線形代数学/行列式

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線形代数学 > 行列式


置換[編集]

置換[編集]

を互いに重複しないように、にうつす操作をn次の置換という。

置換によってiがうつされる行き先をと表す。

置換は、次のように、上にもとの元を、下の行き先を並べて表現される。

これは、行列と同じ表現だが、行列ではないことに注意する。

例えば、 1を2に、2を3に、3を1にうつす置換は、3次の置換であり、となり、この置換は、 と表せる。

単位置換[編集]

のように、すべての整数が変化しない置換のことを単位置換という。

逆置換[編集]

ある置換に対し、逆置換という。

置換全体の集合[編集]

n次の置換全体の集合をと表す。 例えば、である。

n次の置換全体の集合の個数がであることは自明であろう。

置換の合成[編集]

置換に対し、置換の合成をと定める。
これは、に対し、と表記することもできる。 こうすると、記述量が少なくなり、便利だろう。

置換の性質[編集]

置換について、以下の性質が成り立つ。


証明

  1. に対し、




    よって、である。


  2. に対し、




    よってである。


  3. に対し、




    よってである。

互換[編集]

のように、iとjだけを交換する置換を互換という。


任意の置換は互換の積で表すことができ、互換の個数の偶奇は互換のとり方によらず、同じであるという性質がある。 置換を互換の積で表したとき、互換の個数が偶数個の置換を偶置換、奇数個の置換を奇置換という。


証明

符号[編集]

符号という。

行列式[編集]

行列式は、 行列 に対して、

をAの行列式という。

とは、の元をすべて代入して足し合わせろという意味である。
たとえば、のとき、と、は、同じ意味である。


2次正方行列の行列式を求めてみよう。
行列式の定義に当てはめると、である。
であり、
つまり行列式は、 である。



3次の行列式では、 となる。 これは、「Sarrus(サラス)の展開」または「Sarrusの方法」、「たすきがけの法」と呼ぶものであり、斜めに数を掛け合わせていったものに等しいことに注意。 例えば、第1項は、1行1列のaから、3行3列のまでを右下に向かって 順に書けていったものに等しい。また、次のbfgは、1行2列のbから始めて、 右下に向かってかけ算していったものに等しい。2行3列のfのあとは 端を突き抜けて、3行1列のにいたることに注意。 4から6番目の項は、右下に向かってではなく左下に向かって 書けていった値となり同時にかけ算した値に(-1)をかける必要がある。

以降の行列ではこのような簡単な計算法は 得られない。 項の数は 行列では、 個となり、計算機を使わないでの計算は困難になる。


行列式の性質[編集]

行列式について、以下の性質が成り立つ。

証明


  1. よって証明された。
  2. よって証明された。