線形代数学/余因子行列

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線型代数学 > 余因子行列


余因子行列[編集]

余因子[編集]

ある正方行列A に対して、 行列のi行目とj列目を取り除いて得られる行列をと表す。このとき、

をAの(i,j)余因子という。

余因子展開[編集]

次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。


これを、余因子展開という。

証明

である、ここで、行列Aのi列目は、 と表すことができるので、 (1)式は、 と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、 である。

ここで、について考える。

この行列のi行目と、i-1行目を入れ替る。i-1行目と、i-2行目を入れ替える。・・・と、続けていくと、次のような行列になる。

行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は-1倍されるのだった。この操作では、i-1回の入れ替えを行うので、この式は、(-1)i-1倍する。

次に、同じように、j列目と、j-1列目を入れ替える。j-1列目と、j-2列目を入れ替える。・・・という操作をする。すると、次のような行列になる。

(-1)i+j-2=(-1)i+jであることについての説明は不要であろう。 これを、行列式の定義に従って展開する。

一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。 なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、と一致する。 よって、この行列式は、である。


これを、(2)式に代入すれば、となり、証明された。

これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。

余因子行列[編集]

をAの余因子行列という。

余因子行列には、以下の性質がある。

証明

なので、 行列の(i,j)成分は、

である。


(i)i=jのとき

(1)式は、行列Aのi列目に関して余因子展開をした式と一致するので、(1)式はi=jのとき、である。

(ii)i≠jのとき

行列Aのi列目が行列Aのj列目になっている行列の行列式について考える。この行列式は以下のようになる。
この行列のi列目について、余因子展開を行うと、(1)式と一致する。
同じ列がある行列の行列式は0になるのだった。なので、(1)式は、i≠jのとき、0である。

まとめると、である。 よってである。同様の議論を行えば、も導くことができる。

逆行列の計算[編集]

のときが存在するので、を右からかけで割れば、 である事がわかる。