線型代数学/行列と行列式/第三類/直線・平面

まず，ベクトルによって平面上の直線を表す方法を確認する．

定義3 直線の方程式（パラメータ表示）

平面上の点 $\mathrm {A} ({\vec {a}})$ を通り，${\vec {u}}$ に平行な直線を $l$ とする． この $l$ 上の点を $\mathrm {P}$ とし，${\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}}$ とする． すると ${\vec {\mathrm {AP} }}=t{\vec {u}}$ を満たす実数 $t$ があって，

${\vec {x}}={\vec {a}}+t{\vec {u}}$

$({\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {\mathrm {OA} }}+{\vec {\mathrm {AP} }})$

と表される．

これを直線 $l$ のベクトル方程式という．

$t$ は媒介変数，または パラメータ と呼ばれる．

これは平面上の直線を表しているが，空間内の直線を表す場合でも同じ要領であらわすことができる． 上で「平面上の」を「空間内の」に読み替えれば済むからである．

演習2.$\quad$

座標平面上の点 $\mathrm {A} (-4,5)$ を通り，${\vec {u}}=(-1,3)$ に平行な直線 $l$ を、 $ax+by+c=0$ の形で表せ．

解答例1

$l$ 上の点 $\mathrm {P}$ について，ある実数 $t$ があって，

${\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {\mathrm {OA} }}+{\vec {\mathrm {AP} }}=\left({\begin{array}{c}-4\\5\end{array}}\right)+t\left({\begin{array}{c}-1\\3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-t-3\\3t+5\end{array}}\right)$

$\mathrm {P}$ の座標を $(x,y)$ とすれば， $x=-t-4,y=3t+5$． これから t を消去する．$3x+y$ を考えると $t$ が消えることが容易に予想されるので，このまま $3x+y$ を計算すると，

$3x+y=3(-t-4)+(3t+5)$

$=-3t-12+3t+5$

$=-7$

すなわち

$3x+y+7=0$

$\blacksquare$

解答例2

パラメータ $t$ を用いない方法を示す． 問題の直線 $l$ は ${\vec {u}}=\left({\begin{array}{c}-1\\3\end{array}}\right)$ に平行であったが，これに垂直なベクトル ${\vec {h}}=\left({\begin{array}{c}3\\1\end{array}}\right)$ （成分を逆さにして片方にマイナスをつけた．すると ${\vec {u}}\cdot {\vec {h}}=0$．） を用いれば次のように表現できる．

$l$ は $\mathrm {A} ({\vec {a}})$ を通り $h$ に垂直だから，この $l$ 上に $\mathrm {P}$ をとり， ${\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}}$ とすると，$\mathrm {P}$ が $l$ 上にある．

$\Leftrightarrow {\vec {\mathrm {AP} }}\bot {\vec {h}}$

$\Leftrightarrow ({\vec {x}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {h}}=0$ …①

$\mathrm {P}$ の座標を $(x,y)$ とすれば，${\vec {x}}=\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right),{\vec {a}}=\left({\begin{array}{c}-4\\5\end{array}}\right),{\vec {h}}=\left({\begin{array}{c}3\\1\end{array}}\right)$ なので，①より

$\left\{\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}-4\\5\end{array}}\right)\right\}\cdot \left({\begin{array}{c}3\\1\end{array}}\right)=0$

$\therefore \left({\begin{array}{c}x+4\\y-5\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}3\\1\end{array}}\right)=0$

$\therefore 3(x+4)+y-5=0$

$\therefore 3x+y+7=0$

となり，同じ直線の式が得られた．

$\blacksquare$

①のように、平面上の直線をベクトルで表す方法にはパラメータを用いない方法もある．

定義4 直線の方程式（$ax+by+c=0$）

平面上の点 $\mathrm {A} ({\vec {a}})$ を通り，${\vec {h}}$ に垂直な直線を $l$ とする． この $l$ 上に点 $\mathrm {P}$ をとり，${\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}}$ とすると， ${\vec {x}}$ は

$({\vec {x}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {h}}=0$

を満たす．$\mathrm {P}$ の座標を $(x,y)$ として成分を計算すると．

$ax+by+c=0$

の形をしている．

次に，問題を解きながら空間内の平面の表し方を解説してゆく．

演習3.$\quad$

座標空間の点 $\mathrm {A} (0,2,1)$ を通り， $\left({\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}}\right)$，$\left({\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}}\right)$ に平行な平面を $\pi$ とする． $\pi$ 上の点 $\mathrm {P}$ について， ${\vec {\mathrm {OP} }}$ をパラメータ $s,t$ を用いて表せ． また，$\mathrm {P}$ の座標を $(x,y,z)$ をするとき， $x,y,z$ が満たす等式を求めよ．

