GNU Octave 2.1.x 日本語マニュアル/算術演算
19 算術演算 [編集]
以下の解説において特に注釈がない場合，この章で紹介するすべての関数は，実数型と複素数型のス カラおよび行列のいずれにも使用することが出来ます。
19.1 ユーティリティ関数 [編集]
ここで紹介する関数群は，複素数に対しても使用することができます。 各関数とも，1 つの引数を与 えるように作られています。 これらの関数群を，マッピング関数（mapping function）と呼びます。
この名称は，引数として行列を与えたとき，行列の各要素に対して同じ処理をすることに由来するも のです。
ceil (x)[編集]
[Mapping Function]
x よりも小さくない最小の整数を返します。 x が複素数のときは，ceil (real (x)) + ceil (imag (x)) * Iを返します。
exp (x)[編集]
[Mapping Function]
x の指数関数を計算します。 行列に対して指数行列を計算するには，Chapter 20 [Linear Algebra]の章を参照してください。
fix (x)[編集]
[Mapping Function]
x をゼロに向かって丸める。 x が複素数のときは，fix (real (x)) + fix (imag (x)) * I を返します。
floor (x)[編集]
[Mapping Function]
x よりも大きくない最大の整数を返します。 x が複素数のときは，floor (real (x)) + floor (imag (x)) * Iを返します。
g = gcd (a1, ...)[編集]
[Loadable Function]
[g, v1, ...] = gcd (a1, ...)[編集]
[Loadable Function]
引数をひとつだけ与えると，その最大公約数を返します。 2 つ以上の引数を指定するときは，それ らが同じサイズのベクトルもしくはスカラでなければなりません。 この場合，対応する要素につ いてそれぞれ最大公約数を計算します。 指定する各要素は，整数でなければなりません。 以下に例 を示す。
gcd ([15, 20]) ) 5 あるいは，以下のようにすることもできます。
gcd ([15, 9], [20 18]) ) 5 9 v1 のように返り値を追加すると，以下のような整数のベクトルを返します。
g = v1a1 + v2a2 + ￠ ￠ ￠ 以前のOctave における後方互換性を確保するため，全ての引数がスカラであるときには，単 一の返り値v1 にすべての値（v1, ...）を含めるようになっています。
lcm (x, ...)[編集]
[Mapping Function]
x あるいは指定した全引数について，その最小公倍数を計算します。 たとえば， lcm (a1, ..., ak) と lcm ([a1, ..., ak]). は同じ意味です。 全ての要素は同じ大きさであるか，スカラでなければなりません。
log (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，自然対数を計算します。 対数行列を計算するには，Chapter 20 [LinearAlgebra]の項を参照のこと。
log10 (x)[編集]
[Mapping Function]
x の常用対数（10 を底とする対数）を計算します。
log2 (x)[編集]
[Mapping Function]
[f, e] = log2 (x)[編集]
[Mapping Function]
x について，2 を底とする対数を計算します。 返り値を2 つ指定すると，1=2 <= jfj < 1 およ びx = f ￠ 2e を満たすf とe を返します。
max (x, y, dim)[編集]
[Mapping Function]
[w, iw] = max (x)[編集]
[Mapping Function]
引数としてベクトルを渡すと，その要素の最大値を返します。 行列を渡すと，各列ごとに最大値を 返すので，結果は行ベクトルとなります。 dim を指定すると，その次数を指定することができます。
2 つの行列（あるいは行列とスカラ）を渡すと，対で比較した結果を返します。 以下に例を挙げる。
max (max (x)) この結果は，x に含まれる要素の最大値を返します。
max (2:5, pi) ) 3.1416 3.1416 4.0000 5.0000 これは，2:5の範囲にある各要素とpiとを比較し，最大値を含む行ベクトルを返します。
引数に複素数を渡すと，要素の大きさで比較を行う。
1 つの入力に対して2 つの返り値を受け取るとき，max関数は，最大値に対応する要素の位置 も返します。 以下の例を参照されたい。
[x, ix] = max ([1, 3, 5, 2, 5]) ) x = 5 ix = 3
min (x, y, dim)[編集]
[Mapping Function]
[w, iw] = min (x)[編集]
[Mapping Function]
引数としてベクトルを渡すと，その要素の最小値を返します。 行列を渡すと，各列ごとに最小値を 返すので，結果は行ベクトルとなります。 dim を指定すると，その次数を指定することができます。 2 つの行列（あるいは行列とスカラ）を渡すと，対で比較した結果を返します。 以下に例を挙げる。
min (min (x))
この結果は，x に含まれる要素の最小値を返します。
min (2:5, pi) ) 2.0000 3.0000 3.1416 3.1416
これは，2:5の範囲にある各要素とpiとを比較し，最小値を含む行ベクトルを返します。 引数に複素数を渡すと，要素の大きさで比較を行う。 1つの入力に対して2つの返り値を受け取るとき，min関数は，最小値に対応する要素の位置も返します。 以下の例を参照してください。
[x, ix] = min ([1, 3, 0, 2, 5]) ) x = 0 ix = 3
mod (x, y)[編集]
[Mapping Function]
以下の計算式により，剰余（割り算の余り）を計算します。
