初等物理学公式集

以下に、日本の物理学教育において大学入学程度の水準までで用いられる、主な公式をジャンルごとに分けて記しておく。

古典力学

速度・加速度

• 速度
  • 距離 x (m) を経過時間 t (s) で等速直線運動する物体の速さ v (m/s)

  $v=\frac{x}{t}$

  • 時刻 t (s) における変位 x (m) の物体の平均の速さ $\overline{v}$ (m/s)

  $\overline{v}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$

  • 時刻 t (s) における変位 x (m) の物体の瞬間の速さ $v$ (m/s)

  $v=\frac{dx}{dt}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{t_2\to t_1}{lim}\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}$

  • Aに対するBの相対速度

  $\overrightarrow{v_{AB}}=\overrightarrow{v_B}-\overrightarrow{v_A}$

• 加速度
  • 経過時間 $\mathrm{\Delta }t$ (s) の間の速度の変化 $\mathrm{\Delta }v$ (m/s) の物体の平均の加速度 $\overline{a}$ (m/s²)

  $\overline{a}=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$

  • 経過時間 $\mathrm{\Delta }t$ (s) の間の速度の変化 $\mathrm{\Delta }v$ (m/s) の物体の瞬間の加速度 $a$ (m/s²)

  $a=\frac{dv}{dt}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{t_2\to t_1}{lim}\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$

• 等加速度直線運動
  • 初期位置 0 (m)から一定の加速度 a (m/s²) で加速する初速度 v₀ (m/s) の物体の時刻 t (s) における速度 v (m/s) と変位 x (m)

  $v=\int adt=v_0+at$

  $x=\int vdt=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

  $v^2-v_0^2=2ax$

• 仰角$\theta$、初速度$v_0$の斜方投射の軌跡の方程式

  $y=\tan \theta \cdot x-\frac{g}{(v_0\cos \theta {)}^2}{x}^2$

運動の法則

• $\sum _i\overrightarrow{F_i}=\overrightarrow{0}$（力の釣り合い）
• $\sum _i\overrightarrow{F_i}=\overrightarrow{0}⟺\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$（慣性の法則、運動の第一法則）
• $\overrightarrow{a}=k\frac{\overrightarrow{F}}{m}$（運動の法則、運動の第二法則）
• $m\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F}$（運動方程式）
• $\overrightarrow{F}+\overrightarrow{F^{\prime }}=\overrightarrow{0}$（作用・反作用の法則、運動の第三法則）

摩擦力

• 静止摩擦係数 $\mu$、垂直抗力 N の物体にはたらく最大静止摩擦力 F_max

$F_{𝐦𝐚𝐱}=\mu N$

• 動摩擦係数 ${\mu }^{\prime }$、垂直抗力 N の物体にはたらく動摩擦力 $F^{\prime }$

$F^{\prime }={\mu }^{\prime }N$

• 摩擦角 $\theta$ のときの静止摩擦係数 $\mu$

$\mu =\tan \theta$

浮力

• 大気圧をp₀として密度ρの水中で深さhの位置にある物体が受ける水圧

  $p=p_0+\rho gh$

• 体積Vの物体が密度ρの水中で受ける浮力

  $F=\rho Vg$（アルキメデスの原理）

コリオリの力

• 速度 $\overrightarrow{v}$、角速度 $\omega$ で回転運動する質量 m の物体にはたらくコリオリの力 $\overrightarrow{F}$

$\overrightarrow{F}=2m\overrightarrow{v}\omega$

剛体

• $M=|\overrightarrow{F}|l$（力のモーメント）
• $(x_G,y_G,z_G)=(\sum _k\frac{m_k{x}_k}{x_k},\sum _k\frac{m_k{y}_k}{y_k},\sum _k\frac{m_k{z}_k}{z_k})$（重心）
• $\sum _i\overrightarrow{F_i}=\overrightarrow{0}\wedge \sum _i{M}_i=0$（剛体が静止する条件）

ケプラーの法則

• 同一惑星の焦点からの距離 r₁, r₂、接線速度 $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}$

$\frac{1}{2}{r}_1{v}_1\sin {\theta }_1=\frac{1}{2}{r}_2{v}_2\sin {\theta }_2$（第二法則、面積速度一定の法則）