解答

${\vec {u}}=\left({\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}}\right),{\vec {v}}=\left({\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}}\right)$ とおく．${\vec {\mathrm {AP} }}$ は $\pi$ に含まれるベクトルだから，ある実数 $s,t$ を用いて ${\vec {\mathrm {AP} }}=s{\vec {u}}+t{\vec {v}}$ と表すことができる．

${\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {\mathrm {OA} }}+{\vec {\mathrm {AP} }}$

$={\vec {\mathrm {OA} }}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}$

$=\left({\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}}\right)+s\left({\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}}\right)+t\left({\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}}\right)$

すなわち $\mathrm {P} (x,y,z)$ として

${\begin{cases}x=s+2t\\y=2-2s-t\\z=1+s+3t\end{cases}}$

これらからパラメータ $s,t$ を消去する．

$x+2y=s+2t+2(2-2s-t)=-3s+4$
$\therefore s={\frac {4-x-2y}{3}}$
$2x+y=s(s+2t)+2-2s-t=3t+2$
$\therefore t={\frac {2x+y-2}{3}}$
これを $z=1+s+3t$ に代入して
$z=1+{\frac {4-x-2y}{3}}+3\cdot {\frac {2x+y-2}{3}}$
$3z=3+4-x-2y+3(2x+y-2)$
$\therefore 5x+y-3z=-1$

次に $\pi$ に垂直なベクトル（法線ベクトルという）を用いて，関係式を求める．

$\pi$ に垂直なベクトル ${\vec {h}}$ は ${\vec {u}},{\vec {v}}$ のそれぞれに垂直だから，${\vec {h}}$ は ${\vec {u}}\times {\vec {v}}$ に平行である． だから，

${\vec {h}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}=\left({\begin{array}{c}1\\-2\\1\end{array}}\right)\times \left({\begin{array}{c}2\\-1\\3\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}-5\\-1\\3\end{array}}\right)$ とおくことができる．

${\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}},{\vec {\mathrm {OA} }}={\vec {a}}$ とする．すると，

$\mathrm {P}$ が $\pi$ 上にある

$\iff {\vec {\mathrm {AP} }}\bot {\vec {h}}$

$\iff ({\vec {x}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {h}}=0$

$\mathrm {P}$ の座標を $(x,y,z)$ とすれば， ${\vec {x}}=\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right),{\vec {a}}=\left({\begin{array}{c}0\\2\\1\end{array}}\right)$，

$\left({\begin{array}{c}x-0\\y-2\\z-1\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}-5\\-1\\3\end{array}}\right)=-5x-(y-2)+3(z-1)=0$

$\therefore 5x+y-3z=-1$

これが平面 $\pi$ の方程式である．平面の方程式の係数 $(5,1,-3)$ を並べると平面の法線ベクトルになっている．

一般の形でまとめておく．

定義5 平面の方程式（パラメータ表示）

空間内の点 $\mathrm {A} ({\vec {a}})$ を通り，${\vec {u}},{\vec {v}}$ に平行な平面を $\pi$ とする． この $\pi$ 上の点を $\mathrm {P}$ とし，${\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}}$ とすると， ${\vec {\mathrm {AP} }}=s{\vec {u}}+t{\vec {u}}$ を満たす実数 $s,t$ があって， ${\vec {x}}$ は，

${\vec {x}}={\vec {a}}+s{\vec {u}}+t{\vec {v}}\quad ({\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {\mathrm {OA} }}+{\vec {\mathrm {AP} }})$

と表される．

定義6 平面の方程式（$ax+by+cz+d=0$）

空間上の点 $\mathrm {A} ({\vec {a}})$ を通り，${\vec {h}}$ に垂直な平面を $\pi$ とする． この $\pi$ 上に点 $\mathrm {P}$ をとり，${\vec {\mathrm {OP} }}={\vec {x}}$ とする． ${\vec {x}}$ は，

$({\vec {x}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {h}}=0\quad ({\vec {\mathrm {AP} }}\bot {\vec {h}})$

を満たす．$\mathrm {P}$ の座標を $(x,y,z)$ として，成分を計算すると

$ax+by+cz+d=0$

の形になり，ベクトル $(a,b,c)$ は ${\vec {h}}$ に平行である．