x - y .* floor (x ./ y) 負の値を正しく扱うことに注意されたい。 つまり，mod (-1, 3)の結果は2 であり，-1 ではな い。 rem (-1, 3)の結果は-1 となります。 また，mod (x, 0)は，x を返します。
引数の次数が合わないとき，あるいは引数に複素数を指定したときはエラーメッセージを表示 します。
nextpow2 (x)[編集]
[Function File] x がスカラであれば，2n ， jxj. を満たす最初の整数n を返します。
x がベクトルであれば，nextpow2 (length (x))を返します。
pow2 (x)[編集]
[Mapping Function] pow2 (f, e) ==== [Mapping Function]
引数を1つだけ指定したときには，x の各要素について2x を計算します。 2つの引数に対して は，f ￠ 2e. を計算します。
rem (x, y)[編集]
[Mapping Function]
以下の式によって，x / yの余りを計算します。
x - y .* fix (x ./ y) 引数の次数が合わないとき，あるいは複素数が渡されたときにはエラーメッセージを表示します。
round (x)[編集]
[Mapping Function]
x に最も近い整数を返します。 x が複素数のときには，round (real (x)) + round (imag (x))
- Iを返します。
sign (x)[編集]
[Mapping Function]
符号関数（signum function）を計算します。 この関数は，以下のように定義されます。
sign(x) = 8<
1; x > 0; 0; x = 0; !1; x < 0. 複素数については，x ./ abs (x)を返します。
sqrt (x)[編集]
[Mapping Function]
x の正の平方根（ルート）を計算します。 x が負のとき，複素数を返します。 行列の平方根について は，Chapter 20 [Linear Algebra]を参照してください。
19.2 複素数演算[編集]
ここで紹介する関数群は，複素数に対しても使用することができます。 各関数とも，1 つの引数を与え るように作られています。 引数として行列を与えたとき，行列の各要素ごとに同じ処理をします。 以 降の解説において，z は複素数x + iy であり，i は虚数単位（ p !1）です。
abs (z)[編集]
[Mapping Function]
z の大きさを，jzj = p x2 + y2. から計算します。
以下に例を示す。
abs (3 + 4i) ) 5
conj (z)[編集]
[Mapping Function]
z の共役複素数￣z = x ! iy を返します。
imag (z)[編集]
[Mapping Function]
z の虚部を実数で返します。
real (z)[編集]
[Mapping Function]
z の実部を返します。
19.3 三角関数 [編集]
Octave では以下の三角関数を提供しています。 引数はラジアンで指定します。 角度（degree）をラ ジアンに変換するには，角度に?=180 を乗じてください（たとえば，sin (30 * pi/180)は，30 度 に対する正弦の値を返す）。
sin (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，正弦（サイン）を計算します。
cos (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，余弦（コサイン）を計算します。
tan (z)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，正接（タンジェント）を計算します。
sec (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，余割（セカント）を計算します。
csc (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，余割（コセカント）を計算します。
cot (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，余接（コタンジェント）を計算します。
asin (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆正弦（アークサイン）を計算します。
acos (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆余弦（アークコサイン）を計算します。
atan (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆正接（アークタンジェント）を計算します。
asec (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆正割（アークセカント）を計算します。
acsc (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆余割（アークコセカント）を計算します。
acot (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆余接（アークコタンジェント）を計算します。
sinh (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，双曲線正弦（ハイパボリックサイン）を計算します。
cosh (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，双曲線余弦（ハイパボリックコサイン）を計算します。
tanh (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，双曲線正接（ハイパボリックタンジェント）を計算します。
