高等学校数学III/極限/演習A

この項は高等学校数学III 極限の演習問題Aである。

問題

問1

第$n$項が次の式で表される数列の極限を調べよ。また極限値が存在するならば求めよ。

(1) ${\frac {3n}{n+1}}+{\frac {n}{n-1}}$.
(2) ${\sqrt {n}}({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}})$.
(3) $(-1)^{n}\left(1-{\frac {2n}{3n-1}}\right)$.

問2

$r>1$ のとき、次を証明せよ。

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{r^{n}}}=0$.

問3

$a_{n}={\frac {k^{n}}{n!}}$ の収束・発散について調べよ。極限値が存在する場合はこれを求めよ。ただし、$k$ は定数とする。

解答

問1

(1) ${\frac {3n}{n+1}}+{\frac {n}{n-1}}={\frac {3}{1+{\frac {1}{n}}}}+{\frac {1}{1-{\frac {1}{n}}}}$.
よって、$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {3n}{n+1}}+{\frac {n}{n-1}}\right)=4$.

(1)（別解） ${\frac {3n}{n+1}}+{\frac {n}{n-1}}=3-{\frac {3}{n+1}}+1+{\frac {1}{n-1}}=4-{\frac {3}{n+1}}+{\frac {1}{n-1}}$.
よって、$\lim _{n\to \infty }\left({\frac {3n}{n+1}}+{\frac {n}{n-1}}\right)=4$.

(2) ${\sqrt {n}}\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)={\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}={\frac {1}{{\sqrt {1+{\frac {1}{n}}}}+1}}$.
よって、$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)={\frac {1}{2}}$.

(2)（別解） ${\sqrt {n}}\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)={\frac {\sqrt {n}}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}={\frac {1}{2}}-{\frac {{\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}}{2\left({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}\right)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\left({\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}\right)^{2}}}$.
よって、$\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\left({\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}\right)={\frac {1}{2}}$.

(3) $(-1)^{n}\left(1-{\frac {2n}{3n-1}}\right)=(-1)^{n}\left(1-{\frac {2}{3-{\frac {1}{n}}}}\right)$.
よって、$n$が偶数のとき$1-{\frac {2}{3-{\frac {1}{n}}}}$、$n$が奇数のとき$-1+{\frac {2}{3-{\frac {1}{n}}}}$なので、収束しない。（振動する）

(3)（別解） $(-1)^{n}\left(1-{\frac {2n}{3n-1}}\right)=(-1)^{n}\left(1-{\frac {2}{3}}-{\frac {2}{3(3n-1)}}\right)={\frac {(-1)^{n}}{3}}-{\frac {2(-1)^{n}}{3(3n-1)}}$.
よって、$n$が偶数のとき${\frac {1}{3}}-{\frac {2}{3(3n-1)}}$、$n$が奇数のとき$-{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3(3n-1)}}$なので、収束しない。（振動する）

問2

${\frac {n}{r^{n}}}>0$は明らか。

$r>1$なので、$h>0$を用いて$r=1+h$と表せる。 $n\geqq 2$のとき、$r^{n}=(1+h)^{n}\geqq 1+nh+{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}$なので、

${\frac {n}{r^{n}}}\leqq {\frac {n}{1+nh+{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}}}={\frac {1}{{\frac {1}{n}}+h+{\frac {n-1}{2}}h^{2}}}\to 0\ (n\to \infty )$

である。したがって、はさみうちの原理より $\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{r^{n}}}=0$

問3

${\frac {k^{n}}{n!}}>0$は明らか。

$k$は定数なので、$k<m$なる自然数$m$が取れる。 $n>m$のとき、

${\frac {k^{n}}{n!}}={\frac {k\cdot k\cdot \cdots \cdot k\cdot k\cdot \cdots \cdot k}{1\cdot 2\cdot \cdots m\cdot (m+1)\cdot \cdots \cdot n}}\leqq {\frac {k\cdot k\cdot \cdots \cdot k\cdot k\cdot \cdots \cdot k}{1\cdot 2\cdot \cdots m\cdot m\cdot \cdots \cdot m}}={\frac {m^{m}}{m!}}\left({\frac {k}{m}}\right)^{n}\to 0\ (n\to \infty )$

である。したがって、はさみうちの原理より $\lim _{n\to \infty }{\frac {k^{n}}{n!}}=0$

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