ガロア理論/最小分解体

定義

定義 (最小分解体)

$K/F$ を体の拡大とする。$f(X)\in F[X]$ が $K$ で分解するとは、$K[x]$ の一次の多項式と定数の積に表すことができることをいう。

$K$ が$F$ 上の $f(X)$ の最小分解体であるとは、$f(X)$ が $K$ では分解するが $K/F$ の任意の中間体 $M$ について $M$ では分解しないことをいう。

存在性

命題1

体 $F$ と 定数でない多項式 $f(X)\in F[X]$ について、その最小分解体が存在する。

証明

$F$ の 代数閉包 $\Omega$ を取る。$f(X)$ が分解するような $\Omega /F$ の中間体全ての共通部分を $K$ とする。この $K$ が最小分解体である。なお、$f(x)=a(X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\cdots (X-\alpha _{n}),\ a\in F,\alpha _{i}\in \Omega$ と書いたとき、$K=F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})$ となる。詳細は読者に委ねる。

上で言及したことを命題として述べておこう。

命題2

$f(X)\in F[X]$ が体 $K$ で分解するとし、$f(x)=a(X-\alpha _{1})(X-\alpha _{2})\cdots (X-\alpha _{n}),\ a\in F,\alpha _{i}\in K$ であるとする。このとき、$F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})$ は最小分解体である。

一意性

命題3

$g(X),h(X)\in F[X],\ f(X)=g(X)h(X)$ とし、$g(X)$ の $F$ 上の最小分解体を $K$ とし、$h(X)$ の $K$ 上の最小分解体を $L$ とする。このとき、$L$ は $f(X)$ の $F$ 上の最小分解体である。

証明

命題2より、

$g(X)=a(X-\alpha _{1})\cdots (X-\alpha _{m}),\ a\in F,\alpha _{i}\in K,\ \ h(X)=b(X-\beta _{1})\cdots (X-\beta _{n}),\ b\in F,\beta _{j}\in L$

と表したとき、$K=F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{m}),L=K(\beta _{1},\cdots ,\beta _{n})$ であるから、$L=F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{m},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n})$ である。したがって、命題2 を再び使えば主張を得られる。

命題4

(i) $\phi :F_{1}\rightarrow F_{2}$ を体の同型写像とする。$f_{1}(X)\in F_{1}[X],\ f_{2}(X)\in F_{2}[X]$ が $\phi$ で対応しているとし、$f_{i}$ の $F_{i}$ 上の最小分解体を $K_{i}$ とする $(i=1,2)$。このとき、体の同型写像 $\Phi :K_{1}\rightarrow K_{2}$ で $\phi$ の拡張になっているものが存在する。
(ii)$f(X)\in F[X]$ の $F$ 上の最小分解体は $F$ 上の同型を除き一意に定まる。

証明

(ii) は (i) より直ちに従う。

以下、$i=1,2$ とする。命題3 より、$f_{i}(X)$ は $F_{i}[X]$ における既約多項式であるとしても良い。

$\alpha _{i}\in K_{i}$ を $f_{i}(X)$ の根の一つであるとする。このとき、仮定より $\alpha _{i}$ の最小多項式は $f_{i}(X)$ であり、$F_{i}[X]/(f_{i}(X))\rightarrow F(\alpha _{i}),\ \,X\,{\rm {mod}}\,(f_{i}(X))\mapsto \alpha _{i}$ は $F_{i}$ 上の同型である(ガロア理論/代数拡大)。

$F_{1}(\alpha _{1})\rightarrow F_{1}[X]/(f_{1}(X))\rightarrow F_{2}/(f_{2}(X))\rightarrow F_{2}(\alpha _{2})$
$\alpha _{1}\mapsto X\,{\rm {mod}}\,(f_{1}(X))\mapsto X\,{\rm {mod}}\,(f_{2}(X))\mapsto \alpha _{2}$

という同型写像を $\psi$ とおく。これは、$\phi$ の拡張になっているため、$f_{i}=(X-\alpha _{i})g_{i}(X),\ g_{i}(X)\in F_{i}(\alpha _{i})[X]$ とおくと、$g_{1},g_{2}$ は $\psi$ で対応している。したがって、$f_{i}(X)$ の次数に関する帰納法によって、$\psi$ の拡張になっているような同型写像 $K_{1}\rightarrow K_{2}$ が存在する。