線型代数学/計量ベクトル空間

このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ（ノルム）や内積を定義する。

2、3次元の数ベクトルの場合は、高等学校数学B ベクトルを参照のこと。

数ベクトルのノルム・内積

ノルム

ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは$||a||$で表され、

$||\mathbf {a} ||={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}}}$

と定義される。これをaのノルム （norm）と言う。

例

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}3\\5\\6\\2\\4\\\end{pmatrix}}$

$||\mathbf {a} ||={\sqrt {3^{2}+5^{2}+6^{2}+2^{2}+4^{2}}}=3{\sqrt {1}}0$

演習

次のベクトルのノルムを求めよ

1. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}2\\4\\8\\6\\3\\\end{pmatrix}}$
2. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\{\sqrt {a}}\\3a\\{\sqrt {3}}a\\\end{pmatrix}}$

内積

ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

をaとbの内積 （inner product）という。

特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta$

と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。

内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。

• (a,a)=||a||²
• aとbが直交する⇔(a,b)=0
• c(a,b)=(ca,b)=(a,cb)
• (a,b+c)=(a,b)+(a,c)
• (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
• (a,b)=(b,a)
• ||a||+||b||≧||a+b||（三角不等式）
• |(a,b)|≦||a||||b||(シュワルツの不等式）

演習

空間ベクトル

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}}$

とのなす角が$\pi \over 6$であり、かつ

$\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}1\\1\\4\\\end{pmatrix}}$

とのなす角が$\pi \over 4$であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。

注）そのようなベクトルはただひとつではない。

$\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 上の線型空間でのノルム・内積

次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。

定義

$\ V$を$\mathbb {R}$または$\mathbb {C}$上の線型空間とする。（以下、$\mathbf {K}$ は一般の体ではなく、実数体 $\mathbb {R}$または複素数体 $\mathbb {C}$を指すことにする ）

$\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \ V$ に対して、$\mathbf {K}$ の元をかえすような演算$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$が次の（Ⅰ）～（Ⅳ）の性質をみたすとき、$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$を内積という。

（Ⅰ）$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} _{1}+\mathbf {y} _{2})=(\mathbf {x} ,\mathbf {y} _{1})+(\mathbf {x} ,\mathbf {y} _{2})$

$(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2},\mathbf {y} )=(\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} )+(\mathbf {x} _{2},\mathbf {y} )$

（Ⅱ）$(c\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=c(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),(\mathbf {x} ,c\mathbf {y} )={\bar {c}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$

（${\bar {c}}$は$\ c$ の複素共役）

（Ⅲ）$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\overline {(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )}}$

（Ⅳ）$(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\geq 0$

$(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=0$ が成り立つのは、$\mathbf {x} =\mathbf {0}$ のときに限る。

また、

$||\mathbf {x} ||={\sqrt {(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )}}$

で定義される量をxのノルムという。

このように、内積が定義された線型空間を計量ベクトル空間（計量線型空間）という。

例

１．$\ V=\mathbb {C} ^{n},\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {C} ^{n}$ のとき、

$(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i}$

とすれば、これは内積になっている。

２．$\ V=\ M(m,n;\mathbb {R} ),\ A,\ B\in \ M(m,n;\mathbb {R} )$　のとき、

$(\ A,\ B)=\ Tr(^{t}A\ B)$

とすれば、これは内積になっている。（Trについては行列概論を参照）

３．$\ V=${$0\leq x\leq 1$上連続な関数} ,$\ f(x),\ g(x)$ は$0\leq x\leq 1$上連続な関数のとき、

$(\ f(x),\ g(x))=\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx$

とすれば、これは内積になっている。

三角不等式・シュワルツの不等式

ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。

定理　$\forall \mathbf {x} ,\forall \mathbf {y} \in \ V$ に対して、次の（１）,（２）の不等式が成り立つ。

（１）$|(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|\leq ||\mathbf {x} ||\cdot ||\mathbf {y} ||$（シュワルツの不等式）

