高等学校数学B/数列

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本項は高等学校数学B数列の解説である。

数列[編集]

数列と漸化式[編集]

数列とは[編集]

数列(すうれつ、sequence of numbers)とは、数を一列に並べたものである。以下は自然数列(しぜんすうれつ、sequence of natural numbers)の例である。

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

数列のそれぞれの数を(こう、term)という。1番目から数えて、第1項、第2項、第3項のように、n 番目の項を第 n 項という。特に第1項は初項(しょこう、first term)ともいう。以下、特に断りのない限り n は 1 以上の自然数であるものとする。

数列 において、n の閉じた式で表すとき、この を数列 一般項(いっぱんこう、general term)という。たとえば、自然数列 1, 2, 3, 4, 5, ... の一般項は である。自然数の偶数の数列 2, 4, 6, 8, 10, ... の一般項は である。

項の数が有限である数列を有限数列(ゆうげんすうれつ、finite sequence of numbers)という。有限数列の最後の項を末項(まっこう、final term)といい、項の総数を項数(こうすう、arity)という。初項は存在するが、末項が存在しない数列を無限数列(むげんすうれつ、infinite sequence of numbers)という。自然数列 1, 2, 3, 4, 5, ... は無限数列の一種である。

等差数列と等比数列[編集]

自然数列 1, 2, 3, 4, 5, ... や、1に2を足していって得られる自然数の奇数の数列 1, 3, 5, 7, 9, ...、2に2を足していって得られる自然数の偶数の数列 2, 4, 6, 8, 10, ... は、どの隣り合う二項をとっても、その差が等しい。このような数列を等差数列(とうさすうれつ、arithmetic progression (sequence); 算術数列)という。

すなわち、等差数列 d を定数として、

が成り立つような数列である。あるいは同じことだが、

とも書かれる。これは等差数列のある項に定数 d を足すと、次の項が得られることを意味している。定数 d を等差数列 公差(こうさ、common difference)という。

等差数列 の初項を とすると、

...

であるから、一般項は であると予想できる。

定理1.1.1(等差数列の一般項の公式)

初項 、公差 d の等差数列 の一般項は

で与えられる。

一般項が で与えられる数列 1, 2, 4, 8, 16, ... や、1に-1を繰り返し掛けていって得られる数列 1, -1, 1, -1, 1, ... は、どの隣り合う二項をとっても、その比が等しい。このような数列を等比数列(geometric progression; 幾何数列)という。

すなわち、等比数列は r を定数として、

が成り立つような数列である。r公比(こうひ、common ratio)という。あるいは同じことだが、

とも表される。等比数列 の初項を とし、各項を並べて書くと、

のようになることから、等比数列の一般項は で与えられると予想できる。

定理1.1.2(等比数列の一般項の公式)

初項 、公比 r の等比数列 の一般項は

で与えられる。

  • 問題例
    • 問題

(i) 初項3, 公差2の等差数列を第1項から第5項まで書き下せ。

(ii) 上の等差数列の第n項を計算し、それぞれの項が上で計算した表式と一致することを確かめよ。

    • 解答

(i)

第一項から2ずつ足していけばよい。答えは、

となる。

(ii)

等差数列の式

(ただし、を初項、を公差とする。)を用いると、上の式は、

とかける。実際この式にを代入すると、が得られ、上の表式と一致することがわかる。

    • 問題

(i) 初項3, 公比4の等比数列を第1項から第5項まで書き下せ。

(ii) 上の等比数列の第n項を計算し、それぞれの項が上で計算した表式と一致することを確かめよ。

    • 解答

(i)

第一項から4ずつかけていけばよい。答えは、となる。

(ii)

等比数列の式

(ただし、を初項、を公比とする。)を用いると、上の式は、

とかける。実際この式にを代入すると、

が得られ、上の結果と一致することがわかる。

いろいろな数列[編集]

階差数列[編集]

何らかの数列 があるとき、

で与えられる数列w:階差数列という。および初項がわかっているとき、の第2項以降は

で求められる。

  • 問題例
    • 問題

の定数の数列を用いる。このとき、初項2、階差とする数列 の表式を求めよ。

    • 解答

階差数列を計算する式

に(ただし、は初項、は数列の階差である。)代入すればよい。 実際に代入すると、

が得られる。

簡単な数列の和[編集]

