複素解析学

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ここでは、複素解析学について解説する。

複素数[編集]

2つの実数x,yと、虚数単位と呼ばれるを満たすiを用いてと表されるzを複素数と呼ぶ。すると、複素数の全体は体となる。すなわち、0で割る操作を除く加減乗除の計算を自由に行うことができる。複素数を用いると、実数だけを考えていては見えてこない豊かな世界(たとえば複素数平面など)が見えるということを、読者は既に少しは知っていることだろう。初等的な内容については高等学校数学II 式と証明・高次方程式高等学校数学III 複素数平面を参照のこと。

さて、ここでは、複素数から複素数への関数f(z)を考えたい。ところで、f(z)は複素数値関数であるから、その値も実部と虚部にわけておいたほうが便利である。そこで、しばしば次のようにあらわすことにする。

このようにあらわすことで、複素数から複素数への関数を、見かけ上は2つの2変数実数値関数の組として捉えることができる。実関数については既によく知っているので、この方が扱いやすいこともしばしばあるだろう。

正則関数[編集]

関数について考えているので、次はその関数がある点zで"複素関数の意味で"微分可能である条件を考えてみよう。

そもそも微分というのは、

という極限によって定義されるものである。実数は一次元的なので、実関数は2つの方向から近づけてみて極限が一致すれば微分可能であるといえた。しかし、複素数は二次元的な広がりを持っているので、各方向から近づけたときに極限が一致する必要がある。その必要条件を見てみよう。

まず、zに対して実軸に平行に近づいたときの極限を計算してみると、

である。同様にして虚軸に平行にzに近づいたときの極限を計算してみると、

となる。したがって、実部と虚部を比較して

を満たすことが必要であることがわかる。この連立方程式をCauchy-Riemannの方程式と呼ぶ。この本ではしばしばC-Rと略記することにする。

ここでは細かく検討しないが、複素関数の意味で微分可能であるためには実は全微分可能かつC-Rを満たせば十分である。

定義(正則関数)
を複素数平面内の領域とする。上の複素関数であって、の各点で複素関数の意味で微分可能である(すなわち各点でC-Rを満たす)ものを上の正則関数と呼ぶ。□


複素解析学とは、正則関数の性質を調べていく学問である。


とその複素共役は複素数体上で考えると互いに独立ではない。しかし、これらをあたかも独立変数のように考えると、理論の展開に便利である。 およびを実2変数の関数とみなす。微分形式の理論(詳しくは微分幾何学参照)においての外微分をとると、

が得られる。これらの双対は

で与えられる。(この式はという変数変換に関する接ベクトルの間の変換公式としても導ける)
この事実を元に、関数の正則微分ならびに反正則微分を次のように定義する。

定義(正則微分と反正則微分)
関数を実変数の関数とみたとき級であるとする。このとき、

をそれぞれの正則微分、反正則微分という。□


コーシー・リーマン方程式と組み合わせることにより、次の結果が得られる。

定理(正則関数と反正則微分)
上の級関数が正則であるための必要十分条件は、となることである。□

(証明)
の反正則微分が0ならば、はC-Rを満たす。よって、仮定の級(すなわち全微分可能)であることと併せて、は正則になる。
正則ならばとなるのは明らかである。//

複素積分[編集]

微分を考えたので、次は積分を考えよう。正則関数は、微分可能な実二変数関数の組として捉えることができた。そこで、実二変数関数における線積分の概念を、そのまま積分の定義として採用することにしよう。積分路は、とりあえず滑らかにパラメタづけられた曲線に限っておくことにする。滑らかな曲線上の積分を定義しておけば、区分的に滑らかな曲線上の積分を考えることは容易である。

定義(線積分)
を複素平面上の滑らかな曲線、とする。このとき、fのに沿った積分を

で定める。とおくとなので、

である。整理すると、

と表すこともできる。□

既に知っている実二変数関数の積分とまったく変わらない。ところが、正則という条件は見かけ以上に強い条件であり、正則関数の積分には驚くべき性質がいくつかある。そのうちのひとつが、次に挙げるCauchyの積分定理である。

