線型代数学/固有値と固有ベクトル

線型代数学 > 固有値と固有ベクトル　

ある線型変換 $\ f$ に対して、 $\ f(\mathbf {v} )=\alpha \mathbf {v}$ 　のような元 $\mathbf {v}$ が見つかれば、この線型変換は扱いやすくなる。このページでは、このような $\ \alpha ,\mathbf {v}$ （固有値・固有ベクトル）について議論をする。

注意ここから先の議論は全て複素数体 $\mathbb {C}$ 上の議論である。

はじめに

本題に入る前にまず次の定理を認めてもらいたい。

定理（代数学の基本定理）

複素数係数の任意のn次多項式

\ f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}

は重複度も含めてn個の複素数の根を持つ。

証明は複素解析学#リウヴィルの定理を参照のこと。

固有値・固有ベクトル

まず、このページの初めに書いたことを正確に定義しよう。

定義

$\ V:\mathbb {C}$ 上の線型空間、 $\ f\in \ End(V)$ とする。

このとき、 $\mathbf {v} \in \ V(\mathbf {v} \neq \mathbf {0} ),\alpha \in \mathbb {C}$ が

\ f(\mathbf {v} )=\alpha \mathbf {v}

の関係をみたすとき、 $\ \alpha$ を固有値 （eigen value）、 $\mathbf {v}$ を固有ベクトル （eigen vector）という。

では、どのようにして固有値や固有ベクトルを求めたらよいだろうか？まずは、 $\mathbb {C} ^{n}$ の線型変換である行列について考えてみよう。

行列の場合

まず、固有多項式を次のように定義する。

固有多項式

定義 $A\in \ M(n,\mathbf {K} )$ に対して

\Phi _{A}(t)=\det(A-tI_{n})=\pm (t-\alpha _{1})^{\nu _{1}}(t-\alpha _{2})^{\nu _{2}}\cdots (t-\alpha _{r})^{\nu _{r}}

を $\ A$ の固有多項式 （eigen polynomial）という。また、 $\nu _{i}(1\leq i\leq r)$ を　 $\alpha _{i}\in \mathbb {C}$ の重複度 （multiplicity）という。

2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。

すると、次の定理が成り立つ。

定理

$\ \alpha$ が固有値　 $\Leftrightarrow \ \alpha$ は固有多項式の根

（証明）

$\ A\in \ M(n;\mathbf {K} )$ に対して、 $\ \alpha \in \mathbb {C}$ が固有値であるとする。このとき、

\ A\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x}

をみたす、 $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$ が存在する。

上の式を書き直すと、 $(\ A-\alpha I_{n})\mathbf {x} =\mathbf {0}$ であるから、 $(\ A-\alpha I_{n})$ の階数がｎより小さいということと同値である。

つまり、 $\ \det(\ A-\alpha I_{n})=0$ でなければならない。

以上をまとめると、

$\ \alpha$ が固有値　 $\Longleftrightarrow (A-\alpha I_{n})\mathbf {x} =\mathbf {0}$ が非自明な解をもつ。 $\Longleftrightarrow \ rank(\ A-\alpha I_{n})<n\Longleftrightarrow \det(A-\alpha I_{n})=0$ □

例

行列 $A={\bigl (}{\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ の固有値と固有ベクトルを求める。右の図はこの行列によって引き起こされる変換を示している。この行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求める。

$|A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=\lambda ^{2}-4\lambda +3=(\lambda -1)(\lambda -3)$

なので、方程式 $(\lambda -1)(\lambda -3)=0$ を解いて、行列 $A$ の固有値は1と3である。

次に固有ベクトルを求める。固有ベクトルを求めるには、 $(A-\lambda I)\mathbb {x} =0$ を満たすベクトル $\mathbb {x}$ を求めれば良い。

$\lambda =1$ に対応する固有ベクトルは、 $A-I={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}$ であることから、 ${\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}\mathbb {x} =0$ を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは $\mathbb {x} ={\binom {1}{-1}}$ 及び、これを任意の定数倍したものである。

$\lambda =3$ に対応する固有ベクトルは、 $A-3I={\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}}$ であることから、 ${\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\mathbb {x} =0$ を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは $\mathbb {x} ={\binom {1}{1}}$ 及び、これを任意の定数倍したものである。

右の図では、紫のベクトルは、固有値1に対応する固有ベクトル ${\binom {1}{-1}}$ に平行なベクトルである。青のベクトルは、固有値3に対応する固有ベクトル ${\binom {1}{1}}$ に平行なベクトルである。紫のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さも変わっていない。青のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さは3倍になっている。固有ベクトルではない赤のベクトルは、変換された後、方向を変えている。