初項a、公差d、項数nの等差数列{}の和は

である。これは、と、その足す順序を入れ替えたを加える操作によって、を得ることによる。 特に、とすると

を得る。また、

が得られる。ここでは数列(lは1,2)について導出を行うが、同様の方法は任意の自然数lについて用いられる。

  • 導出

とおくと、

が成り立つ。この時、

(a,b,cは実数)とおく。このようにおく理由は直接には、数列について

となり、nに関する1次式が現れ、この形が

の結果と似ていることである。この時、

から、a,bは、

となり、この結果が全てのnについて成り立つとすると、

が得られる。更に、

となるようにcの値を定めると、

が得られる。

についても同様だがこの時には、

とおいて、実数a,b,c,dを定める。

  • 問題例
    • 問題

(i) 数列

(ii)

(iii)

の1から項目までの和を、それぞれ計算せよ。

    • 解答

(i)

に直接代入すればよい。答えは、

となる。

(ii)

定数倍された数を足し合わせた結果は、足し合わせた結果を定数倍したものと等しくなる。このことを式で書くと、

(は任意の数列、は任意の実数である。)このことを用いると、

が得られる。

(iii)

2つの項の和を求める計算である。ここで、ある数列を,をとったとき、

が成り立つ。つまり、これらは足し算の順番を入れ替えただけであるので、結果はかわらないという主張である。このことを用いると、

が得られる。

    • 問題

(i)

, (ii)

を計算しそれを簡単にせよ。

    • 解答

公式

を用いる。

(i)については、

が得られる。

(ii)については

が得られる。

数列の和と一般項[編集]

数列の第n項と初項から第n項までの和の関係を見てみよう。

のとき

ゆえに

また


数列の初項から第n項までの和とすると

のとき

漸化式と数学的帰納法[編集]

漸化式と数列[編集]

数列の隣り合った項どうしの関係を表す式を漸化式(ぜんかしき、recurrence relation)という。

たとえば、上の漸化式を満たす数列は公差1の等差数列である。これだけでは数列は一意的には定まらないが、さらに初項を と与えると、自然数列

を得ることができる。ここでは漸化式が与えられたとき、それを満たす数列 にはどのようなものがあるか、具体的に求める方法を考える。漸化式を満たす数列を求めることを、漸化式を解くという。

簡単なもう一つの例として、

のようなものがある。これは、

と変形することで、公比2の等比数列であることがわかる。であることをあわせると、一般項は

であることがわかる。

隣接二項間漸化式[編集]

隣接二項間漸化式の定義は次のとおりである。

定義1.1.3

p, qn に無関係な定数とし、数列 の漸化式が

で表されるとき、この漸化式を(定数係数をもつ線型の)隣接二項間漸化式という。

このような隣接二項間漸化式は等差数列または等比数列に帰着できることが知られている。まず p = 1 のとき、漸化式は であるから、これは等差数列である。ここでは p ≠ 1 の場合を考える。

公比 p の等比数列

の一般項が で与えられるとき、この等比数列の漸化式は次のようになる。

ここで とおくと、これは隣接二項間漸化式 に等しい。 を整理すると が得られる。つまり、この方程式の解 を用いることでの漸化式は等比数列の漸化式に変形できるのである。

定理1.1.4

隣接二項間漸化式 p, qn に無関係な定数)は、 の解 α を用いて、公比 p の等比数列 に変形することができる。

 は見かけ上、隣接二項間漸化式 x に置き換えたものに等しくなっている。

隣接二項間漸化式は等比数列 に変形することにより、等比数列の一般項の公式 を用いてただちに解くことができる。

隣接三項間漸化式(発展)[編集]

隣接三項間漸化式の定義は次のとおりである。

定義1.1.5

p, qn に無関係な定数とし、数列 の漸化式が

… (1)

で表されるとき、この漸化式を(定数係数をもつ線型の)隣接三項間漸化式という。

ここでは (1) の隣接三項間漸化式を等比数列に帰着して解く方法を考える。公比 β の等比数列

の一般項を で定義すると、

… (2)

(2) の等比数列を (1) と係数比較すると、次の関係が得られる。

これは二次方程式の解と係数の関係であるから、二次方程式

の解 α, β を用いて、(1) の隣接三項間漸化式は (2) の等比数列の漸化式に帰着することができる。この二次方程式を隣接三項間漸化式の特性方程式という。特性方程式の2つの解は便宜上区別したもので、解の取り方によらない(以下の定理は α と β を入れ換えても成立する)。

定理1.1.6

隣接三項間漸化式 p, qn に無関係な定数)は、特性方程式 の解 α, β を用いて、公比 β の等比数列 に変形することができる。

隣接三項間漸化式は等比数列 に変形することにより、等比数列の一般項の公式 を用いてただちに解くことができる。

よく知られているフィボナッチ数列の漸化式

は隣接三項間漸化式であるが、 よりこの特性方程式は

である。これを解くと、

黄金比 φ として知られる)