コーシーの積分定理[編集]

上では一般の曲線について考えたが、ここから先は閉曲線、特に単純閉曲線について考える。念のためきちんと定義しておく。

定義(単純閉曲線)
曲線が単純閉曲線であるとは、が単射であって、を満たすことである。□


単純閉曲線は、平面をその「内側」と「外側」の2つの領域にわける。直感的には明らかだが、証明は難しい。ここでは事実を指摘するにとどめておく。

正則関数の単純閉曲線上の積分について成り立つ重要な定理が、次の定理である。

定理(コーシーの積分定理)
を正則関数、を単純閉曲線とするとき、

が成り立つ。□

(証明) 閉曲線の「内側」の領域をDとする。グリーンの定理より

である。一方、C-Rより

である。よって、

である。//

証明を見ればわかるように、「は正則関数」という仮定は、実は「は閉曲線およびその内部を含むようなある開集合で正則」であればよい。

コーシーの積分公式[編集]

積分定理の応用として、次の公式を証明してみよう。

定理(コーシーの積分公式) を正則関数とし、単純閉曲線の内側にある複素数cを任意に取るとき、

である。□

証明の前に、ある積分を直接計算しておこう。

補題 cを中心とする半径の円周をとするとき、

(証明) のときとパラメタ付けできるので、

である。//

(コーシーの積分公式の証明) を適当な線分で結んだ閉曲線を考える。の内部かつの外部がの内部である。この領域では正則なので、コーシーの積分定理より

である。ところで、

であることに注意すると、

であり、としてよいので、

である。//

なお、コーシーの積分公式は、文字を取り換えた次の形で用いられることもしばしばなので、この形も記載しておく。

定理(コーシーの積分公式) を正則関数とし、単純閉曲線の内側にある複素数cを任意に取るとき、

である。□

留数定理[編集]

において「無限大に発散」してしまっていて、この点において正則でない場合を考えよう。このとき、cを囲む単純閉曲線C上の積分を考えたい。このような関数にも様々な関数が考えられるが、特殊な状況としてたとえばのように、は正則ではないがは正則という状況はあるかもしれない(この状況を、cの1位の極であるという)。このとき、にはコーシーの積分公式を用いることができるので、

である。この結果は、留数定理と呼ばれる定理(の特別な場合)である。この場合のcにおける留数と呼ばれ、のように書かれる。

単純閉曲線の内部に1位の極が複数ある場合は、それぞれ1つだけを含むような小さな単純閉曲線と適当に接続して閉曲線を作ることで、定積分の値は留数の和になることが分かる。すなわち、次のことが分かった。

定理(留数定理(の特別な場合)) 単純閉曲線Cの内部でが正則でない点がn個であり、それぞれの点の近くにおいてが正則になるとき、を留数と呼ぶ。このとき、

である。

この定理は実関数の具体的な定積分の計算にもしばしば役立つ。以下でそのような例を見る。

を考える。

である。とするとであり、であることに注意すると、

である。単位円の内側にあるの1位の極はのみで、その留数はである。よって、

である。

以下の2つの例では、実軸上の閉区間と半円をつなげた閉曲線を考える。Rとして十分大きい数を取れば、積分したい関数の1位の極のうち、上半平面に含まれるものはすべての内側に入るようにできる。そのようにを十分大きくとったとき、もしであれば、である。以上のことを用いて、留数計算によってを計算してみよう。

を考える。

の上半平面内の1位の極はで、その留数はそれぞれである。さらに、Rを十分大きくしたときならば

であることに注意すると、

である。よって、

である。

を考える。上半平面においてはであることに注意すると、

である。また、

であるが、は奇関数なので、

である。の上半平面内の1位の極はで、その留数はである。以上から、

であることがわかった。

(参考) 複素解析を使わず計算するならば、

として、とおくとであることから

と計算できる。

と計算できる。3つ目の例で計算した積分はこのような計算技巧で処理することは難しいと思われる。