初等数学公式集/初等代数

展開公式

解説はこちらのページをご覧ください

• 基本公式
  • $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
  • $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$
  • $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
• 累乗
  • $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
  • $(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
  • $(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$
  • $(a\pm b)^{5}=a^{5}\pm 5a^{4}b+10a^{3}b^{2}\pm 10a^{2}b^{3}+5ab^{4}\pm b^{5}$
  • $(a+b)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{}_{n}{\rm {C}}_{r}a^{n-r}b^{r}$
• 応用
  • $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
  • $(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=a^{3}\pm b^{3}$
  • $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
  • $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3ab^{2}+3ac^{2}+3ba^{2}+3ca^{2}+6abc+3bc^{2}+3cb^{2}$
  • $(a+b+c)^{4}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4ab^{3}+4ac^{3}+4ba^{3}+4ca^{3}+4bc^{3}+4cb^{3}+6a^{2}b^{2}+6a^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}+12a^{2}bc+12ab^{2}c+12abc^{2}$
  • $(a+b+c)^{n}$の展開式の一般項(多項定理):

    • ${\frac {n!}{p!q!r!}}a^{p}b^{q}c^{r}$ (ただし、n=p + q + r)

  • $(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$
  • $(a+b+c+d)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+3ab^{2}+3ac^{2}+3ad^{2}+3ba^{2}+3ca^{2}+3da^{2}+6abc+6abd+6acd+3ac^{2}+3cb^{2}+3db^{2}+6bcd+3cd^{2}+3dc^{2}$
  • $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)={1 \over 2}(a+b+c)((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2})=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
  • $(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+abc$
  • $(ab+c)(bc+a)(ca+b)=(cab)^{2}+cab^{3}+bca^{3}+(ab)^{2}+abc^{3}+(bc)^{2}+(ac)^{2}+abc$
  • $(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})=a^{n}-b^{n}$
  • $\sum _{r=0}^{n}{}_{n}{\rm {C}}_{r}=2^{n}$

式の変形

• $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$
• $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$
• $(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})$
• $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
• $a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)$
• $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}$
• $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$
• $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx={\frac {1}{2}}\{(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\}$

絶対不等式

基本形 ;$a,b,c$は、正の実数である場合。

• ${\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}$

  等号成立は$a=b$ のときのみ。

  ∵ ${\frac {a+b}{2}}-{\sqrt {ab}}={\frac {1}{2}}({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}\geq 0$

• ${\frac {a+b+c}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{abc}}$

  等号成立は$a=b=c$ のときのみ。

  ∵ ${\frac {a+b+c}{3}}-{\sqrt[{3}]{abc}}={\frac {1}{3}}({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}+{\sqrt[{3}]{c}})({\sqrt[{3}]{a}}^{2}+{\sqrt[{3}]{b}}^{2}+{\sqrt[{3}]{c}}^{2}-{\sqrt[{3}]{a}}{\sqrt[{3}]{b}}-{\sqrt[{3}]{b}}{\sqrt[{3}]{c}}-{\sqrt[{3}]{c}}{\sqrt[{3}]{a}})={\frac {1}{6}}({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}+{\sqrt[{3}]{c}})\{({\sqrt[{3}]{a}}-{\sqrt[{3}]{b}})^{2}+({\sqrt[{3}]{b}}-{\sqrt[{3}]{c}})^{2}+({\sqrt[{3}]{c}}-{\sqrt[{3}]{a}})^{2}\}\geq 0$

拡張

• 正の実数からのみ成る数列 $\{a_{n}\}$ に対し、

  ${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

等号成立は a₁ = a₂ = … = a_n のときのみ。（相加平均と相乗平均の関係式）

• 複素数から成る数列 $\{a_{n}\}$ に対し、

  $|a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|\leq |a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$

等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。（三角不等式）

• 二つの数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$ に対し、

  $|a_{1}{\bar {b_{1}}}+a_{2}{\bar {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\bar {b_{n}}}|^{2}\leq (a_{1}{\bar {a_{1}}}+a_{2}{\bar {a_{2}}}+\cdots +a_{n}{\bar {a_{n}}})(b_{1}{\bar {b_{1}}}+b_{2}{\bar {b_{2}}}+\cdots +b_{n}{\bar {b_{n}}})$

等号成立は、複素数 z で b₁ = za₁, b₂ = za₂, ..., b_n = za_n が全て成り立つようなものが存在するときに限る。（コーシー・シュワルツの不等式）

方程式

• 1次方程式 $ax+b=0$ の解の公式:

  $x=-{\frac {b}{a}}$

• 2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解の公式：

  $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

  • $ax^{2}+2bx+c=0$ の場合：

    $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-ac}}}{a}}$

  • $x^{2}+bx+c=0$ ($ax^{2}+bx+c=0$ において $a=1$) の場合 :

    $x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}}$

  ※上記の3つの公式の根号の中の式は、各方程式の判別式Dとなる。

• 2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$の2つの解を$\alpha ,\beta$とすると：

  $ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$

  であり、この$\alpha ,\beta$は次の関係式を満たす。（解と係数の関係）

  $\alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}$

  $\alpha \beta ={\frac {c}{a}}$

  • $x^{2}+bx+c=0$ ($ax^{2}+bx+c=0$ において $a=1$) の2つの解を$\alpha ,\beta$とすると：

    $x^{2}+bx+c=(x-\alpha )(x-\beta )=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta$

    であり、この$\alpha ,\beta$は次の関係式を満たす。(解と係数の関係)

