高等学校 物理基礎/物理のための数学

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　ここでは「物理基礎」や「物理」を理解するために必要な算数・数学の知識をまとめています。「物理基礎」「物理」の学習者は必ず全員マスターしてください。

割合・比

物理では、小学校で習得した割合や比から避けて通れません。教科書を見たら、結構な確率で使用されているのが分かります。割合や比を知らずに物理基礎や物理を習得するのは出来ません。

例えば、●●度とかは割合、●●量とかは比だと思っておきましょう。

数と式

計算

分数

• 分数の意味:

  ${\frac {a}{b}}=a\div b=a\times {\frac {1}{b}}$.

• 分数の性質:

  ${\frac {a}{b}}$ならば分子と分母に同じ数cをかけて${\frac {ac}{bc}}$とできる.

• 約分:

  ${\frac {ac}{bc}}={\frac {a}{b}}$.

• 分数どうしの加法・減法(分母が同じ場合)

  ${\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{b}}={\frac {a\pm c}{b}}$.

• 分数どうしの加法・減法(分母がことなる場合)

  ${\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}$.

• 分数どうしの乗法・除法

  ${\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$.

  ${\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}$.

• 分数の分数

  ${{b \over a} \over \,{d \over c}\,}={b \over a}\div {d \over c}={b \over a}\times {c \over d}={b\times c \over a\times d}.$

比

• 比の性質

  $a:b$ならば$ac:bc$、 $a\div c:b\div c$(c≠0).

• 比例式

  $a:b=x:y$ならば$ac:bc=cx:cy$、 $a\div c:b\div c=x\div c:y\div c$(c≠0).

  $a:b=x:y$ならば$ay=bx$.

方程式

• 1次方程式 $ax+b=0$ の解の公式:

  $x=-{\frac {b}{a}}$

• 2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解の公式：

  $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

  • $ax^{2}+2bx+c=0$ の場合：

    $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-ac}}}{a}}$

平方根

• 根号を外す

  $\left({\sqrt {a}}\right)^{2}=a$

• 平方根の変形

  $a{\sqrt {b}}={\sqrt {a^{2}b}}$

• 有理化

  ${\frac {a}{\sqrt {b}}}={\frac {a{\sqrt {b}}}{b}}$

• 平方根の乗法

  ${\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {a\times b}}$

• 平方根の除法

  ${\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}={\sqrt {\frac {a}{b}}}$

展開公式

• 中学の復習
  • $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
  • $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$
  • $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
  • $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
  • $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
  • $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
• 高校数学I・数学IIの内容
  • $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
  • $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
  • $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$
  • $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$
  • $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

累乗と指数法則

物理の世界では大変に大きな数、 逆に非常に小さな数も扱います。例えば、 光の速さは約300000000m/s(秒速3億m。キロメートルとすれば秒速30万km)、 電子の質量は約0.00000000000000000000000000000091kgです。こうした数をそのまま扱うと書くだけでも手間がかかるうえに間違えるでしょう。まして、 これを使って計算する気にはなれません。

そこで、 位取りの0を$10^{n}$で表して簡単な形に書き換える方法を利用していきます。

累乗

a を b回 掛けた積を$a^{b}$と表し「aのb乗」と読む。なお、このときのbにあたる数を 指数 という。そして、 2乗を 平方、 3乗を 立方ともいいます。

指数法則

• $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$.
• $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$.
• $(a^{m})^{n}=a^{m\times n}$.
• $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$.
• $\left({\frac {a}{b}}\right)^{r}={\frac {a^{r}}{b^{r}}}$.

ゼロ乗とマイナス乗

特に$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$を利用すると次のように考えれます。

$a^{m}\div a^{m}=a^{m-m}=a^{0}$

もちろん同じ数同士の商は1なので

• $a^{0}=1$.

となる。

さらに$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$を使ってマイナス乗を考えてみましょう。

例えばm=1、 n=3を代入すると $a^{1}\div a^{3}=a^{1-3}={\frac {1}{a^{2}}}$となりますが、 先ほどの公式からは$a^{1}\div a^{3}=a^{1-3}=a^{-2}$ともいえる。

ここから

• $a^{-b}={\frac {1}{a^{b}}}$.

累乗根

$x^{n}=a$となるxを「aのn乗根」といい、$x={\sqrt[{n}]{a}}$と表します。

このとき、$a^{1}=({\sqrt[{n}]{a}})^{n}$なので${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$と表せそうですね。
実際、そのように表すものと定めると指数法則が有理数範囲でも成り立つことを証明できます。

(詳細な説明は高等学校数学II/指数関数・対数関数にあるので、 出来ればそちらも読んで下さい。)

数の表現

　上記を利用して大きな数を表現してみましょう。例えば、 10000は$10\times 10\times 10\times 10=10^{4}$と書けます。先ほどの光の速さも同様に表現すれば、$3.00\times 10^{8}$m/sとなり、そのまま書くよりも簡単に表現出来ます。

次に、 小さな数を表現してみよう。$1\div 10=10^{0}\div 10=a^{0-1}=a^{-1}={\frac {1}{10}}=0.1$であるから、 例えば$0.001=10^{-3}={\frac {1}{10^{3}}}$となります。こうすれば、 先ほどの電子の質量は$9.1\times 10^{-31}$kgと表現出来ます。

