線型代数学/線型方程式の解では、未知数がn個、方程式の数が、m個である線形方程式の解について学んだが、ここでは、未知数が、n個、方程式の数がn個である線形方程式の解について学ぶ。
という、線形方程式は、
を用いて、
と表すことができる。
クラメルの公式とは、
行列Aのj列目が
になっている行列
を用いて、
この線形方程式の解は、
である。というものである。
証明
この線形方程式は、
と表すことができる。
を左からかければ、
である。
線形代数学/余因子行列で求めた式
を用いれば、![{\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {\tilde {A}}{|A|}}\mathbf {b} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff8a92d59907f615ac3b3e0f8d88d57cd17c2b55)
![{\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{|A|}}{\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{1,1}&{\tilde {a}}_{2,1}&{\tilde {a}}_{3,1}&\cdots &{\tilde {a}}_{n,1}\\{\tilde {a}}_{1,2}&{\tilde {a}}_{2,2}&{\tilde {a}}_{2,3}&\cdots &{\tilde {a}}_{n,2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{n,1}&{\tilde {a}}_{n,2}&{\tilde {a}}_{n,3}&\cdots &{\tilde {a}}_{n,n}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d77a6c3841571e668ab341486d4a11c060de1cea)
展開すれば、
![{\displaystyle \mathbf {x} ={\frac {1}{|A|}}{\begin{pmatrix}b_{1}{\tilde {a}}_{1,1}+b_{2}{\tilde {a}}_{2,1}+b_{3}{\tilde {a}}_{3,1}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,1}\\b_{1}{\tilde {a}}_{1,2}+b_{2}{\tilde {a}}_{2,2}+b_{3}{\tilde {a}}_{3,2}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,2}\\\vdots \\b_{1}{\tilde {a}}_{n,1}+b_{2}{\tilde {a}}_{n,2}+b_{3}{\tilde {a}}_{n,3}+\cdots +b_{n}{\tilde {a}}_{n,n}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad7801e1a8afb56de1d84bcafd4a2760e9df84f0)
この行列のj行目は、
なので、左辺のj行目は、行列Aのj列目が
になっている行列
をj列目で、余因子展開したものと一致する。
よって、
である。
以下の一次連立方程式を解け。
(1)
(2)
(
は互いに異なる実数)
(1)
のとき、クラメルの公式より、![{\displaystyle x={\frac {ce-bf}{ae-bd}},y={\frac {af-cd}{ae-bd}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417327da67150a93db43f2a11503e382ae7a0426)
の場合は、
のときのみ解が存在し、その解は
を満たす
全体。
(2) クラメルの公式から、行列式はすべてヴァンデルモンドの行列式となるから、