複素解析学

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ここでは、複素解析学について解説する。

複素数

2つの実数x,yと、虚数単位と呼ばれる$i^{2}=-1$を満たすiを用いて$z=x+iy$と表されるzを複素数と呼ぶ。すると、複素数の全体は体となる。すなわち、0で割る操作を除く加減乗除の計算を自由に行うことができる。複素数を用いると、実数だけを考えていては見えてこない豊かな世界(たとえば複素数平面など)が見えるということを、読者は既に少しは知っていることだろう。初等的な内容については高等学校数学II 式と証明・高次方程式、高等学校数学III 複素数平面を参照のこと。

さて、ここでは、複素数から複素数への関数f(z)を考えたい。ところで、f(z)は複素数値関数であるから、その値も実部と虚部にわけておいたほうが便利である。そこで、しばしば次のようにあらわすことにする。

$f(z)=u(z)+iv(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

このようにあらわすことで、複素数から複素数への関数を、見かけ上は2つの2変数実数値関数の組として捉えることができる。実関数については既によく知っているので、この方が扱いやすいこともしばしばあるだろう。

複素関数の連続性

$f(z)$ を $D\subset \mathbb {C}$ で定義された複素変数 $z$の関数、 $c$ を $D$ に属する一つの複素数とする。このとき

$\lim _{z\to c}f(z)=f(c)$

ならば、関数 $f(z)$ は $c$で連続である、あるいは $z=c$ で連続であるという。 極限の定義までさかのぼっていえば、任意の正の実数 $\epsilon$に対応する正の実数 $\delta (\epsilon )$ が定まって、

$|z-c|<\delta (\epsilon )$ のとき $|f(z)-f(c)|<\epsilon$

となるようにできるならば、$f(z)$は、$c$ で連続であるという。

$z=x+iy=(x,y),c=a+ib=(a,b)$とおき、$f(z)$ を実部と虚部に分けて

$f(z)=u(z)+iv(z),u(z)=Ref(z),v(z)=Imf(z)$

と書いて$u(z)=u(x+iy)=u(x,y),v(z)=v(x+iy)=v(x,y)$ を２つの実変数 $x,y$の関数と考えれば、

$|f(z)-f(c)|={\sqrt {|u(x,y)-u(a,b)|^{2}+|v(x,y)-v(a,b)|^{2}}}$

であるから、複素関数$f(z)$が連続であることは、

$\lim _{(x,y)\to (a,b)}u(x,y)=u(a,b),\lim _{(x,y)\to (a,b)}v(x,y)=v(a,b)$

と同値である。すなわち複素変数 $z$ の関数 $f(z)$ が $c$で連続であるということは、 その実部 $u(x,y)$ と虚部 $v(x,y)$が２つの実変数 $x,y$の関数として点 $(a,b)$ で連続であることに他ならない。

正則関数

$D\subset \mathbb {C}$ で定義された変数 $z$ で "複素関数の意味で" 微分可能である条件を考えてみよう。 微分 $f'(z)$ とは、

$f'(z)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

という極限によって定義されるものである。 一次元的な実数では、実関数は正負2つの方向から近づけてみて極限が一致すれば微分可能であるといえた。 一方、二次元的な広がりを持つ複素数では、各方向から近づけたときに極限が一致する必要がある。その必要条件を見てみよう。

まず、$z$ に対して実軸に平行に近づいたときの極限を計算してみると、

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\{u(x+h,y)+iv(x+h,y)\}-\{u(x,y)+iv(x,y)\}}{h}}\\&={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}\\\end{aligned}}$

である。同様にして虚軸に平行に $z$ に近づいたときの極限を計算してみると、

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+ih)-f(z)}{ih}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\{u(x,y+h)+iv(x,y+h)\}-\{u(x,y)+iv(x,y)\}}{ih}}\\&=-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\\\end{aligned}}$

となる。したがって、実部と虚部を比較して

${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}\\\end{cases}}$

を満たすことが必要であることがわかる。この連立方程式を Cauchy-Riemann の方程式と呼ぶ。この本ではしばしば C-R と略記することにする。

ここでは細かく検討しないが、複素関数の意味で微分可能であることの必要かつ十分な条件は、$u(x,y),v(x,y)$ が実変数 $x,y$ の全微分可能な関数であって、かつ、C-R を満たすことである。

