- 定義(共役体)
体の拡大
についてこれらが互いに共役、あるいは
が
の
上の共役体であるとは、
をどちらも含む拡大体
が存在し、かつ
上同型であることをいう。
命題1[編集]
体の代数拡大
について、以下は同値。
(i)
の
上の共役体は
のみである
(ii)
の代数閉包
および
上の同型写像
について 
(iii)
の最小多項式
は、
で
と書ける
- 証明
(i) ⇒ (ii):
は
と共役であるので、
(ii) ⇒ (iii):
を
の代数閉包として、
があって
と書ける。
を
で定めることができ、これをガロア理論/代数的閉体#定理2-(ii)を使って
に拡張する。このとき、
となって示された。
(iii) ⇒ (i):
を
の
上の共役体として、
を
を含む拡大体、
を
上の同型写像とする。
に対して
として、
を
の
上の最小多項式とする。このとき、
であり、
とすれば、
内で
を得る。よって、
となり、
となる。ここから
となり、よって
である。
- 定義(正規拡大)
上の命題の(i), (ii) 及び (iii) を満たす体の代数拡大を正規拡大という。
命題2[編集]
正規拡大
と
について、以下は同値。
(i)
の最小多項式が一致する
(ii)
上の
の自己同型で、
を
に移すものがある
- 証明
(i) ⇒ (ii):
命題1 の (ii) ⇒ (iii) の証明で構成されたように、代数閉包
について
があり、正規拡大という仮定から
は同型写像である。
(ii) ⇒ (i):
命題3[編集]
体の拡大
について、以下は同値。
(i)
は有限次正規拡大である
(ii)
は、ある
の最小分解体である
- 証明