線形代数学/余因子行列

余因子行列

余因子

正方行列$A$に対して、 行列の$i$行目と$j$列目を取り除いて得られる行列を$A_{ij}$と表す。このとき、

${\tilde {a}}_{ij}=(-1)^{i+j}|A_{ij}|$ を$A$の$(i,j)$余因子という。

例

${\begin{pmatrix}5&0&8\\1&9&3\\7&5&2\end{pmatrix}}$ の$(2,2)$余因子は、$(-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}5&8\\7&2\end{vmatrix}}=-46$である。

余因子展開

次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。

$|A|=a_{j1}{\tilde {a}}_{j1}+a_{j2}{\tilde {a}}_{j2}+\cdots +a_{jn}{\tilde {a}}_{jn}(1\leq j\leq n)$

$|A|=a_{1i}{\tilde {a}}_{1i}+a_{2i}{\tilde {a}}_{2i}+\cdots +a_{ni}{\tilde {a}}_{ni}(1\leq i\leq n)$

ただし、$A$は$n$次正方行列である。

これを、余因子展開という。

証明

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

とする、このとき、

$|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nj}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$

である、ここで、行列$A$の$j$列目${\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{nj}\end{pmatrix}}$は、 $a_{1j}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+a_{2j}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +a_{nj}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$と表すことができ、 (1)式は、 $\left|{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{n1}\end{pmatrix}},\cdots ,a_{1j}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+a_{2j}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +a_{nj}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}a_{n1}\\a_{n2}\\\vdots \\a_{nn}\end{pmatrix}}\right|$と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、 $a_{1j}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &1&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}+a_{2j}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &1&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}+\cdots +a_{nj}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &1&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}\cdots (2)$ である。

ここで、${\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &1&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$について考える。

この行列の$i$行目と、$i-1$行目を入れ替る。$i-1$行目と、$i-2$行目を入れ替える。・・・$2$行目と、$1$行目を入れ替える。という操作をすると、次のような行列になる。 $(-1)^{i-1}{\begin{vmatrix}a_{i1}&\cdots &1&\cdots &a_{in}\\a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i-1,1}&\cdots &0&\cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &0&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$

行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は$-1$倍されるのだった。この操作では、$i-1$回の入れ替えを行うので、この式は、$(-1)^{i-1}$倍されている。

次に、同じように、$j$列目と、$j-1$列目を入れ替える。$j-1$列目と、$j-2$列目を入れ替える。・・・$2$列目と、$1$列目を入れ替える。という操作をする。すると、次のような行列になる。

$(-1)^{i+j}{\begin{vmatrix}1&a_{i1}&\cdots &a_{i,j-1}&a_{i,j+1}&\cdots &a_{in}\\0&a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{12}&\cdots &a_{2,j-1}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{i-1,1}&\cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots &a_{i-1,n}\\0&a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}$

$(-1)^{i+j-2}=(-1)^{i+j}$であることについての説明は不要であろう。 これを、行列式の定義に従って展開する。

一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。 なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、$|A_{i,j}|$と一致する。 よって、この行列式は、$(-1)^{i+j}|A_{ij}|={\tilde {a}}_{ij}$である。

これを、(2)式に代入すれば、$|A|=a_{j1}{\tilde {a}}_{j1}+a_{j2}{\tilde {a}}_{j2}+\cdots +a_{jn}{\tilde {a}}_{jn}$となり、証明された。

これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。

余因子行列

${\tilde {A}}=({\tilde {a}}_{j,i})$をAの余因子行列という。

余因子行列には、以下の性質がある。

$A{\tilde {A}}={\tilde {A}}A=|A|E$

証明

${\tilde {A}}A={\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{11}&\cdots &{\tilde {a}}_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{1n}&\cdots &{\tilde {a}}_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$なので、 行列${\tilde {A}}A$の$(i,j)$成分は、

$a_{1i}{\tilde {a}}_{1j}+a_{2i}{\tilde {a}}_{2j}+\cdots +a_{ni}{\tilde {a}}_{nj}\cdots (1)$である。

(i)$i=j$のとき

(1)式は、行列$A$の$i$列目に関して余因子展開をした式と一致するので、(1)式は$i=j$のとき、$|A|$である。

(ii)$i\neq j$のとき

行列$A$の$i$列目が行列$A$の$j$列目になっている行列の行列式について考える。この行列式は以下のようになる。

${\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,i-1}&a_{1j}&a_{1,i+1}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &a_{2,i-1}&a_{2j}&a_{2,i+1}&\cdots &a_{2j}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,i-1}&a_{nj}&a_{n,i+1}&\cdots &a_{nj}&\cdots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}$

この行列のi列目について、余因子展開を行うと、(1)式と一致する。

同じ列がある行列の行列式は0になるのだった。なので、(1)式は、$i\neq j$のとき、0である。

まとめると、$a_{1i}{\tilde {a}}_{1j}+a_{2i}{\tilde {a}}_{2j}+\cdots +a_{ni}{\tilde {a}}_{nj}={\begin{cases}|A|(i=j)\\0(i\neq j)\\\end{cases}}$である。 よって${\tilde {A}}A=|A|E$である。同様の議論を行えば、$A{\tilde {A}}=|A|E$も導くことができる。

逆行列の計算

$|A|\neq 0$のとき$A^{-1}$が存在するので、${\tilde {A}}A=|A|E$に$A^{-1}$を右からかけ$|A|$で割れば、 $A^{-1}={\frac {\tilde {A}}{|A|}}$である事がわかる。