線型代数学/固有値と固有ベクトル

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線型代数学 > 固有値と固有ベクトル 


ある線型変換 に対して、 のような元が見つかれば、この線型変換は扱いやすくなる。このページでは、このような(固有値・固有ベクトル)について議論をする。

注意 ここから先の議論はすべて複素数体 上の議論である。


はじめに[編集]

本題に入る前にまず次の定理を認めてもらいたい。

定理(代数学の基本定理)

複素数係数の任意のn次多項式

は重複度も含めてn個の複素数の根を持つ。

証明は別の本を参照のこと。

固有値・固有ベクトル[編集]

まず、このページの初めに書いたことを正確に定義しよう。

定義

上の線型空間、 とする。

このとき、

の関係をみたすとき、固有値 (eigen value)、固有ベクトル (eigen vector)という。


では、どのようにして固有値や固有ベクトルを求めたらよいだろうか? まずは、の線型変換である行列について考えてみよう。

行列の場合[編集]

まず、固有多項式を次のように定義する。

固有多項式[編集]

定義 に対して

固有多項式 (eigen polynomial)という。また、 を 重複度 (multiplicity)という。

2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。


すると、次の定理が成り立つ。

定理

が固有値  は固有多項式の根

(証明)

に対して、 が固有値であるとする。このとき、

をみたす、 が存在する。

上の式を書き直すと、 であるから、 の階数がnより小さいということと同値である。

つまり、 でなければならない。

以上をまとめると、

が固有値  が非自明な解をもつ。


次に、固有空間を以下のように定義する。

固有空間[編集]

定義 に対する固有空間 (eigen space)とは

で表わされる部分空間のことである。


この定義から明らかなように、

が固有値  でない元を持ち、それらはすべて固有ベクトル

である。

一般の線型変換の場合[編集]

上の線型空間、 の基底、 に対して  は固有値であるとする。

また、 に対する  の表現行列を とする。

このとき、行列の場合と同様に、

を充たす が存在する。 の恒等変換(identity transformation)を とすると、

と変形できる。これは、 と同値である。 の表現行列は  であるから、

以上より、 の固有値は の固有多項式の根であることがわかる。

また、正則行列 に対して

より、固有多項式は の基底の取り方によらない。

固有空間[編集]

固有空間も行列の場合と同様に定義される。

定義 に対する固有空間とは

で表わされる部分空間のことである。

固有空間の和[編集]

最後に、次の命題を証明しておく。

命題

の相異なる固有値とする。このとき、

(証明)

は  をみたすとする。

この等式に、 を作用させると、

左辺の行列の行列式はVanDermondの行列式なので、

したがって、この行列は正則。

よって、