線型代数学/線型方程式の解では、未知数がn個、方程式の数が、m個である線形方程式の解について学んだが、ここでは、未知数が、n個、方程式の数がn個である線形方程式の解について学ぶ。
という、線形方程式は、
を用いて、
と表すことができる。
クラメルの公式とは、
行列Aのj列目が
になっている行列
を用いて、
この線形方程式の解は、
である。というものである。
証明
この線形方程式は、
と表すことができる。
を左からかければ、
である。
線形代数学/余因子行列で求めた式
を用いれば、

展開すれば、

この行列のj行目は、
なので、左辺のj行目は、行列Aのj列目が
になっている行列
をj列目で、余因子展開したものと一致する。
よって、
である。
以下の一次連立方程式を解け。
(1)
(2)
(
は互いに異なる実数)
(1)
のとき、クラメルの公式より、
の場合は、
のときのみ解が存在し、その解は
を満たす
全体。
(2) クラメルの公式から、行列式はすべてヴァンデルモンドの行列式となるから、