定義(正則関数)
$\Omega$を複素数平面内の領域とする。$\Omega$上の複素関数であって、$\Omega$の各点で複素関数の意味で微分可能である（すなわち各点でC-Rを満たす）ものを$\Omega$上の正則関数と呼ぶ。□

複素解析学とは、正則関数の性質を調べていく学問である。

実変数の場合と同様に、1次結合、積、商の微分法は複素変数の関数でもそのまま成り立ち、正則関数 $f(z),g(z)$ の一次結合、積、商も正則関数である。

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dz}}(a_{1}f(z)+a_{2}g(z))=a_{1}f'(z)+a_{2}g'(z),\\&{\frac {d}{dz}}(f(z)g(z))=f'(z)g(z)+f(z)g'(z),\\\end{aligned}}$

定義領域でつねに $g(z)\neq 0$ であれば、

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dz}}(f(z)/g(z))={\frac {f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g(z)^{2}}},\end{aligned}}$

実変数の場合と同様に、合成関数の微分法の公式が成り立つ：

${\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}g(f(z))=g'(f(z))\cdot f'(z)\end{aligned}}$

正則微分と反正則微分

$z=x+iy$とその複素共役${\bar {z}}=x-iy$は複素数体上で考えると互いに独立ではない。しかし、これらをあたかも独立変数のように考えると、理論の展開に便利である。 $z=x+iy$および${\bar {z}}=x-iy$を実2変数$x$、$y$の関数とみなす。微分形式の理論(詳しくは微分幾何学参照)において$z$、${\bar {z}}$の外微分をとると、

${\begin{aligned}dz&=dx+idy\\d{\bar {z}}&=dx-idy\end{aligned}}$

が得られる。これらの双対は

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\\\end{aligned}}$

で与えられる。(この式は$x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})$、$y={\frac {1}{2i}}(z-{\bar {z}})$という変数変換に関する接ベクトル${\frac {\partial }{\partial z}}$、${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$と${\frac {\partial }{\partial x}}$、${\frac {\partial }{\partial y}}$の間の変換公式としても導ける)
この事実を元に、関数$f$の正則微分${\frac {\partial f}{\partial z}}$ならびに反正則微分${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}$を次のように定義する。

定義(正則微分と反正則微分)
関数$f(z)=f(x+iy)$を実変数$x$、$y$の関数とみたとき$C^{1}$級であるとする。このとき、

${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial z}}&=&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\\{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}&=&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\end{aligned}}$

をそれぞれ$f$の正則微分、反正則微分という。□

コーシー・リーマン方程式と組み合わせることにより、次の結果が得られる。

定理(正則関数と反正則微分)
$\Omega$上の$C^{1}$級関数$f(z)$が正則であるための必要十分条件は、${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$となることである。□

(証明)

$f$の反正則微分が0ならば、$f$はC-Rを満たす。よって、仮定の$C^{1}$級(すなわち全微分可能)であることと併せて、$f$は正則になる。

正則ならば${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$となるのは明らかである。//

複素積分

微分を考えたので、次は積分を考えよう。正則関数は、微分可能な実二変数関数の組として捉えることができた。そこで、実二変数関数における線積分の概念を、そのまま積分の定義として採用することにしよう。積分路は、とりあえず滑らかにパラメーターづけられた曲線$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$に限っておくことにする。滑らかな曲線上の積分を定義しておけば、区分的に滑らかな曲線上の積分を考えることは容易である。

定義(線積分)
$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$を複素平面上の滑らかな曲線、$f(z)=u(z)+iv(z)$とする。このとき、fの$\gamma$に沿った積分を

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{0}^{1}u(\gamma (t)){\frac {d\gamma }{dt}}dt+i\int _{0}^{1}v(\gamma (t)){\frac {d\gamma }{dt}}dt$

で定める。$\gamma (t)=x(t)+iy(t)$とおくと${\frac {d\gamma }{dt}}={\frac {dx}{dt}}+i{\frac {dy}{dt}}$なので、

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{0}^{1}u(x,y)\left({\frac {dx}{dt}}+i{\frac {dy}{dt}}\right)dt+i\int _{0}^{1}v(x,y)\left({\frac {dx}{dt}}+i{\frac {dy}{dt}}\right)dt$

