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# 初等数学公式集/初等代数/交代式・例題1

${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}=1}$であるときの、${\displaystyle x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}}$の性質。

${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}=1}$であるとき※1${\displaystyle x^{2023}+{\frac {1}{x^{2023}}}}$の値を求めよ※2

${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}=1}$ならば、
${\displaystyle x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}-2=-1}$
${\displaystyle x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}=\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x+{\frac {1}{x}}\right)=-1-1=-2}$
${\displaystyle x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}=\left(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-2-(-1)=-1}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {1}{x^{5}}}=\left(x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{3}+{\frac {1}{x^{3}}}\right)=-1-(-2)=1}$
${\displaystyle x^{6}+{\frac {1}{x^{6}}}=\left(x^{5}+{\frac {1}{x^{5}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{4}+{\frac {1}{x^{4}}}\right)=1-(-1)=2}$
${\displaystyle x^{7}+{\frac {1}{x^{7}}}=\left(x^{6}+{\frac {1}{x^{6}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{5}+{\frac {1}{x^{5}}}\right)=2-(1)=1}$
${\displaystyle x^{8}+{\frac {1}{x^{8}}}=\left(x^{7}+{\frac {1}{x^{7}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{6}+{\frac {1}{x^{6}}}\right)=1-(2)=-1}$
${\displaystyle x^{9}+{\frac {1}{x^{9}}}=\left(x^{8}+{\frac {1}{x^{8}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{7}+{\frac {1}{x^{7}}}\right)=-1-(1)=-2}$
${\displaystyle x^{10}+{\frac {1}{x^{10}}}=\left(x^{8}+{\frac {1}{x^{9}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{8}+{\frac {1}{x^{8}}}\right)=-2-(-1)=-1}$
${\displaystyle \vdots }$
となり、${\displaystyle 1\to -1\to -2\to -1\to 1\to 2\to 1\to -1\to -2\to -1\dots }$${\displaystyle 6}$を循環節として循環していることがわかる（予想される（厳密な解答は後述））。

${\displaystyle x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}=a_{n}}$として、${\displaystyle 6}$を循環節とする循環は以下により証明される。

${\displaystyle a_{n}=x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}=\left(x^{n-1}+{\frac {1}{x^{n-1}}}\right)\left(x+{\frac {1}{x}}\right)-\left(x^{n-2}+{\frac {1}{x^{n-2}}}\right)=a_{n-1}-a_{n-2}}$

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}-a_{n-2}=a_{n-2}-a_{n-3}-a_{n-2}=-a_{n-3}=-a_{n-4}+a_{n-5}=-a_{n-5}+a_{n-6}+a_{n-5}=a_{n-6}}$

${\displaystyle n}$${\displaystyle 6}$の剰余で場合分けする（${\displaystyle n=6k+m}$）と以下のとおりとなる。
${\displaystyle a_{6k+1}=a_{1}=1}$
${\displaystyle a_{6k+2}=a_{2}=-1}$
${\displaystyle a_{6k+3}=a_{3}=-2}$
${\displaystyle a_{6k+4}=a_{4}=-1}$
${\displaystyle a_{6k+5}=a_{5}=1}$
${\displaystyle a_{6k}=a_{6}(=a_{0})=2}$
この性質を用いて、設問を解くと、${\displaystyle 2023=337\cdot 6+1}$であるので、${\displaystyle x^{2023}+{\frac {1}{x^{2023}}}=1}$となる※3

すなわち、${\displaystyle x^{3}=-1(x\neq -1)}$となるが、ここで、累乗した値の絶対値が${\displaystyle 1}$である性質※3に注目し、${\displaystyle x=\cos \theta +i\sin \theta (-\pi \leq \theta \leq \pi )}$とおいて、ド・モアブルの定理を利用すると、
${\displaystyle x^{3}=(\cos \theta +i\sin \theta )^{3}=\cos 3\theta +i\sin 3\theta =-1}$となる。

${\displaystyle {\begin{cases}\cos 3\theta =-1\\\sin 3\theta =0\end{cases}}}$ ${\displaystyle (-\pi \leq \theta \leq \pi )}$を解いて、${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{3}},-{\frac {\pi }{3}}}$を得る。

${\displaystyle x=\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}},\cos(-{\frac {\pi }{3}})+i\sin(-{\frac {\pi }{3}})}$となる。

${\displaystyle x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}=(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}})^{n}+(\cos(-{\frac {\pi }{3}})+i\sin(-{\frac {\pi }{3}}))^{n},(\cos(-{\frac {\pi }{3}})+i\sin(-{\frac {\pi }{3}}))^{n}+(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}})^{n}}$: 同値となる。

${\displaystyle =\cos {\frac {n\pi }{3}}+i\sin {\frac {n\pi }{3}}+\cos(-{\frac {n\pi }{3}})+i\sin(-{\frac {n\pi }{3}})}$

${\displaystyle =\cos {\frac {n\pi }{3}}+i\sin {\frac {n\pi }{3}}+\cos {\frac {n\pi }{3}}-i\sin {\frac {n\pi }{3}}=2\cos {\frac {n\pi }{3}}}$

${\displaystyle \cos {\frac {n\pi }{3}}}$は、${\displaystyle n}$${\displaystyle 6}$で割った余りが${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$であるとき、${\displaystyle \{1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},-1,-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\}}$となるため、${\displaystyle x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}}$は、${\displaystyle n}$${\displaystyle 6}$で割った余りが${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$であるとき、${\displaystyle \{2,1,-1,-2,-1,1\}}$となる※3

## 脚注

1. 惑わせるため、以下のような条件式で提示されることもある。
${\displaystyle x^{3}+1=0}$ (ただし、${\displaystyle x\neq -1}$とする)
2. 入試問題などでこのような大きな数を計算させることはないので、「多分、剰余を使った問題に帰結させるんだな」と予想を立てて解く。
3. と、しかつめらしく解説したが、よく考えれば、${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}=1}$より、${\displaystyle x^{3}+1=0}$、すなわち${\displaystyle x^{3}=-1}$、負号を消すため2乗して${\displaystyle x^{6}=1}$が得られるので、指数を6で割った余りで判定すれば足りる問題であった。
4. 条件式が、${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}=-1}$、即ち、${\displaystyle x^{3}=1}$ (ただし、${\displaystyle x\neq 1}$とする)である類似問題も作れる。とは言え、これも${\displaystyle x^{3}=1}$となるので、指数を3で割った余りで判定すれば足りる問題。