まとめると、 自然科学の世界では非常に大きな数や小さな数は$A\times 10^{n}$で表現します。

なお、 $1\leqq A<10$とするのが普通です。例えばアボガドロ定数$6.02\times 10^{23}$(/mol)は$60.2\times 10^{22}$(/mol)と書いても同じ値です。しかし「$1\leqq A<10$とするのが普通」ですから$6.02\times 10^{23}$の書き方を採用します。

近似値と有効数字

測定値と近似値

長さや距離をはかる時にはものさしや目盛り付き定規を使い、 温度をはかる時には温度計を使い、 力の大きさをはかるときにばねばかりを使います。これらはすべて目盛りを読むが、 このときの値が測定値である。測定値は正しい値に近いが、完全に正しい値というわけではありません。例えば私たちの使うものさしも微妙な歪みがあり、 かつ1ミリメートルまでしか計れないためそれより小さな値をはかれません。そのため厳密に言えば「正しい数値に近い数値」となります。こうした数値のことを近似値という。測定値は近似値です。また、 計算で得られた正しい値に近い値も近似値です。例えば、 3.14は${\frac {l}{2r}}=\pi$(lは円周、 rは半径)の近似値です。

有効数字

測定値の数値の最後の桁の数字は目分量で読むのが普通です。例えば、 12.3mmという値は12.25mm以上12.35mm未満の値とみなされます。この時の有効数字は3桁です。「有効数字n桁」と言われたら、 上からn+1桁の値まで計算してからその数を四捨五入します。例えば4.56789を有効数字3桁で表せという場合には、最初の4、 5、 6の3桁を正しい値とみなし、上から4桁目の7は四捨五入します。したがって、 4.57と表します。有効数字2桁なら4、 5のみを正しい値とみなして6は四捨五入して4.6と表します。

図形

物理基礎や物理では公式の証明に中学校数学で学んだ相似を使う場合があります。典型例が物理の円運動とかです。

関数

三角関数

加法定理・合成

加法定理 倍角公式 正弦合成・余弦合成

ベクトル

詳しい説明は高等学校数学C/ベクトルを読んでください。ここでは、必要最小限の説明に止めます。

ベクトルとは

速度や力は大きさだけでなく、方向・向きも持つ。また、平行四辺形の法則によって分解・合成できる。こうした量のことをベクトルという。なお、速さや質量や時間などは大きさしか持たない量であり、これはスカラーという。

ベクトルの書き方

ベクトルは${\vec {u}}$ のように、ベクトルを表すアルファベットの上に矢印を書く。ベクトル ${\vec {u}}$ の大きさは $|{\vec {u}}|$ で表すが、単に$u$とだけ書くこともある。

微分・積分

変化の割合

中学校数学で学びましたが、非常に大切です。加速度のベースの考え方となります。いわゆる傾きで、縦の変化÷横の変化で変化の割合が分かります。

発展：高校物理で使う大学数学の知識

逆三角関数

$\sin \theta =x$のとき、$\arcsin x=\theta$と書く。このarcsinを逆正弦関数という。 同様にしてarccos、arctanも定義される。三つを纏めて逆三角関数という。

逆三角関数の定義域は、値域が閉区間$[0,2\pi ],[-\pi ,\pi ]$のいずれかに収まるように定められる。

波動分野において角度を求める際に用いる場合がある。（通常、関数電卓を用いて計算する。）

積分区間に∞を含む定積分

積分計算では、$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx=1$（正規分布の確率密度関数）のように、積分区間の上端・下端のいずれかあるいは両方に∞を含む定積分を計算する場合がある。

高校物理では、不定積分が一次分数関数の場合のみ登場する。

例）

$\int _{\infty }^{r}-{\frac {1}{x^{2}}}dx=\lim _{r_{0}\to \infty }\int _{r_{0}}^{r}-{\frac {1}{x^{2}}}dx=\lim _{r_{0}\to \infty }[{\frac {1}{x}}]_{r_{0}}^{r}=\lim _{r_{0}\to \infty }({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{r_{0}}})={\frac {1}{r}}$

微分方程式

未知関数を含む方程式を関数方程式といい、そのうち微分形${\frac {d\circ }{d\bullet }}$が含まれるものを微分方程式という。

高校範囲では、二階までの変数分離型線形常微分方程式のみ登場する。大学物理ではより多様な微分方程式が至る所に登場する。

変数分離型常微分方程式の解法

${\frac {dy}{dx}}={\frac {f(x)}{g(y)}}$という微分方程式は、$g(y)\neq 0$が恒等的に成り立つならば形式的に$g(y)dy=f(x)dx$と変形できる。

※${\frac {dy}{dx}}$で一つの記号であり、本来は分解できないため形式的である。

両辺にインテグラルを付けると、$\int g(y)dy=\int f(x)dx$となり、微分方程式を満たす関数が求まる。

例）

二階線形常微分方程式${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=a$について、両辺を一回積分して${\frac {dx}{dt}}=at+v_{0}(=v)$を得る。もう一度両辺を積分すると、$x={\frac {1}{2}}at^{2}+v_{0}t+x_{0}$を得る。これは、等加速度直線運動の式である。

高校物理では建前上は微分積分を使わないことになっているので、${\frac {d\circ }{d\bullet }}$という微分形の記号は増分（微小量）の記号$\Delta$を用いて${\frac {\Delta \circ }{\Delta \bullet }}$と誤魔化されている。

高校物理で${\frac {\Delta \circ }{\Delta \bullet }}$という形が出てきたら、「大学では微分方程式として扱う」と思って良いだろう。

大学入試においては、総合型選抜試験において微積物理を求められる場合があるので、そのような場合は微分方程式の知識を活用しよう。