• 惑星の公転周期 T、長半径 a

$T^2=k{a}^3\iff \frac{T^2}{a^3}=k$（第三法則、調和の法則）

万有引力の法則

• 質量 M, m、距離 r の物体間にはたらく万有引力 F

$F=G\frac{Mm}{r^2}$（G は万有引力定数）

• 重力場

$\{\begin{array}{ccc}g& =& G\frac{m}{r^2}\\ F& =& mg\end{array}$

• 重力質量と慣性質量の等価性

$a=g$

• 落下

$\{\begin{array}{ccc}x& =& v_{x0}t+x_0\\ y& =& \frac{1}{2}g{t}^2+v_{y0}t+y_0\end{array}$

$v=gt+v_0$

• 空気抵抗の比例定数をkとしたときの終端速度

  $v_f=\frac{mg}{k}$

• 位置エネルギー

$E_{\varphi }=-\frac{GMm}{r}$

• 第一宇宙速度

7.91 km/s

• 第二宇宙速度

11.2 km/s

• 第三宇宙速度

16.7 km/s

等速円運動

• $\{\begin{array}{c}x=r\cos \omega t\\ y=r\sin \omega t\end{array}$
• $v=r\omega$
• $a=r{\omega }^2$
• $T=\frac{2\pi }{\omega }$（周期）
• $F=-kx$（弾性力）
• $E=\frac{1}{2}k{x}^2$（弾性エネルギー）
• $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$（単振動の角速度）
• $f=\frac{1}{T}$（単振動の振動数）
• $x=A\sin \omega t$（単振動の変位）
• $\omega \simeq \sqrt{\frac{g}{l}}$（単振り子の角速度）
• $\overrightarrow{F}=-m{\omega }^2\overrightarrow{x}$（復元力）
• 角速度 $\omega$ で回転運動する質量 m の物体が回転の中心から $\overrightarrow{r}$ の位置にあるときの遠心力 $\overrightarrow{F}$

$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{r}{\omega }^2$

力学的保存量

• $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$(運動量)
• $m\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}=\overrightarrow{f}\mathrm{\Delta }t$（力積）
• $\sum _i\frac{m_i\overrightarrow{v_i}}{dt}=0$（運動量保存）
• $E_v=\frac{1}{2}m|\overrightarrow{v}{|}^2$（運動エネルギー）
• $\sum _i\frac{E_{vi}+E_{\varphi i}}{dt}=0$（力学的エネルギー保存則）
• $e=-\frac{v{\text{'}}_1-v{\text{'}}_2}{v_1-v_2}$（反撥係数）
• $W=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{x}=|\overrightarrow{F}||\overrightarrow{x}|\cos \theta$（仕事）
• $P=\frac{dW}{dt}$（仕事率、ワット）
• $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=\overrightarrow{f}\mathrm{\Delta }t$（運動量の原理）
• $\mathrm{\Delta }E=W$（エネルギーの原理）

熱力学

熱力学

• 絶対温度

$T=t+273$

• 線膨張

$L_t=L_0(1+\alpha t)$（$L_0$は0℃での長さ、$\alpha$は線膨張率）

• 体膨張

$V_t=V_0(1+\beta t)$（$V_0$は0℃での体積、$\beta$は体膨張率）

• 熱膨張の関係式

$|\mathrm{\Delta }t|$があまり大きくないとき$\beta =3\alpha$

以下、理想気体の場合を想定する。

• 気体の圧力

$P=\frac{F}{S}$

• 気体の仕事

$E=P\mathrm{\Delta }V$

• アボガドロ数

$N_0=6.02214076\times 10^{23}$

• 気体定数

$R=8.31$kJ/(mol・K)