である。整理すると、

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }(u(x,y)dx-v(x,y)dy)+i\int _{\gamma }(v(x,y)dx+u(x,y)dy)$

と表すこともできる。□

既に知っている実二変数関数の積分とまったく変わらない。ところが、正則という条件は見かけ以上に強い条件であり、正則関数の積分には驚くべき性質がいくつかある。そのうちのひとつが、次に挙げるCauchyの積分定理である。

コーシーの積分定理

上では一般の曲線について考えたが、ここから先は閉曲線、特に単純閉曲線について考える。念のためきちんと定義しておく。

定義(単純閉曲線)
曲線$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$が単純閉曲線であるとは、$\gamma |_{[0,1)}$が単射であって、$\gamma (0)=\gamma (1)$を満たすことである。□

単純閉曲線は、平面をその「内側」と「外側」の2つの領域にわける。直感的には明らかだが、証明は難しい。ここでは事実を指摘するにとどめておく。

正則関数の単純閉曲線上の積分について成り立つ重要な定理が、次の定理である。

定理(コーシーの積分定理)
$f(z)$を正則関数、$\gamma$を単純閉曲線とするとき、

$\int _{\gamma }f(z)dz=0$

が成り立つ。□

（証明） 閉曲線$\gamma$の「内側」の領域をDとする。グリーンの定理より

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }(u(x,y)dx-v(x,y)dy)+i\int _{\gamma }(v(x,y)dx+u(x,y)dy)=\int _{D}\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)dxdy+i\int _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)dxdy$

である。一方、C-Rより

$-{\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial x}}=0,\ -{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0$

である。よって、

$\int _{\gamma }f(z)dz=0$

である。//

証明を見ればわかるように、「$f(z)$は正則関数」という仮定は、実は「$f(z)$は閉曲線$\gamma$およびその内部を含むようなある開集合で正則」であればよい。

コーシーの積分公式

積分定理の応用として、次の公式を証明してみよう。

定理（コーシーの積分公式） $f(z)$を正則関数とし、単純閉曲線$\gamma$の内側にある複素数cを任意に取るとき、

$\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-c}}dz=2\pi if(c)$

である。□

証明の前に、ある積分を直接計算しておこう。

補題 cを中心とする半径$\varepsilon$の円周を$C_{\varepsilon }$とするとき、

$\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{C_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-c}}dz=2\pi if(c)$

（証明） $z\in C_{\varepsilon }$のとき$z=c+\varepsilon e^{2\pi it}\ (0\leq t\leq 1)$とパラメタ付けできるので、

$\int _{C_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-c}}dz=\int _{0}^{1}{\frac {f(c+\varepsilon e^{2\pi it})}{\varepsilon e^{2\pi it}}}2\pi i\varepsilon e^{2\pi it}dt=\int _{0}^{1}2\pi if(c+\varepsilon e^{2\pi it})dt\to \int _{0}^{1}2\pi if(c)dt=2\pi if(c)\ (\varepsilon \to 0)$

である。//

（コーシーの積分公式の証明） $\gamma$と$C_{\varepsilon }$を適当な線分で結んだ閉曲線$\Gamma$を考える。$\gamma$の内部かつ$C_{\varepsilon }$の外部が$\Gamma$の内部である。この領域で${\frac {f(z)}{z-c}}$は正則なので、コーシーの積分定理より

$\int _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-c}}dz=0$

である。ところで、

$\int _{\Gamma }{\frac {f(z)}{z-c}}dz=\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-c}}dz-\int _{C_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-c}}dz$

であることに注意すると、

$\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-c}}dz=\int _{C_{\varepsilon }}{\frac {f(z)}{z-c}}dz$

であり、$\varepsilon \to 0$としてよいので、

$\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-c}}dz=2\pi if(c)$

である。//

なお、コーシーの積分公式は、文字を取り換えた次の形で用いられることもしばしばなので、この形も記載しておく。

定理（コーシーの積分公式） $f(z)$を正則関数とし、単純閉曲線$\gamma$の内側にある複素数zを任意に取るとき、

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi$

である。□

コーシーの積分公式の重要な帰結として、次の定理が得られる。

定理 (正則関数のべき級数展開可能性) $f(z)$を領域$\Omega$上の正則関数とする。任意の複素数$c\in \Omega$に対し、$r_{c}=d(c,\partial \Omega )$とする。このとき、$f(z)$は$c$を中心とした半径$r_{c}$の円の内部$B_{r_{c}}$においてテイラー展開可能である。すなわち、$z\in B_{r_{c}}$において

