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微分は、グラフで考えればある一点での曲線の傾きを表すものでした。 積分を学ぶと、次のようなことが分かります。 微分すると与えられた関数になるような関数は何か？ 曲線とx軸の囲む領域の面積 微分は、曲線の傾きを探すものだということは既に学びました。代表的な例として、車の位置から速度を計算することができます。…

高等学校の学習 > 高等学校数学 > 高等学校数学II > 微分・積分の考え ここでは微分積分の概念について理解し、多項式関数の微分積分を学ぶ。また、微分の応用を応用して接線の方程式やグラフの概形などを求めたり、積分を応用してグラフの面積を求める。微分積分は物理学や工学などさまざまな分野で応用されている。…

本定理の成立は、上記の条件が成立していることが必要であるので、証明問題等において「ロピタルの定理より」とするには、条件成立が提示されているか条件成立を別に証明することを要する。大学入試等初等教育の場で、これが示されることは基本…

を満たすことである。□ 単純閉曲線は、平面をその「内側」と「外側」の2つの領域にわける。直感的には明らかだが、証明は難しい。ここでは事実を指摘するにとどめておく。 正則関数の単純閉曲線上の積分について成り立つ重要な定理が、次の定理である。 定理(コーシーの積分定理) f ( z ) {\displaystyle f(z)}…

新しいページを作るときの、各項目名の最初には「解析学基礎/」を付けることが推奨されます。 関数 実数 数列の極限 極限 連続関数 微分の導入 微分の公式 二階微分 微分の使い方 微分可能関数 ロピタルの定理 総和 積分 指数関数と対数関数 三角関数 双曲線関数 基本的な積分 広義積分 テイラー級数 級数 べき級数 多変数関数の微積分…

発展的な理工学の勉強では、物理学と数学を中心に勉強します。 数学は、微分方程式・複素関数論・フーリエ解析が勉強の中心です。 物理学は、「力学」「電気磁気学」に加えて、さらに「振動・波動」「熱力学」を勉強します。 また、並行的に、しだいに機械工学の「材料力学」「流れ学」「工業熱力学」および、電気工学の「電磁気学」「電気回路」も勉強しといてください。…

そうなることを防ぐために、高校の「チャート式」数学を終えた後「幾何の有名な定理 (共立出版)」→「行列と線型変換 (NextPublishing Authors Press)」→「現代数学序説 集合と代数 (ちくま学芸文庫)」→「微分積分学 (ちくま学芸文庫)」→「基礎解析学 改訂版 (裳華房)」の順で読んでみてください。これで大丈夫です。…

高等学校の学習 > 高等学校数学 > 高等学校数学III > 積分法 ここでは、数学IIの微分・積分の考えで学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。 積分法について ∫{f(x)+g(x)}dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx,{\displaystyle…

{1}{2}}kx'^{2}} ^ 微分積分学の基本定理が成り立つ限りにおいて、積分と微分は互いの逆変換となる。この限りにおいて、微分の「反対」は積分となる。よく知られているように、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツは幾何学的な方法に頼まず、算術として基本定理が成り立つことを発見している。純粋に幾何学…

解析学 解析学は高校までの数学の延長としてとらえることも出来るが、高校までの数学を厳密に基礎づける科目ととらえることも出来る。例えば、高校までの範囲では数列の極限や関数の連続は厳密には定義されていなかった。解析学ではこのような極限を取る手法を扱う。また、微分や積分に関するより進んだ計算も扱う。ここで学…

+a_{1}} により定める（これは微分積分学における多項式関数の微分と同様である。ただしここでは、関数ではなく多項式そのものに対する演算として微分を定める。ここでの議論には極限に関する議論を要しない点に注意）。 すると、明らかに次の2つの公式が成り立つ。また逆に次の2つの公式が成り立つように ddxP(x){\displaystyle…

e} という当時知られていた数学の基本定数が，このような簡単なそして美しい関係で結び付けられていることに対する驚きによるものである． 我々は以後この結果から出発する．すなわち 式 (4.1) を指数関数 e i t {\displaystyle e^{it}} の…

( t ) = g ( t ) + i h ( t ) {\displaystyle f(t)=g(t)+ih(t)} の t {\displaystyle t} に関する微分を， (4.3) d f d t := d g d t + i d h d t {\displaystyle {\frac…

ベクトル解析は、主に多変数関数の微積分と関連しているが、 特にそれらのうちには計算自体に明確な物理的意味を 持つものがいくつか見られる。歴史的にもこの分野は 数学と物理の間のフィードバックを通して発展して来た。 そのため、計算においては物理的な意味を強調していきたい。 また、特にいくつかの定理は数学的に厳密な証明をすることが…

また、2年で習わない部分の数学Iの単元があれば、なるべくきちんと勉強しておきましょう。 同様、3年生になって理系コースを選択している場合は、よほど未習分野が多くないかぎり、とりあえず数学IIの発展問題や章末問題とかよりも数学IIIの基本問題などを優先しましょう。 数学IIIには、極限、微分法、積分…

の運動は全て決定される。 これはニュートンの決定性原理の主張するところと同じである。 数学的には、 r → {\displaystyle {\vec {r}}} の三階以上の時間微分を含む方程式を考える事もできるが、ニュートンの決定性原理により古典力学の記述にはそのような高階の微分が不要であることが分かっているのである。…

高等学校の学習 > 高等学校数学 > 高等学校数学III > 極限 ここでは、極限について学ぶ。微分・積分の考えでは簡単な関数の極限について学んだが、ここでは数列の極限、さらには無理関数や三角関数などの関数の極限について学ぶ。極限は微分積分の基礎となっており重要である。 数列 { a n } {\displaystyle…

これは良い本なので、一家に1セットあると良いでしょう。 アーノルド『古典力学の数学的方法』 これは難しいです。 高木伸 岩波書店新物理学選書『巨視的トンネル現象』 ブラケットで書かれているので個人的には苦手ですが、面白い。 ファインマン/ヒッブス　北原和夫訳　『量子力学と経路積分』 経路積分を使うなら、一冊は欲しい所。…

このようなべき級数表現の重要性は２つあります。１つ目に、べき級数の微分と積分は項ごとに計算することが可能であり、ゆえにとりわけ容易となることです。２つ目に、展開した点の近傍における関数の値を（一部を切り捨てた）級数で近似できることです。 ただし、無限回微分可能な関数f(x)に対して、テイラー級数は収束するにも…

ある科目の合格時の取得単位数は原則的に、授業時数が同じならば異なる科目でも同じ単位数を取得することになるのが普通です。つまり、むずかしい科目に合格しようが、簡単な科目に合格しようが、授業時間の量が同じなら、合格でもらえる単位数も同じということです。 たとえば大学1年の数学の偏微分・重積分と、大学2年の…