高等学校数学III/積分法

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高等学校数学III > 積分法


本項は高等学校数学IIIの積分法の解説です。

積分法[編集]

不定積分と定積分[編集]

積分とその基本的な性質[編集]

積分法について

(aは定数)

が成り立つ。


導出

の両辺を微分すると、

左辺 =右辺 =

が従う。

よって、

の両辺は一致する。

(実際には2つの関数の導関数が一致するとき、 それらの関数には定数だけのちがいがある。

仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。

このとき、

となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。

よって、両辺を積分すると、

となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。

よって、

は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。)

についても両辺を微分すると、

左辺=右辺= a f(x)

が従う。

よって、

が成り立つことが分る。

簡単な置換積分法・部分積分法[編集]

置換積分法[編集]

関数の原始関数を求める手段として、 積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。 これを置換積分と呼ぶ。


導出

について微分すると、

再びについて積分すると、


また、特に


例えば、を考える。

と置く。

この両辺を微分すると が成り立つことを考慮すると、

となることがわかる。

実際この式をxで微分すると と一致することが分る。

置換積分を使わずに計算することも出来る。

(と置き換えた。)

となり確かに一致する。


部分積分法[編集]

関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを 取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。


導出

についてf'gを左辺に移項する。

このとき

が得られるが、この両辺をxで積分すると、

が得られる。これは、

と等しい。


例えば、


いろいろな関数の積分[編集]

多項式関数の積分[編集]

のとき、なので、

のとき、なので、

が成り立つ。

三角関数の積分[編集]

が成り立つことを考慮すると、

となることが分る。

は、置換積分法を使って

指数・対数関数の積分[編集]

指数関数について が成り立つことを用いると、 が得られる。

また、の 原始関数も求めることが出来る。

となる。


  • 問題例
    • 問題

次の不定積分を求めよ。

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)


  • 解答
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)

定積分[編集]

積分の応用[編集]

面積,体積[編集]

面積[編集]

ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。 このことを用いて ある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。

x^2の0から1までの積分

例えば、 は、放物線について の範囲でかこまれる面積に等しい。

楕円の面積

楕円の面積の導出

楕円について解くと

となる。そのうちは半楕円(楕円の上半分)を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積Sとなるので

となる。

体積[編集]
回転体の体積[編集]

y= f(x) で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる 立体の体積Sは、 で与えられる。 (a,bは積分範囲を定める定数。)

導出

立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると(hは小さな 定数)、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円 ではさまれた立体となる。 しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で 近似できる。 よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は となる。 これを満たす全てのcについて足し合わせると、 が得られる。

例えば、 をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、

図形の絵?

となる。

球の体積

球の体積の導出

半径rの球は半円x軸の周りに回転させてつくることができる。

また体積をrで微分すると球の表面積が得られる。

区分求積法[編集]

これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。

面積計算

右図のようなある曲線がある。単純のため、ここではつねにであるものとして考える。この曲線と、x軸、および直線によって囲まれる領域の面積Sを求める。この面積は#面積の項で学んだように、

と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。

曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積Sに近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[a,b]をn等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後での極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、区分求積法と呼ぶ。

棒グラフによる近似さらに細かな棒グラフによる近似
左側で近似
右側で近似

を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。

ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]をn等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、

となる。ここで、一般に第k番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第n-1番目とする。第k番目の長方形の左端のx座標はであるから、この長方形の高さはとなり、また長方形の幅はである。そのため、この長方形の面積は、

となる。したがって、これらの長方形の面積の総和は、

このは、区間[0, 1]をn等分した時の長方形の面積の総和であるが、nを大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、の極限を考え、

となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、

が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして

となる。

演習問題[編集]