ガロア理論/正規拡大

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定義(共役体)

体の拡大 についてこれらが互いに共役、あるいは 上の共役体であるとは、 をどちらも含む拡大体 が存在し、かつ 上同型であることをいう。

命題 1[編集]

体の代数拡大 について、以下は同値。

(i) 上の共役体は のみである
(ii) の代数閉包 および 上の同型写像 について
(iii) の最小多項式 は、 と書ける

証明

(i) ⇒ (ii):
と共役であるので、

(ii) ⇒ (iii):
の代数閉包として、 があって と書ける。 で定めることができ、これをガロア理論/代数的閉体#定理2-(ii)を使って に拡張する。このとき、 となって示された。

(iii) ⇒ (i):
上の共役体として、 を含む拡大体、 上の同型写像とする。 に対して として、 上の最小多項式とする。このとき、 であり、 とすれば、 内で を得る。よって、 となり、 となる。ここから となり、よって である。


定義(正規拡大)

上の命題の(i), (ii) 及び (iii) を満たす体の代数拡大を正規拡大という。

命題2[編集]

正規拡大 について、以下は同値。

(i) の最小多項式が一致する
(ii) 上の の自己同型で、 に移すものがある

証明

(i) ⇒ (ii):
命題1 の (ii) ⇒ (iii) の証明で構成ように、代数閉包 について があり、正規拡大という仮定から は同型写像である。

(ii) ⇒ (i):


命題3[編集]

体の拡大 について、以下は同値。

(i) は有限次正規拡大である
(ii) は、ある の最小分解体である

証明