複素解析学

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ここでは、複素解析学について解説する。

複素数

2つの実数x,yと、虚数単位と呼ばれる$i^{2}=-1$を満たすiを用いて$z=x+iy$と表されるzを複素数と呼ぶ。すると、複素数の全体は体となる。すなわち、0で割る操作を除く加減乗除の計算を自由に行うことができる。複素数を用いると、実数だけを考えていては見えてこない豊かな世界(たとえば複素数平面など)が見えるということを、読者は既に少しは知っていることだろう。初等的な内容については高等学校数学II 式と証明・高次方程式、高等学校数学III 複素数平面を参照のこと。

さて、ここでは、複素数から複素数への関数f(z)を考えたい。ところで、f(z)は複素数値関数であるから、その値も実部と虚部にわけておいたほうが便利である。そこで、しばしば次のようにあらわすことにする。

$f(z)=u(z)+iv(z)=u(x,y)+iv(x,y)$

このようにあらわすことで、複素数から複素数への関数を、見かけ上は2つの2変数実数値関数の組として捉えることができる。実関数については既によく知っているので、この方が扱いやすいこともしばしばあるだろう。

正則関数

関数について考えているので、次はその関数がある点zで"複素関数の意味で"微分可能である条件を考えてみよう。

そもそも微分というのは、

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

という極限によって定義されるものである。実数は一次元的なので、実関数は2つの方向から近づけてみて極限が一致すれば微分可能であるといえた。しかし、複素数は二次元的な広がりを持っているので、各方向から近づけたときに極限が一致する必要がある。その必要条件を見てみよう。

まず、zに対して実軸に平行に近づいたときの極限を計算してみると、

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\{u(x+h,y)+iv(x+h,y)\}-\{u(x,y)+iv(x,y)\}}{h}}\\&={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}\\\end{aligned}}$

である。同様にして虚軸に平行にzに近づいたときの極限を計算してみると、

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(z+ih)-f(z)}{ih}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\{u(x,y+h)+iv(x,y+h)\}-\{u(x,y)+iv(x,y)\}}{ih}}\\&=-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\\\end{aligned}}$

となる。したがって、実部と虚部を比較して

${\begin{cases}{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}}\\\end{cases}}$

を満たすことが必要であることがわかる。この連立方程式をCauchy-Riemannの方程式と呼ぶ。この本ではしばしばC-Rと略記することにする。

ここでは細かく検討しないが、複素関数の意味で微分可能であるためには実は全微分可能かつC-Rを満たせば十分である。

定義(正則関数)
$\Omega$を複素数平面内の領域とする。$\Omega$上の複素関数であって、$\Omega$の各点で複素関数の意味で微分可能である（すなわち各点でC-Rを満たす）ものを$\Omega$上の正則関数と呼ぶ。□

複素解析学とは、正則関数の性質を調べていく学問である。

$z=x+iy$とその複素共役${\bar {z}}=x-iy$は複素数体上で考えると互いに独立ではない。しかし、これらをあたかも独立変数のように考えると、理論の展開に便利である。 $z=x+iy$および${\bar {z}}=x-iy$を実2変数$x$、$y$の関数とみなす。微分形式の理論(詳しくは微分幾何学参照)において$z$、${\bar {z}}$の外微分をとると、

${\begin{aligned}dz&=dx+idy\\d{\bar {z}}&=dx-idy\end{aligned}}$

が得られる。これらの相対は

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}&={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}{\bigr )}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\bigl (}{\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}{\bigr )}\\\end{aligned}}$

で与えられる。(この式は$x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})$、$y={\frac {1}{2i}}(z-{\bar {z}})$という変数変換に関する接ベクトル${\frac {\partial }{\partial z}}$、${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$と${\frac {\partial }{\partial x}}$、${\frac {\partial }{\partial y}}$の間の変換公式としても導ける)
この事実を元に、関数$f$の正則微分${\frac {\partial f}{\partial z}}$ならびに反正則微分${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}$を次のように定義する。

定義(正則微分と反正則微分)
関数$f(z)=f(x+iy)$を実変数$x$、$y$の関数とみたとき$C^{1}$級であるとする。このとき、

${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial z}}&=&{\frac {1}{2}}{\bigl (}{\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}{\bigr )}\\{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}&=&{\frac {1}{2}}{\bigl (}{\frac {\partial f}{\partial x}}+i{\frac {\partial f}{\partial y}}{\bigr )}\end{aligned}}$

をそれぞれ$f$の正則微分、反正則微分という。□

コーシー・リーマン方程式と組み合わせることにより、次の結果が得られる。

定理(正則関数と反正則微分)
$\Omega$上の$C^{1}$級関数$f(z)$が正則であるための必要十分条件は、${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$となることである。□

(証明)

$f$の反正則微分が0ならば、$f$はC-Rを満たす。よって、仮定の$C^{1}$級(すなわち全微分可能)であることと併せて、$f$は正則になる。

正則ならば${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$となるのは明らかである。//

複素積分

微分を考えたので、次は積分を考えよう。正則関数は、微分可能な実二変数関数の組として捉えることができた。そこで、実二変数関数における線積分の概念を、そのまま積分の定義として採用することにしよう。積分路は、とりあえず滑らかにパラメタづけられた曲線$\gamma :[0.1]\to \mathbb {C}$に限っておくことにする。滑らかな曲線上の積分を定義しておけば、区分的に滑らかな曲線上の積分を考えることは容易である。

定義(線積分)
$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$を複素平面上の滑らかな曲線、$f(z)=u(z)+iv(z)$とする。このとき、fの$\gamma$に沿った積分を

$\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{0}^{1}u(\gamma (t)){\frac {d\gamma }{dt}}dt+i\int _{0}^{1}v(\gamma (t)){\frac {d\gamma }{dt}}dt$

で定める。□

既に知っている実二変数関数の積分とまったく変わらない。ところが、正則という条件は見かけ以上に強い条件であり、正則関数の積分には驚くべき性質がいくつかある。そのうちのひとつが、次に挙げるCauchyの積分定理である。

コーシーの積分定理

上では一般の曲線について考えたが、ここから先は閉曲線、特に単純閉曲線について考える。念のためきちんと定義しておく。

定義(単純閉曲線)
曲線$\gamma :[0,1]\to \mathbb {C}$が単純閉曲線であるとは、$\gamma |_{[0,1)}$が単射であって、$\gamma (0)=\gamma (1)$を満たすことである。□

単純閉曲線は、平面はその「内側」と「外側」の2つの領域にわける。直感的には明らかだが、証明は難しい。ここでは事実を指摘するにとどめておく。

正則関数の単純閉曲線上の積分について成り立つ重要な定理が、次の定理である。

定理(Cauchyの積分定理)
$f(z)$を正則関数、$\gamma$を単純閉曲線とするとき、

$\int _{\gamma }f(z)dz=0$

が成り立つ。□