このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ(ノルム)や内積を定義する。
2、3次元の数ベクトルの場合は、高等学校数学B ベクトルを参照のこと。
ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは
で表され、
![{\displaystyle ||\mathbf {a} ||={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1b3887f12d8d0c29a6e54aabaa1baa6c57506c)
と定義される。これをaのノルム (norm)と言う。
例
![{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}3\\5\\6\\2\\4\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e4ddca801ebe8c2c962c1e76ad3561ff6bc847)
![{\displaystyle ||\mathbf {a} ||={\sqrt {3^{2}+5^{2}+6^{2}+2^{2}+4^{2}}}=3{\sqrt {1}}0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090e6b13a45a8d0d2232996b65ccd432ade92fe1)
演習
- 次のベクトルのノルムを求めよ
![{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}2\\4\\8\\6\\3\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ca516daff66571050c26ca3747ed26367c926e)
![{\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\{\sqrt {a}}\\3a\\{\sqrt {3}}a\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f47712a088e411be918966e28a7e97804e6d1407)
ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。
![{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ed69ad0a4b2025ae81c3121b9093d97ce87631)
をaとbの内積 (inner product)という。
特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、
![{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935a416a1d28f48d659903d5015a842e0b5044e1)
と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。
内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。
- (a,a)=||a||2
- aとbが直交する⇔(a,b)=0[1]
- c(a,b)=(ca,b)=(a,cb)
- (a,b+c)=(a,b)+(a,c)
- (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
- (a,b)=(b,a)
- ||a||+||b||≧||a+b||(三角不等式)
- |(a,b)|≦||a||||b||(シュワルツの不等式)
- ^ なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。
演習
空間ベクトル
![{\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9808ba08cfc6124935e350fbeb8378e1d225296)
とのなす角が
であり、かつ
![{\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{pmatrix}1\\1\\4\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93388f1e19aea2a8affc936c517762094a6a7959)
とのなす角が
であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。
注)そのようなベクトルはただひとつではない。
上の線型空間でのノルム・内積
[編集]
次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。
を
または
上の線型空間とする。(以下、
は一般の体ではなく、実数体
または複素数体
を指すことにする )
に対して、
の元をかえすような演算
が次の(Ⅰ)~(Ⅳ)の性質をみたすとき、
を内積という。
- (Ⅰ)
![{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} _{1}+\mathbf {y} _{2})=(\mathbf {x} ,\mathbf {y} _{1})+(\mathbf {x} ,\mathbf {y} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8423da122ed370e13dd45a163a772610b8249d)
![{\displaystyle (\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2},\mathbf {y} )=(\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} )+(\mathbf {x} _{2},\mathbf {y} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/266208d7fd0b7d557c528823b6acf0f22152565c)
- (Ⅱ)
![{\displaystyle (c\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=c(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),(\mathbf {x} ,c\mathbf {y} )={\bar {c}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eaaa4f318fde9d7d00727be0fd66ceac90d9606)
- (
は
の複素共役)
- (Ⅲ)
![{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\overline {(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9c7d77a34062bf38e0d03b466f2eb275620f248)
- (Ⅳ)
![{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f6c9b0afab931c3e8c0b6f0de5ee5a478f08d97)
が成り立つのは、
のときに限る。
また、
![{\displaystyle ||\mathbf {x} ||={\sqrt {(\mathbf {x} ,\mathbf {x} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadb1bd80444cbd91631ccf8a740f2cf30459088)
で定義される量をxのノルムという。
このように、内積が定義された線型空間を計量ベクトル空間(計量線型空間)という。
1.
のとき、
![{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241bef2d01ccc43eb2c40a87260e25289a464bec)
とすれば、これは内積になっている。
2.
のとき、
![{\displaystyle (\ A,\ B)=\ Tr(^{t}A\ B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8d59dac9dc1591ee343bb4acc11e3733149803)
とすれば、これは内積になっている。(Trについては行列概論を参照)
3.
{
上連続な関数} ,
は
上連続な関数のとき、
![{\displaystyle (\ f(x),\ g(x))=\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ed35e50628d07a3722bb58709045d73e5ede46)
とすれば、これは内積になっている。
ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。
定理
に対して、次の(1),(2)の不等式が成り立つ。
(1)
(シュワルツの不等式)
等号が成り立つのは、
と書ける場合のみ。
(2)
等号が成り立つのは、実数
を用いて、
と書ける場合のみ。
(証明)(1)
とすると
![{\displaystyle 0\leq ||a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ||^{2}=(a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,a\mathbf {x} +b\mathbf {y} )=|a|^{2}||\mathbf {x} ||^{2}+a{\bar {b}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )+{\bar {a}}b(\mathbf {y} ,\mathbf {x} )+|b|^{2}||\mathbf {y} ||^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ef473e01727634749665a317455e9d884c3b9e)
ここで、
とおけば、
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq ||\mathbf {y} ||^{4}||\mathbf {x} ||^{2}-||\mathbf {y} ||^{2}{\overline {(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )-||\mathbf {y} ||^{2}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ){\overline {(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}}+|(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|^{2}||\mathbf {y} ||^{2}\\&=||\mathbf {y} ||^{2}(||\mathbf {x} ||^{2}||\mathbf {y} ||^{2}-|(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|^{2})\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8b20c740a761644de6d304cd5a8aca6db77f79)
両辺を
で割り、正の平方根をとれば、
となる。
等号が成り立つのは、
すなわち、
となるときだから、
と書ける。
逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□
(2)
したがって、正の平方根をとれば
となる。
1つ目の等号は
が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は
と書けるとき成り立つ。この2つの条件から、実数
を用いて、
と書けるときのみ等号が成立する□
計量ベクトル空間
のベクトル
が互いに直交し、ノルムが1であるとき、つまり、
であるとき、ベクトル
は正規直交系(orthonormal system)であるという。ONSとも表される。
計量ベクトル空間
の正規直交系
が、
であるとき、
は、正規直交基底(orthonormal basis)または、完全正規直交系(complete orthonormal system)であるという。CONSとも表される。
グラム・シュミットの直交化法のイメージ
計量ベクトル空間
の線形独立なベクトル
を使って正規直交系を作ることができる。
とすると、
は互いに直行するベクトルとなる。
とすると、
は正規直交系となる。
これをグラム・シュミットの直交化法(Gram–Schmidt orthonormalization)という。