sech (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，双曲線正割（ハイパボリックセカント）を計算します。
csch (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，双曲線余割（ハイパボリックコセカント）を計算します。
coth (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆双曲線余接（逆ハイパボリックコタンジェント）を計算します。
asinh (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆双曲線正弦（逆ハイパボリックサイン）を計算します。
acosh (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆双曲線正接（逆ハイパボリックコサイン）を計算します。
atanh (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆双曲線正接（逆ハイパボリックタンジェント）を計算します。
asech (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆双曲線正割（逆ハイパボリックセカント）を計算します。
acsch (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆双曲線余割（逆ハイパボリックコセカント）を計算します。
acoth (x)[編集]
[Mapping Function]
x の各要素について，逆双曲線余接（逆ハイパボリックコタンジェント）を計算します。
以上の関数は，引数が1 つであることを想定しています。 引数に行列を与えたときは，以下に示す ように，各要素ごとに計算を行います。
sin ([1, 2; 3, 4]) ) 0.84147 0.90930 0.14112 -0.75680
atan2 (y, x)[編集]
[Mapping Function]
x とy の対応する要素について，y / x の逆正接（アークタンジェント）を計算します。 結果を !? から? の範囲で返します。
19.4 和と積[編集]
sum (x, dim)[編集]
[Built-in Function]
次元dim 方向の和を計算します。 dim が省略されたときは，1 を指定した（列方向に和をとる） とみなす。
例外として，x がベクトルでdim を省略したとき，要素の和を返します。
prod (x, dim)[編集]
[Built-in Function]
次元dim 方向の積を計算します。 dim が省略されたときは，1を指定した（列方向に積をとる）とみなす。 例外として，x がベクトルでdim を省略したとき，x の要素の積を返します。
cumsum (x, dim)[編集]
[Built-in Function]
次元dim 方向の累積和を計算します。 dim が省略されたときは，1 を指定した（列方向に累積和をとる）とみなす。 例外として，x がベクトルでdim を省略したとき，x の要素の累積和を返します。
cumprod (x, dim)[編集]
[Built-in Function]
次元dim 方向の累積積を計算します。 dim が省略されたときは，1 を指定した（列方向に累積積 をとる）とみなす。
例外として，x がベクトルでdim を省略したとき，x の要素の累積積を返します。
sumsq (x, dim)[編集]
[Built-in Function] 次元dim 方向の積和を計算します。 dim が省略されたときは，1を指定した（列方向に積和をとる）とみなす。 例外として，x がベクトルでdim を省略したとき，要素の積和を返します。 この関数は，概念的には以下の計算を行っているに等しい。
sum (x .* conj (x), dim)
しかし，この関数の方が使用メモリが少なく，xが実数の場合にconjを呼び出さないので，より効率的です。
19.5 特殊な関数 [編集]
[j, ierr] = besselj (alpha, x, opt)[編集]
[Loadable Function]
[y, ierr] = bessely (alpha, x, opt)[編集]
[Loadable Function]
[i, ierr] = besseli (alpha, x, opt)[編集]
[Loadable Function]
[k, ierr] = besselk (alpha, x, opt)[編集]
[Loadable Function]
[h, ierr] = besselh (alpha, k, x, opt)[編集]
[Loadable Function]
さまざまなBessel（あるいはHankel）関数を計算します。
- besselj 第1 種のBessel 関数
- bessely 第2 種のBessel 関数
- besseli 第1 種の修正Bessel 関数
- besselk 第2 種の修正Bessel 関数
- besselh 第1 種（k=1）あるいは第2 種（k=2）のHankel 関数
引数opt を与えたとき，k = 1 に対してexp (-I*x)，k = 2 に対してexp (I*x)によってスケール化した値を返します。
alpha がスカラであれば，結果はx と同じサイズになります。 x がスカラであれば，結果はalpha と 同じサイズになります。 alpha が行ベクトルでx が列ベクトルであれば，返す結果はlength (x) 行length (alpha)列の行列となります。 一方，alpha とx は整合性がなければならず，結果は同 じサイズとなります。
alpha の値は実数でなければなりません。 x は複素数でもよい。
必要に応じてierr を指定することにより，以下のような実行結果を得ることができます。 これは 結果と同じサイズになります。
- 0. 正常終了
- 1. 入力エラーによりNaNを返した
- 2. オーバーフローによりInfを返した
- 3. argument reduction による有効桁のロスにより，計算機精度の半分以下の精度となった