• ボルツマン定数

$k=\frac{R}{N_0}=1.38\times 10^{-23}$J/K

• 気体の状態方程式

$PV=nRT$

• 単原子分子理想気体の内部エネルギー

$U=\frac{3}{2}nRT$

• 分圧と全圧の関係式

$P=\sum _i{P}_i=\sum _i\frac{n_{i}RT}{V}$

気体分子運動論

• N個の分子の衝突で生じる圧力

$p=\frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$

• 運動エネルギーと熱エネルギー

$\frac{1}{2}m\overline{v^2}=\frac{3}{2}kT$

• 分子の二乗平均速度

$\overline{v^2}=\frac{3RT}{N_{A}m}$

熱量と熱機関

• 比熱

$Q=mc\mathrm{\Delta }T$

• 熱容量

$C=mc$

• 比熱比

$\gamma =\frac{C_p}{C_V}$

• 気体のモル比熱

$\frac{dQ}{ndT}=C$

• 熱エネルギー保存

$\mathrm{\Delta }Q=\mathrm{\Delta }U+\mathrm{\Delta }W$

• 定圧モル比熱と定積モル比熱の差

$C_P-C_V=R$（マイヤーの関係式）

• 変換熱量とP-V図の面積

$\mathrm{\Delta }Q=\int \mathrm{\Delta }P(V)dV$

• 閉じた系の内部エネルギー変化

$\mathrm{\Delta }U=\mathrm{\Delta }Q-\mathrm{\Delta }W$（熱力学第一法則）

• ポアソンの法則

$p{V}^{\gamma }=const.$

$T{V}^{\gamma -1}=const.$

• 熱効率

$\eta =\frac{W}{Q}=\frac{Q_{in}-Q_{out}}{Q_{in}}$

• 熱力学第二法則

$\eta <1$

波動力学

• 横波: 振動方向と進行方向が直交
• 縦波: 振動方向と進行方向が同じ

• 波形の公式

$y=A\sin \{2\pi (\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda })+\varphi \}$

• 振動数を f (Hz)、周期を T (s) とすると:

$f=\frac{1}{T}$

• 振動数 f (Hz)、波長 λ (m) のときの波の速さ v (m/s)

$v=f\lambda =\frac{\lambda }{T}$

• 重ね合わせの原理

$Y=y_1+y_2$

• 干渉による強め合い

$|l_1-l_2|=m\lambda$

• 干渉による弱め合い

$|l_1-l_2|=(m+\frac{1}{2})\lambda$

• 入射角を i (rad)、入射波の速さと波長を v_i (m/s)、λ_i (m)、屈折角を r (rad)、屈折波の速さと波長を v_r (m/s)、λ_r (m) としたときの屈折率 n

$\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_i}{v_r}=\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_r}=n$（スネルの法則、屈折の法則）

• 波の速さ V (m/s)、観測者の速さ v_o (m/s) (近づくとき正)、音源の速さ v_s (m/s) (近づくとき正)、元の周波数 f (Hz) としたときに観測される周波数 f' (Hz)

$f^{\prime }=\frac{V-v_o}{V-v_s}f$

音の場合

• 無風での音速

$v_t=331.5+0.6t$

• うなり振動数

$f=\left|\begin{array}{c}{f}_1-f_2\end{array}\right|$

• 弦、両閉、両開気柱の振動

${\lambda }_n=\frac{2l}{n}$

• 片開気柱の振動

${\lambda }_n=\frac{4l}{2n-1}$

• 弦の振動周波数

$f\propto \sqrt{\frac{F}{\rho }}$

• 固有振動

$f_m=\frac{v}{{\lambda }_m}=\frac{mv}{2L}$

• 弦を伝わる波

$v=\sqrt{\frac{|\overrightarrow{S}|}{\rho }}$（$\overrightarrow{S}$は弦の張力、$\rho$は弦の線密度）

• ドップラー効果

$f^{\prime }=\frac{|\overrightarrow{V}+\overrightarrow{w}-\overrightarrow{v_o}|}{|\overrightarrow{V}+\overrightarrow{w}-\overrightarrow{v_s}|}f$（$\overrightarrow{V}$は音波の速度、$\overrightarrow{w}$は風の速度、$\overrightarrow{v_o}$は観測者の速度、$\overrightarrow{v_s}$は音源の速度）

光の場合

• 真空中の光速（定義値）

$c=299792458\mathrm{m}/\mathrm{s}\mathrm{\approx }\mathrm{3.0}\mathrm{\times }\mathrm{1}{\mathrm{0}}^{\mathrm{8}}\mathrm{m}/\mathrm{s}$

• 絶対屈折率

$n=\frac{c}{v}$

• 全反射の条件

$\sin {\theta }_c>n_{12}$

• 光路長

$L=nl$

• 強めあう回折条件(波長ズレなし)

$d\sin \theta =m\lambda$

• 弱めあう回折条件(波長ズレなし)

