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初等数学公式集/初等代数/交代式・例題1

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

であるときの、の性質。

 
設問例
であるとき※1の値を求めよ※2

解法
 
ならば、
となり、を循環節として循環していることがわかる(予想される(厳密な解答は後述))。
 
として、を循環節とする循環は以下により証明される。
 
 
 
の剰余で場合分けする()と以下のとおりとなる。
この性質を用いて、設問を解くと、であるので、となる※3
 
厳密な解法
条件式;は、と変形できる。をかけるとという式が得られる (ただし、は、便宜的に導入した式なのでとなる)※1
すなわち、となるが、ここで、累乗した値の絶対値がである性質※3に注目し、とおいて、ド・モアブルの定理を利用すると、
となる。
 
を解いて、を得る。
 
となる。
 
一方、
 
: 同値となる。
 
 
 
は、で割った余りがであるとき、となるため、は、で割った余りがであるとき、となる※3

脚注[編集]

  1. 惑わせるため、以下のような条件式で提示されることもある。
    (ただし、とする)
  2. 入試問題などでこのような大きな数を計算させることはないので、「多分、剰余を使った問題に帰結させるんだな」と予想を立てて解く。
  3. と、しかつめらしく解説したが、よく考えれば、より、、すなわち、負号を消すため2乗してが得られるので、指数を6で割った余りで判定すれば足りる問題であった。
  4. 条件式が、、即ち、 (ただし、とする)である類似問題も作れる。とは言え、これもとなるので、指数を3で割った余りで判定すれば足りる問題。