次の不定積分を計算せよ。
![{\displaystyle \int \left({\frac {x+2}{x}}\right)^{2}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777e8586d0cd3ddcc0191ffc84b12892eeefd884)
![{\displaystyle \int \left({\sqrt {x}}+1\right)\left({\sqrt {x}}-2\right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ec201aaeea7cb75b5fa9d0c1c2985fe6d1b2a23)
![{\displaystyle \int \left({\sqrt {2x}}+3\right)^{2}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0f7b76b3d85b1ea47dd4652ecf9d9dae21d33e)
![{\displaystyle \int {\frac {x-\cos ^{2}x}{x\cos ^{2}x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3062b11aa4d049b5a8e4c828520ed0652bc5a7fb)
![{\displaystyle \int \left(\tan ^{2}x+{\frac {1}{\tan ^{2}x}}\right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf02c901032659779f28d0472b3b0b7c450f189)
![{\displaystyle \int \left(e^{x}+{\frac {1}{x}}\right)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11df1d9c2befc652b662b0652ab21c3e5cb71137)
![{\displaystyle \int 3^{x+2}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bc4a6fdc2f7bdcc93191fb337d184aedb57bda)
![{\displaystyle \int (x+2)(x^{2}+4x+1)^{3}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f49a3ca723d1963b84137b6a956e165ca189a1)
![{\displaystyle \int {\frac {x+1}{(3x-1)^{3}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/230172b48d25089f0455faf3a2107870f95b959e)
![{\displaystyle \int \cos ^{3}x\cdot \sin ^{2}xdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33c3714e5436ab4f6d52b56bfbfc1e57e3f9d8d)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{(1+\tan x)\cos ^{2}x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e2e311bd718f93fbc7b86533d5991158d6e863)
![{\displaystyle \int (2x+1)e^{x^{2}+x+5}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbbb449323183c3637580e908b132bd4220cc5ce)
![{\displaystyle \int {\frac {e^{4x}}{e^{2x}+1}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c16109c40a82608631a89d3a5e7176838aae13)
![{\displaystyle \int x{\sqrt {1-x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f98745abf2e66c9880c4685df4bf4d9dd5d9862)
![{\displaystyle \int {\frac {3x-1}{\sqrt {x+1}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505ef9a9809f1a96b059aa49c9a29e8d7b8e8c4b)
![{\displaystyle \int {\frac {x}{(x^{2}+4)^{2}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8483b5bac769a51c33e9e1d337d045914d8f0d)
![{\displaystyle \int {\frac {x^{2}+1}{x^{4}-5x^{2}+4}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84ec38beb4478a5f7ae6ee13fdc340c028a36659)
![{\displaystyle \int {\frac {3x+2}{x(x+1)^{3}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87693720b2b90368df8a071e381167a51200fae5)
![{\displaystyle \int {\frac {x}{{\sqrt[{3}]{x+1}}-1}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a278d052b4443a3cda8d6a03eb229892e285300)
![{\displaystyle \int {\frac {\cos x}{\sin x(\sin x+1)}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a768e9eb4399e535b8457e688ffdc6a35bd61108)
![{\displaystyle \int \left(\tan x+{\frac {1}{\tan x}}\right)^{2}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295ac5fb14a1ce8864852bf557ddfbefc7d9ac5e)
![{\displaystyle \int \tan ^{4}xdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e36f7bc3baf2cef4b1b561d1894a7a7e168430c9)
![{\displaystyle \int {\frac {\sin 2x}{1+\sin x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4a50d2e8c3807c18fba4580f7b2580b4233f2d)
![{\displaystyle \int {\frac {x}{1-\cos x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdae7de6afd1c03ecd10dec26da7a18948d1338)
![{\displaystyle \int {\frac {1}{1-\sin x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4466fa8956838c22e06dc1ab5878955888a305d)
![{\displaystyle \int {\frac {\sqrt {x}}{{\sqrt[{4}]{x^{3}}}+1}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da9c71a7ea90ffa8053707ca4f1ab04342c6777)
![{\displaystyle \int \log(x^{2}-1)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169243f92effcc23493f035f2d81d80f3fee49e8)
![{\displaystyle \int {\frac {e^{3x}}{e^{x}-1}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7245f13c89f255784716d6df102f0c1896448f)
![{\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{e^{x}-e^{-x}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325e8e9bd4c3323b1df155dec83b6665096466c9)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{3x^{2}-4x-2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db73ecf449afdb275f6b6ce1ba0583db2aba500c)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {2x^{2}-4x+3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f574c3ebe8e8d72a317cc05a58d0a7b396cfec0)
![{\displaystyle \int {\frac {\tan x}{\cos ^{3}x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c24535b93818c154b2ce063a05646e75fed531)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55dba05e2fcc752493371c05a0f148e96e6f17b3)
![{\displaystyle \int x\tan ^{2}xdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed21e95d5fd71235232d2b5dedc0a8b1c9ec13e2)
![{\displaystyle \int e^{x}\cos xdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc9302aca16676cbb6dde20d2def8476423eac9)
![{\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-x-1}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022d7a6609d4c7ca20a311f9630e89d5cdbe37be)
![{\displaystyle \int \sin 2x\cdot \cos 3xdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3d54a6ea200019a75155b623758f5164877c55)
![{\displaystyle \int \left(\sin x+{\frac {1}{\sin x}}\right)^{2}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3020973617f8a54b7ece87143ca630444a33665e)
![{\displaystyle \int {\frac {1+\cos ^{3}x}{\cos ^{2}x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659302ff65cc95cc13cfda4a96f4c810a2dfc6ed)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\sin x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d195a0f3f6fe92957dc098405867eb77db06c29)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{e^{x}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e34a9366ec807266bb63e20fafebcab82fdeab)
![{\displaystyle \int \left(\log x\right)^{2}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac0e3b925205a322b6b330958c9017af7e0b34e9)
![{\displaystyle \int {\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b79272164297bfca5dfb76f190d6805d9f50eb)
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x{\sqrt {2x-x^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6c7393ee2ec8e297be65f52a38ccc93b4da42e)
以下の解答においては、問iにおいて計算すべき積分をIiとおくことにする。
とおくと
なので、
別解
と置く。
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと、
なので、
とおくと、
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
分子分母に
を掛けて、
とおくと
なので、
について補足
- 2行目から3行目への変形では、
であることに注意せよ。
- 3行目から4行目への変形では、
であることに注意せよ。
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
別解
なので、
とすると
なので、
別解
と置く。…①
…②
①②より、
…③
②をtで微分すると、
…④
②③④より
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、
とおくと
なので、