等号が成り立つのは、$\mathbf {x} =\alpha \mathbf {y}$と書ける場合のみ。

（２）$||\mathbf {x} +\mathbf {y} ||\leq ||\mathbf {x} ||+||\mathbf {y} ||$

等号が成り立つのは、実数$\beta \geq 0$ を用いて、$\mathbf {y} =\beta \mathbf {x}$ と書ける場合のみ。

（証明）（１）$\ a,b\in \mathbf {K}$　とすると

$0\leq ||a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ||^{2}=(a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,a\mathbf {x} +b\mathbf {y} )=|a|^{2}||\mathbf {x} ||^{2}+a{\bar {b}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )+{\bar {a}}b(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )+|b|^{2}||\mathbf {y} ||^{2}$

ここで、$\ a=||\mathbf {y} ||^{2},\ b=-(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ とおけば、

${\begin{aligned}0&\leq ||\mathbf {y} ||^{4}||\mathbf {x} ||^{2}-||\mathbf {y} ||^{2}{\overline {(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )-||\mathbf {y} ||^{2}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ){\overline {(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}}+|(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|^{2}||\mathbf {y} ||^{2}\\&=||\mathbf {y} ||^{2}(||\mathbf {x} ||^{2}||\mathbf {y} ||^{2}-|(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|^{2})\\\end{aligned}}$

両辺を　$||\mathbf {y} ||^{2}$ で割り、正の平方根をとれば、

$|(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|\leq ||\mathbf {x} ||\cdot ||\mathbf {y} ||$　　となる。

等号が成り立つのは、$0=||a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ||^{2}$ すなわち、$\mathbf {0} =a\mathbf {x} +b\mathbf {y}$ となるときだから、$\mathbf {x} =\alpha \mathbf {y}$　と書ける。

逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□

（２）${\begin{aligned}||\mathbf {x} +\mathbf {y} ||^{2}=(\mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=||\mathbf {x} ||^{2}+(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )+(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )+||\mathbf {y} ||^{2}\\&\leq ||\mathbf {x} ||^{2}+2|(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|+||\mathbf {y} ||^{2}\\&\leq ||\mathbf {x} ||^{2}+2||\mathbf {x} ||||\mathbf {y} ||+||\mathbf {y} ||^{2}\\&=(||\mathbf {x} +\mathbf {y} ||)^{2}\\\end{aligned}}$

したがって、正の平方根をとれば　$||\mathbf {x} +\mathbf {y} ||\leq ||\mathbf {x} ||+||\mathbf {y} ||$　となる。

1つ目の等号は $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は　$\mathbf {x} =\alpha \mathbf {y}$　と書けるとき成り立つ。この２つの条件から、実数$\beta \geq 0$ を用いて、$\mathbf {y} =\beta \mathbf {x}$ と書けるときのみ等号が成立する□

基底の直交化

正規直交系

計量ベクトル空間$V$のベクトル$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$が互いに直交し、ノルムが1であるとき、つまり、$(x_{i},x_{j})={\begin{cases}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{cases}}$であるとき、ベクトル$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$は正規直交系(orthonormal system)であるという。ONSとも表される。

正規直交基底

計量ベクトル空間$V$の正規直交系$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$が、$\left\langle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right\rangle =V$であるとき、$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$は、正規直交基底(orthonormal basis)または、完全正規直交系(complete orthonormal system)であるという。CONSとも表される。

グラム・シュミットの直交化法

グラム・シュミットの直交化法のイメージ

計量ベクトル空間$V$の線形独立なベクトル$v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}$を使って正規直交系を作ることができる。

${\begin{aligned}{\boldsymbol {u}}_{1}&={\boldsymbol {v}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{2}&={\boldsymbol {v}}_{2}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}\\{\boldsymbol {u}}_{3}&={\boldsymbol {v}}_{3}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{3})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}\\&\vdots \\{\boldsymbol {u}}_{n}&={\boldsymbol {v}}_{n}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{1},{\boldsymbol {u}}_{1})}}{\boldsymbol {u}}_{1}-{\frac {({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{2},{\boldsymbol {u}}_{2})}}{\boldsymbol {u}}_{2}-\dotsb -{\frac {({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {v}}_{n})}{({\boldsymbol {u}}_{n-1},{\boldsymbol {u}}_{n-1})}}{\boldsymbol {u}}_{n-1}\\\end{aligned}}$

とすると、$u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n}$は互いに直行するベクトルとなる。

$e_{i}={\frac {u_{i}}{||u_{i}||}}$とすると、$e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}$は正規直交系となる。

これをグラム・シュミットの直交化法(Gram–Schmidt orthonormalization)という。