$d\sin \theta =(m+\frac{1}{2})\lambda$

• レンズと鏡

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$（写像公式）

$m=|\frac{b}{a}|$（倍率）

電気回路

• 電流の強さ I (A)、電圧 V (V)、抵抗 R (Ω)

  $I=\frac{V}{R}\iff V=RI\iff R=\frac{V}{I}$（オームの法則）

• $\{\begin{array}{c}\sum _i{I}_i=0\\ \sum _i{V}_i=0\end{array}$（キルヒホッフの法則）
• 電気抵抗
• ${\rho }_t={\rho }_0(1+\alpha t)$（抵抗率の温度変化）
• $R=\rho \frac{l}{S}$（形状と抵抗値）
• $R=\sum _i{R}_i$（直列接続の合成則）
• $\frac{1}{R}=\sum _i\frac{1}{R_i}$（並列接続の合成則）
• $R_1{R}_4=R_2{R}_3\iff \frac{R_1}{R_3}V=\frac{R_2}{R_4}V$（ホイートストンブリッジの平衡条件）
• $P=I^{2}R=VI=\frac{V^2}{R}$（消費電力）
• $E=Pt=VIt$（ジュールの法則）

コンデンサ

• $Q=CV$（コンデンサの電気容量）
• $W=\frac{1}{2}C{V}^2$(コンデンサのエネルギー)
• $\sum _i{Q}_i=\sum _{i}Q{\text{'}}_i$（電気量保存則）
• $C_0={\epsilon }_0\frac{S}{d}$（真空における平行平板コンデンサの容量）
• ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}$F/m（真空の誘電率）
• ${\epsilon }_r=\frac{C}{C_0}=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}$（比誘電率）
• $C=\epsilon \frac{S}{d}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{S}{d}$（誘電率εの絶縁体で満たされた平行平板コンデンサの容量）
• $\frac{1}{C}=\sum _i\frac{1}{C_i}$（直列接続の合成則）
• $C=\sum _i{C}_i$（並列接続の合成則）
• $P=0$（コンデンサの消費電力）

コイル

• $U=\frac{1}{2}L{I}^2$（コイルのエネルギー）
• $L=\sum _i{L}_i$（直列接続の合成則）
• $\frac{1}{L}=\sum _i\frac{1}{L_i}$（並列接続の合成則）
• $P=0$（コイルの消費電力）
• $V_L=-L\frac{dI}{dt}$（自己誘導）
• $V_M=-M\frac{dI}{dt}$（相互誘導）

交流回路

• $V(t)=V_{max}\sin \omega t$（交流波形）
• $V_e=\frac{1}{\sqrt{2}}{V}_{max}$（実効電圧）
• $I_e=\frac{1}{\sqrt{2}}{I}_{max}$（実効電流）
• $R_C=\frac{1}{\omega C}$（容量リアクタンス）
• $R_L=\omega L$（誘導リアクタンス）
• $Z=\sqrt{R^2+{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^2}$（直列合成インピーダンス）
• $Z=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{R^2}+(\omega C-\frac{1}{\omega L}{)}^2}}$（並列合成インピーダンス）
• $\overline{P}=R{I}_e^2=I_e{V}_e\cos \varphi$（力率）
• $\bar{V}=Z\bar{I}$
• $V_2=\frac{n_2}{n_1}{V}_1$（変圧トランス）
• $I_2=\frac{n_1}{n_2}{I}_1$
• $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$（LC回路の共振条件）

電磁気学

静電気・電界（電場）

• 電気量 q₁ (C) と q₂ (C) の点電荷間の距離を r (m)、誘電率を ε (F/m) とするときに働く静電気力 F (N)