- 4. argument reduction によって有効桁が完全にロスした
- 5. エラー?計算は行われず，収束せずにNaNを返した
[a, ierr] = airy (k, z, opt)[編集]
[Loadable Function]
第1 種および第2 種のAiry 関数，およびその導関数を計算します。
K Function Scale factor (if a third argument is supplied)
- --- -------- ----------------------------------------------
0 Ai (Z) exp ((2/3) * Z * sqrt (Z)) 1 dAi(Z)/dZ exp ((2/3) * Z * sqrt (Z)) 2 Bi (Z) exp (-abs (real ((2/3) * Z *sqrt (Z)))) 3 dBi(Z)/dZ exp (-abs (real ((2/3) * Z *sqrt (Z)))) 関数をairy (z)の形式で呼び出すと，airy (0, z) として実行したものと見なします。
結果はz と同じサイズになります。
必要に応じてierr を指定することにより，以下のような実行結果を得ることができます。 これは 結果と同じサイズになります。
- 0. 正常終了
- 1. 入力エラーによりNaNを返した
- 2. オーバーフローによりInfを返した
- 3. argument reduction による有効桁のロスにより，計算機精度の半分以下の精度となった
- 4. argument reduction によって有効桁が完全にロスした
- 5. エラー?計算は行われず，収束せずにNaNを返した
beta (a, b)[編集]
[Mapping Function]
ベータ関数を返します。
B(a; b) = !(a)!(b) !(a + b) :
betainc (x, a, b)[編集]
[Mapping Function]
不完全ベータ関数を返します。
￣(x; a; b) = B(a; b)!1 Z x 0 t(a!z)(1 ! t)(b!1)dt: x が複数の成分を含むならば，a とb の両方ともスカラでなければなりません。 x がスカラなら ば，a とb は同じ次数でなければなりません。
bincoeff (n, k)[編集]
[Mapping Function]
以下の計算式においてn とk を与えたときの二項係数を返します。
A n k ! = n(n ! 1)(n ! 2) ￠ ￠ ￠ (n ! k + 1) k! たとえば， bincoeff (5, 2) ) 10 となります。
erf (z)[編集]
[Mapping Function]
誤差関数を計算します。
erf(z) = 2 p ? Z z 0 e!t2 dt
erfc (z)[編集]
[Mapping Function]
補誤差関数1 ! erf(z) を計算します。
erfinv (z)[編集]
[Mapping Function]
誤差関数の逆関数を計算します。
gamma (z)[編集]
[Mapping Function]
ガンマ関数を計算します。
!(z) = Z 1 0 tz!1e!tdt:
gammainc (x, a)[編集]
[Mapping Function]
不完全ガンマ関数を計算します。
°(x; a) = Z x 0 e!tta!1dt !(a) a がスカラならば，gammainc (x, a)はx の各要素に対して結果を返します。
x とa の両方ともスカラではないならば，x とa は同じサイズでなければなりません。 このとき， 要素ごとに結果を返します。
lgamma (a, x)[編集]
[Mapping Function]
gammaln (a, x)[編集]
[Mapping Function]
ガンマ関数の自然対数を返します。
cross (x, y, dim)[編集]
[Function File] 3次元のベクトルx とy のcross product を計算します。
cross ([1,1,0], [0,1,1]) ) [ 1; -1; 1 ] x とy が行列ならば，最初の次元の3 要素についてcross product を計算します。 オプション引 数dim を指定すると，dim 次元の方向に沿ってcross product を計算します。
commutation_matrix (m, n)[編集]
[Function File] 交換行列（commutation matrix）Km;n を返します。 これは，m￡n の行列A に対して，Km;n ￠ vec(A) = vec(AT ) となるmn×mn の行列です。
引数としてm のみを与えるならば，Km;m を返します。
統計学ならびに経済学における行列の微分についての応用は，Magnus and Neudecker (1988) を参照してください。
duplication_matrix (n)[編集]
[Function File] duplication matrix Dn を返します。 これは，n×n の対称行列matrices A について，Dn ? vech(A) = vec(A) なるn2×n(n + 1)=2 の行列です。
統計学ならびに経済学における行列の微分についての応用は，Magnus and Neudecker (1988) を参照してください。
19.6 座標変換[編集]
[theta, r] = cart2pol (x, y)[編集]
[Function File]
[theta, r, z] = cart2pol (x, y, z)[編集]
[Function File] Transform cartesian to polar or cylindrical coordinates. x, y (and z) must be of same shape. theta describes the angle relative to the x - axis. r is the distance to the z - axis (0, 0, z).
