- 定義(共役体)
体の拡大 についてこれらが互いに共役、あるいは が の 上の共役体であるとは、 をどちらも含む拡大体 が存在し、かつ 上同型であることをいう。
体の代数拡大 について、以下は同値。
(i) の 上の共役体は のみである
(ii) の代数閉包 および 上の同型写像 について
(iii) の最小多項式 は、 で と書ける
- 証明
(i) ⇒ (ii):
は と共役であるので、
(ii) ⇒ (iii):
を の代数閉包として、 があって と書ける。 を で定めることができ、これをガロア理論/代数的閉体#定理2-(ii)を使って に拡張する。このとき、 となって示された。
(iii) ⇒ (i):
を の 上の共役体として、 を を含む拡大体、 を 上の同型写像とする。 に対して として、 を の 上の最小多項式とする。このとき、 であり、 とすれば、 内で を得る。よって、 となり、 となる。ここから となり、よって である。
- 定義(正規拡大)
上の命題の(i), (ii) 及び (iii) を満たす体の代数拡大を正規拡大という。
正規拡大 と について、以下は同値。
(i) の最小多項式が一致する
(ii) 上の の自己同型で、 を に移すものがある
- 証明
(i) ⇒ (ii):
命題1 の (ii) ⇒ (iii) の証明で構成されたように、代数閉包 について があり、正規拡大という仮定から は同型写像である。
(ii) ⇒ (i):
体の拡大 について、以下は同値。
(i) は有限次正規拡大である
(ii) は、ある の最小分解体である
- 証明