公比 β の等比数列の一般項に初項 を代入すると、

ただし α + β = 1 より 1 - α = β という関係を使った。これは α と β を入れ換えても成り立つため、次の連立方程式が得られる。

辺々を引いて について解くと、

ここで であるから、求める一般項は次のようになる。

これはフィボナッチ数列の一般項を求める公式(ビネの公式、Binet's formula)として知られている。

練習問題(漸化式)[編集]
    • 問題

(i)

(ii)

(iii)

をそれぞれ計算せよ。 ただし、

(aは任意の実数。) とする。さらに、一般に

(b,cは任意の実数。)についても計算せよ。

    • 解答

(i) 特性方程式は、

となる。よって、この式は、

と書き換えられる。ここで、

と書き換えると、上の式は

となり、通常の等比数列の表式となる。ここで、

を用いると、

となる。ここで、

を再び用いると、

が得られる。

(ii),(iii)についても同様に計算を行うと、

が得られる。

次に、より一般的な場合について計算する。

について特性方程式を用いると、

となる。 よって、上の式は、

となる。

を用いると、

が得られる。 実際、

の結果を代入すると、

が得られ、上の結果と一致する。

  • 問題例
    • 問題

(i)

(ii)

について

を計算せよ。 ただし、

(は、任意の実数。 )
    • 解答

漸化式の右辺が通常の数でないときには、それぞれ異なった手法で計算を進める必要がある。このような場合の一般的な計算は指導要領の範囲を超えるため、限られた場合について例を示すことにする。

(i)の場合については、右辺のについて、

とした

を引くことで右辺が定数に等しくなることに注意する。このとき、実際に引き算した値を計算すると、

が得られる。ただし、

とおいた。この式は、先ほど一般的に計算した式と等しいため、簡単に

を計算できる。ただし、今回は初期値であるの値が求められていないので、まずはを計算しなくてはならない。ここで、

となり、が求められた、この値を数列bnの初項として上のに関する漸化式を解くと、

が得られる。ここで、

は数列の階差数列に等しい。よって、

が得られる。この和を計算すると、

が得られる。

答え、

(ⅱ)

左辺は既に見た漸化式と同じ形であるが右辺に(aは実数)が加わった点が異なる場合である。この場合にはまず最初に両辺をで割るとよい。 このとき、上の式は

となる。更にの置き換えをすると、漸化式

が得られるがこれは既に扱った漸化式である。この式は

となり

が得られる。を用いると が得られるので、これを用いて

が得られるが、この式からは、

となる。

数学的帰納法[編集]

自然数 1, 2, 3, 4, 5, ... は無限に存在するので、任意の自然数に関して成り立つ命題を証明するときに1つ1つの自然数を列挙していくことは不可能である。そこで、ここでは任意の自然数に関して成り立つ命題を有限の手順で証明する方法を考える。

ある命題 P がすべての自然数に関して成り立つことを証明するには、次の2つの事柄を示せばよい。

  1. 任意の自然数 nP が成り立つならば、n + 1 でも P が成り立つ。
  2. n = 1 で P が成り立つ。

これらの条件が成り立つとき、P はすべての自然数に対して真である。

1. はある自然数 n について命題 P が真であるとき、次の自然数 n + 1 についても命題 P が真であるという条件である。2. は n = 1 について P が真であるという条件である。

2. の条件より n = 1 について P は真であるから、1. の条件より n + 1 = 1 + 1 = 2 についても P は真である。これより n = 2 について P は真であるから、n + 1 = 2 + 1 = 3 についても P が真であることがいえ、以下同様にすべての自然数に対して P は真であると結論できる。

このような証明法を数学的帰納法(すうがくてききのうほう、mathematical induction)という。

数学的帰納法はしばしばドミノ倒しにたとえられる。すなわち「前のドミノが倒れたとき、後ろのドミノが倒れる」という規則と、「最初のドミノが倒れる」という前提があれば、「すべてのドミノが倒れる」と結論することができる。

与えられた式が n = k について成り立つとき、n = k + 1 でも成り立つことを示すには、与えられた式に k を代入した式が真であると仮定し、それを用いて k + 1 を代入した式をもとの証明すべき式に帰着できることを示せばよい。

(例)

数学的帰納法を用いて

を導出する。まずn=1のとき、

(lhsは左辺の意味。) ,そして

(rhsは右辺の意味。) となり、確かに正しいことが分かる。次にn = lのときこのことが正しいと仮定する。このとき、

となり、n = l+1 のときにも、この式が正しいことが示された。よって数学的帰納法より、この式は1以上の全てのnについて成立する。