[x, y] = pol2cart (theta, r)[編集]
[Function File]
[x, y, z] = pol2cart (theta, r, z)[編集]
[Function File]
Transform polar or cylindrical to cartesian coordinates. theta, r (and z) must be of same shape. theta describes the angle relative to the x - axis. r is the distance to the z - axis (0, 0, z).
[theta, phi, r] = cart2sph (x, y, z)[編集]
[Function File]
Transform cartesian to spherical coordinates. x, y and z must be of same shape. theta describes the angle relative to the x - axis. phi is the angle relative to the xy - plane. r is the distance to the origin (0, 0, 0).
[x, y, z] = sph2cart (theta, phi, r)[編集]
[Function File]
Transform spherical to cartesian coordinates. x, y and z must be of same shape. theta describes the angle relative to the x-axis. phi is the angle relative to the xy-plane. r is the distance to the origin (0, 0, 0).
19.7 数学的定数[編集]
I[編集]
[Built-in Variable]
J[編集]
[Built-in Variable]
i[編集]
[Built-in Variable]
j[編集]
[Built-in Variable] 虚数単位であり，
- sqrt(-1)
と定義されます。 これらの組み込み変数は，関数のような挙動をします。 ゆえに，その名前を別の目的に使用することができます。 もし，これらを変数名として使用して値 を代入し，その後クリアするならば，それらは再びあらかじめ特別に定義してあったものとし て機能します。 詳細は，Section 9.3 [Status of Variables]を参照のこと。
Inf[編集]
[Built-in Variable]
inf[編集]
[Built-in Variable] 無限大を表す。 これは，1/0 のような演算，あるいは浮動小数点オーバーフローの結果として 返されます。
NaN[編集]
[Built-in Variable]
nan[編集]
[Built-in Variable] 非数を表す。 これは，0=0，あるいは1!1，さらにはNaN を含む演算を行った場合に返さ れる。
ある演算で返されたNaNは，別のNaNと比較できません。 この挙動は，浮動小数点演算のIEEE 標準において明記されています。 ある値がNaN かどうかを判定するには，isnan関数を使用す ること。
pi[編集]
[Built-in Variable] 円周率です。 内部的には，piは‘4.0 * atan (1.0)’として計算されます。
e[編集]
[Built-in Variable] 自然対数の底です。 この定数e は，log(e) = 1. を満たす。
eps[編集]
[Built-in Variable] 計算機の精度を表す。 正確に言えば，epsは計算機の浮動小数点演算機能において，任意の隣 り合うふたつの数の相対間隔の最大値です。 この数値は，明らかにシステムに依存します。 64ビットIEEE 浮動小数点数値をサポートする計算機において，epsは近似的に2:2204￡10!16となります。
realmax[編集]
[Built-in Variable] 浮動小数点値として表すことのできる最も大きな値です。 実際の値は，システムに依存す る。 64 ビットIEEE 浮動小数点数値をサポートする計算機において，realmaxは近似的に 1:7977×10^308. となります。
realmin[編集]
[Built-in Variable] 浮動小数点値として表すことのできる最も小さな値です。 実際の値は，システムに依存す る。 64 ビットIEEE 浮動小数点数値をサポートする計算機において，realmaxは近似的に 2:2251×10!308. となります。