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

が成立する。ここで、$a_{n}$は$c$を内側に含むような$\Omega$内の任意の単純閉曲線$\gamma$に対し

$a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -c)^{n+1}}}d\xi$

と表せる。□

(証明) コーシーの積分公式により、$z\in B_{r_{c}}$に対して、

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{r_{c}}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi$

が成立する。このとき、$|\xi -c|>|z-c|$であれば、

${\frac {1}{\xi -z}}={\frac {1}{\xi -c-(z-c)}}={\frac {1}{(\xi -c)(1-{\frac {z-c}{\xi -c}})}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{n}}{(\xi -c)^{n+1}}}$

が成立し、しかも最後の無限和は広義一様収束する。$z\in B_{r_{c}}\,,\,\xi \in C_{r_{c}}$であればこの条件は満たされ、したがって

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{r_{c}}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{r_{c}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f(\xi )(z-c)^{n}}{(\xi -c)^{n+1}}}d\xi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{r_{c}}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -c)^{n+1}}}d\xi \cdot (z-c)^{n}$

となる。ここで、${\frac {f(\xi )}{(\xi -c)^{n+1}}}$は$\gamma$の内側かつ$C_{r_{c}}$の外側の領域において正則であり、したがって$\int _{C_{r_{c}}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -c)^{n+1}}}d\xi =\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -c)^{n+1}}}d\xi$ が成り立つ。以上により

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}\,\,\,,\,a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{(\xi -c)^{n+1}}}d\xi$

が得られる //

初期の複素関数論においては、局所的にべき級数展開可能な関数のことを解析関数と呼び、正則関数とは区別していた。べき級数はその収束円内において無限回微分可能であるため、当然正則関数になる。上の定理はその逆が成立することを示している。すなわち正則関数と解析関数が同値な概念であることが上の定理によって示されたことになる。

留数定理

$f(z)$が$z=c$において「無限大に発散」してしまっていて、この点において正則でない場合を考えよう。このとき、cを囲む単純閉曲線C上の積分$\int _{C}f(z)dz$を考えたい。このような関数にも様々な関数が考えられるが、特殊な状況としてたとえば$f(z)={\frac {1}{z-c}}$のように、$f(z)$は正則ではないが$g(z)=(z-c)f(z)$は正則という状況はあるかもしれない（この状況を、cは$f(z)$の1位の極であるという）。このとき、$g(z)$にはコーシーの積分公式を用いることができるので、

$\int _{C}f(z)dz=\int _{C}{\frac {g(z)}{z-c}}dz=2\pi ig(c)$

である。この結果は、留数定理と呼ばれる定理（の特別な場合）である。この場合の$g(c)$は$f(z)$のcにおける留数と呼ばれ、$Res_{z=c}f(z)$のように書かれる。

単純閉曲線の内部に1位の極が複数ある場合は、それぞれ1つだけを含むような小さな単純閉曲線と適当に接続して閉曲線を作ることで、定積分の値は留数の和になることが分かる。すなわち、次のことが分かった。

定理（留数定理（の特別な場合）） 単純閉曲線Cの内部で$f(z)$が正則でない点がn個であり、それぞれの点$c_{k}$の近くにおいて$g_{k}(z)=(z-c_{k})f(z)$が正則になるとき、$Res_{z=c_{k}}f(z)=g_{k}(c_{k})$を留数と呼ぶ。このとき、

$\int _{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}Res_{z=c_{k}}f(z)$

である。

この定理は実関数の具体的な定積分の計算にもしばしば役立つ。以下でそのような例を見る。

例

$I_{1}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dx}{1+3\sin ^{2}x}}$

を考える。

$I_{1}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {2dx}{5-3\cos 2x}}$

である。$z=e^{2ix}$とすると${\frac {dz}{2iz}}=dx$であり、$\cos 2x={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right)$であることに注意すると、

$I_{1}=\int _{|z|=1}{\frac {2idz}{3z^{2}-10z+3}}=\int _{|z|=1}{\frac {2idz}{(3z-1)(z-3)}}$