  $F=\frac{1}{4\pi \epsilon }\frac{q_1{q}_2}{r^2}$（クーロンの法則）

  $k=\frac{1}{4\pi \epsilon }$（クーロンの法則の比例定数）

• 電場

$E=k_0\frac{q}{r^2}$

$\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$

• 真空で表面積 S、総電荷 Q の閉曲面を貫く電気力線の本数 N

$N=ES=4\pi k_{0}Q=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$（ガウスの法則）

• 一様な電場で生じる電位

$V=Ed$

• 電気的位置エネルギー

$W_{\varphi }=qV$

• 電流と電荷の関係

$I=\frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }t}$

磁界（磁場）

• $F=k{\text{'}}_0\frac{m_1{m}_2}{r^2}=\frac{1}{4\pi {\mu }_0}\frac{m_1{m}_2}{r^2}$（磁気のクーロンの法則）
• $\{\begin{array}{ccc}H& =& k_0\frac{m}{r^2}\\ F& =& mH\end{array}$（磁場）
• $\overrightarrow{H}=\frac{\overrightarrow{I}\times \overrightarrow{r}}{2\pi r}$（線電流の作る磁場）
• $H=\frac{I}{2r}$（円電流の作る磁場）
• $H=nI$（ソレノイドの作る磁場）
• $\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}={\mu }_0{\mu }_r\overrightarrow{H}$（磁束密度）
• $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=q|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{B}|\sin \theta$（ローレンツ力）
• $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{I}\times \overrightarrow{B}l=l|\overrightarrow{I}||\overrightarrow{B}|\sin \theta$（フレミングの法則、アンペール力）

電磁誘導

• $\mathrm{\Phi }=|\overrightarrow{B}|S$（磁束）
• $V=-n\frac{d\mathrm{\Phi }}{dt}$（ファラデーの電磁誘導の法則）
• $\overrightarrow{V}=l\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}=l|\overrightarrow{B}||\overrightarrow{v}|\sin \theta$（誘導起電力）

量子力学

• 比電荷

$\frac{e}{m}=1.76\times 10^{11}$C/kg

• 電気素量

$e=1.60\times 10^{-19}$

• 電子の質量

$m=9.11\times 10^{-31}$

• 電子ボルト（エレクトロンボルト）

$1[\mathrm{e}\mathrm{V}]=1.60\times 10^{-19}[\mathrm{J}]$

• 統一原子質量単位

$1[\mathrm{u}]=1[\mathrm{D}\mathrm{a}]=1.66054\times 10^{-27}[\mathrm{k}\mathrm{g}]$

• プランク定数

$h=6.63\times 10^{-34}$ J・s

• プランク定数 h、位置の不確かさ $\mathrm{\Delta }x$、運動量の不確かさ $\mathrm{\Delta }p$

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$（不確定性原理）

• $E_0=\mathrm{\Delta }m{c}^2$（質量エネルギー）

原子核物理学

• $E=h\nu -W_0$（光電効果）
• $E=h\nu$（光子のエネルギー）
• $p=\frac{h}{\lambda }=\frac{h\nu }{c}$（光子の運動量）
• $\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}$ （ド・ブロイ波長）
• ${\lambda }_0=\frac{hc}{eV}$（X線の最短波長）
• $2d\sin \theta =n\lambda$（ブラッグの条件）
• $2\pi r=n\lambda$（量子条件）
• $\mathrm{\Delta }{E}_n=h\nu$（振動数条件）
• $r_n=\frac{h^2}{4{\pi }^2{k}_{0}m{e}^2}{n}^2$（電子軌道半径）
• $a_0=r_1=5.3\times 10^{-11}$（ボーア半径）
• $E_n=-\frac{2{\pi }^2{k}_0^{2}m{e}^4}{h^2}\frac{1}{n^2}=-\frac{Rch}{n^2}$（エネルギー準位）
• $\frac{1}{\lambda }=R(\frac{1}{n{\text{'}}^2}-\frac{1}{n^2})$（線スペクトル）
• $R=\frac{2{\pi }^2{k}_0^{2}m{e}^4}{h^{3}c}=1.097\times 10^7$[/m]（リュードベリ定数）

• α崩壊: ヘリウム核（陽子2、中性子2）を放出
• β⁻崩壊: 中性子が陽子と電子に崩壊し電子を放出
• γ崩壊: きわめてエネルギーの高い光子を放出
• 核分裂: 原子核が二個以上の部分に分解しエネルギーを放出
• 核融合: 二個軽い原子核が融合しエネルギーを放出
• 半減期:原子核の半減期をT、時刻tでの崩壊していない原子核の個数をN、初めに存在した原子核の個数を$N_0$とすると、

  $N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$

• 電磁気力 $:$ 強い力 $:$ 弱い力 $:$ 重力$=1:10^2:10^{-3}:10^{-36}$（基本相互作用の相対的強さ）