線形方程式の解について学んだが、ここでは、未知数が、n個、方程式の数がn個である線形方程式の解について学ぶ。

クラメルの公式[編集]

という、線形方程式は、 を用いて、

と表すことができる。

クラメルの公式とは、 行列Aのj列目がになっている行列を用いて、

この線形方程式の解は、である。というものである。


証明


この線形方程式は、と表すことができる。 を左からかければ、である。
線形代数学/余因子行列で求めた式 を用いれば、

展開すれば、
この行列のj行目は、なので、左辺のj行目は、行列Aのj列目がになっている行列 をj列目で、余因子展開したものと一致する。
よって、である。

演習問題[編集]

以下の一次連立方程式を解け。

(1)

(2)( は互いに異なる実数)

解答・解説[編集]

(1) のとき、クラメルの公式より、 の場合は、 のときのみ解が存在し、その解は を満たす 全体。

(2) クラメルの公式から、行列式はすべてヴァンデルモンドの行列式となるから、