である。単位円$|z|=1$の内側にある$f(z)={\frac {2i}{(3z-1)(z-3)}}$の1位の極は$z={\frac {1}{3}}$のみで、その留数は${\frac {2i}{1-9}}=-{\frac {i}{4}}$である。よって、

$I_{1}=2\pi i\left(-{\frac {i}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}$

である。

以下の2つの例では、実軸上の閉区間$I=[-R,R]$と半円$C=\{Re^{i\theta }|0\leq \theta \leq \pi \}$をつなげた閉曲線$\Gamma =I\cup C$を考える。Rとして十分大きい数を取れば、積分したい関数$f(z)$の1位の極のうち、上半平面$H=\{z|\mathrm {Im} z>0\}$に含まれるものはすべて$\Gamma$の内側に入るようにできる。そのように$\Gamma$を十分大きくとったとき、もし$\lim _{R\to \infty }\int _{C}f(z)dz=0$であれば、$\int _{-\infty }^{\infty }f(z)dz=\int _{\Gamma }f(z)dz$である。以上のことを用いて、留数計算によって$\int _{-\infty }^{\infty }f(z)dz$を計算してみよう。

例

$I_{2}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}+3x+4}{x^{4}+5x^{2}+4}}dx$

を考える。

$f(z)={\frac {z^{2}+3z+4}{z^{4}+5z^{2}+4}}={\frac {z^{2}+3z+4}{(z+i)(z-i)(z+2i)(z-2i)}}$

の上半平面内の1位の極は$z=i,2i$で、その留数はそれぞれ${\frac {i^{2}+3i+4}{2i\cdot 3i\cdot (-i)}}={\frac {1-i}{2}}$と${\frac {4i^{2}+6i+4}{3i\cdot i\cdot 4i}}=-{\frac {1}{2}}$である。さらに、Rを十分大きくしたとき$z\in C$ならば

$|f(z)|\leq k\left|{\frac {R^{2}}{R^{4}}}\right|={\frac {k}{R^{2}}}$

であることに注意すると、

$\left|\int _{C}f(z)dz\right|\leq \int _{0}^{\pi }{\frac {k}{R^{2}}}Rd\theta ={\frac {k\pi }{R}}\to 0\ (R\to \infty )$

である。よって、

$I_{2}=2\pi i\left({\frac {1-i}{2}}-{\frac {1}{2}}\right)=\pi$

である。

例

$f(z)={\frac {e^{iz}}{z^{2}+1}}$

を考える。上半平面においては$|e^{iz}|=e^{-\mathrm {Im} z}<1$であることに注意すると、

$\left|\int _{C}f(z)dz\right|\leq \int _{0}^{\pi }{\frac {1}{R^{2}-1}}Rd\theta ={\frac {R\pi }{R^{2}-1}}\to 0\ (R\to \infty )$

である。また、

$\int _{I}f(z)dz=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}+1}}dx+i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin x}{x^{2}+1}}dx$

であるが、${\frac {\sin x}{x^{2}+1}}$は奇関数なので、

$\int _{I}f(z)dz=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}+1}}dx$

である。$f(z)$の上半平面内の1位の極は$z=i$で、その留数は${\frac {e^{-1}}{2i}}={\frac {-i}{2e}}$である。以上から、

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}+1}}dx=2\pi i{\frac {-i}{2e}}={\frac {\pi }{e}}$

であることがわかった。

（参考） 複素解析を使わず計算するならば、$I_{1}$は

$I_{1}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dx}{\cos ^{2}x+4\sin ^{2}x}}=\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {dx}{\cos ^{2}x(1+4\tan ^{2}x)}}$

として、$t=\tan x$とおくと$dt={\frac {dx}{\cos ^{2}x}}$であることから

$I_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{1+4t^{2}}}=\left[{\frac {1}{2}}\arctan(2t)\right]_{-\infty }^{\infty }={\frac {\pi }{2}}$

と計算できる。$I_{2}$は

$I_{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {x+1}{x^{2}+1}}-{\frac {x}{x^{2}+4}}\right)dx=\left[\arctan x+{\frac {1}{2}}\log {\frac {x^{2}+1}{x^{2}+4}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\pi$

と計算できる。3つ目の例で計算した積分はこのような計算技巧で処理することは難しいと思われる。