    零点の和 : $\alpha +\beta =-b$

    零点の積 : $\alpha \beta =c$

• 3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$の3つの解を$\alpha ,\beta ,\gamma$とすると：

  $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

  であり、この$\alpha ,\beta ,\gamma$は次の関係式を満たす。（解と係数の関係）

  $\alpha +\beta +\gamma =-{\frac {b}{a}}$

  $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ={\frac {c}{a}}$

  $\alpha \beta \gamma =-{\frac {d}{a}}$

2元1次方程式

${\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}}$

　（但し、$ad-bc\neq 0$）

の解、

$x={\frac {dp-bq}{ad-bc}}$

$y={\frac {-cp+aq}{ad-bc}}$　

行列を用いた表現

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$

右から、逆行列をかけると、

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}dp-bq\\-cp+aq\end{pmatrix}}$

数の性質

整数

• 自然数Nが相異なる素数$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{k}$を用いて$N=a_{1}^{p_{1}}\cdot a_{2}^{p_{2}}\cdot a_{3}^{p_{3}}\cdots a_{k}^{p_{k}}$と素因数分解されるとき、

Nの約数の個数は$(p_{1}+1)(p_{2}+1)(p_{3}+1)\cdots (p_{k}+1)$

また、その約数の総和は$(1+a_{1}+\cdots +a_{1}^{p_{1}})(1+a_{2}+\cdots +a_{2}^{p_{2}})\cdots (1+a_{k}+\cdots +a_{k}^{p_{k}})$=${\frac {1-a_{1}^{p_{1}+1}}{1-a_{1}}}{\frac {1-a_{2}^{p_{2}+1}}{1-a_{2}}}\cdots {\frac {1-a_{k}^{p_{k}+1}}{1-a_{k}}}$

• 自然数Q,Nに対し、1以上Q以下のNの倍数の個数。:

  $\left\lfloor {\frac {Q}{N}}\right\rfloor$　ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$以下最大の整数を表す。

  • 自然数P,Q,Nに対し、P以上Q以下のNの倍数の個数

    $\left\lfloor {\frac {Q}{N}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {(P-1)}{N}}\right\rfloor$

• 自然数a,bについて、それらの最大公約数をg、最小公倍数をlとすると、以下の関係が成り立つ。:

  $ab=lg$

• 奇数の和:

  $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2}$

• a、bを互いに素な整数とするとき、1次不定方程式$ax+by=0$を満たす整数解:

  $x=bk,y=-ak$　（kは整数）

• $a,b,c$を整数とする。1次不定方程式$ax+by=c$が整数解$(x,y)$を持つ必要十分条件は$\gcd(a,b)|c$

整数の合同

$n$ が $2$ 以上の整数として、$a$を $n$ で割った剰余が $b$ を $n$ で割った剰余と等しいときに、「二つの整数$a,b$が法 $n$ に関して合同である」といい、以下の記号で示す。

$a\equiv b(mod.n)$

代数的性質

• $a\equiv b(mod.n)$ ならば任意の整数 $c$に対して

  $a\pm c\equiv b\pm c(mod.n)$

  したがって、$a\equiv b(mod.n)$ ならば、$a-b\equiv 0(mod.n)$

  $ac\equiv bc(mod.n)$

  $a^{c}\equiv b^{c}(mod.n)$(ただし、$c>0$)

分数

• 加比の理

  ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$　ならば、 ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}={\frac {a+c}{b+d}}={\frac {ma+nc}{mb+nd}}$　($m,n$は、$mb+nd\neq 0$である任意の実数)

  ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$　ならば、 ${\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}\left(={\frac {ma+nc}{mb+nd}}\right)<{\frac {c}{d}}$　　($m,n$は、$mb+nd\neq 0$である任意の実数)

• ${\frac {1}{(x+a)(x+b)}}={\frac {1}{b-a}}\left({\frac {1}{x+a}}-{\frac {1}{x+b}}\right)$$(a\not =b)$
• ${\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}$

複素数

• 複素数の基本

  以下において$a,b,c,d$は実数。

  • 複素数の相当条件

    $a+bi=c+di$ ならば、$a=c,b=d$

    特に、$a+bi=0$ ならば、$a=b=0$

  • 共役複素数

    複素数$z=a+bi$ の共役複素数の定義;${\overline {z}}=a-bi$

    $z+{\overline {z}}=2a$ (実数)

    $z\cdot {\overline {z}}=a^{2}+b^{2}$ (実数)

  • 複素数の絶対値

    複素数$z=a+bi$ の絶対値の定義;$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

• 1の立方根

  $x^{3}=1$ を解くと、$x=1,{\frac {-1\pm {{\sqrt {3}}i}}{2}}$、虚数解のいずれかを$\omega$とおくと、以下の関係が成立している。

  • $\omega ^{2}=\left({\frac {-1\pm {{\sqrt {3}}i}}{2}}\right)^{2}={\frac {-1\mp {{\sqrt {3}}i}}{2}}$ （複号同順）、従って、$\omega ^{2}$は、$\omega$でない方の虚数解で、1の立方根は（ 1, $\omega$, $\omega ^{2}$(=${\overline {\omega }}$) ) となる。
  • $1+\omega +\omega ^{2}=0$, $1+\omega ^{2}+\omega ^{4}=0$
  • ${\frac {1}{\omega }}=\omega ^{2}$, ${\frac {1}{\omega ^{2}}}=\omega$
  • $|\omega |=|\omega ^{2}|=1$

• $\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$　（オイラーの式）
• $\displaystyle e^{\pi i}=-1$
• 複素数のべき乗：（ド・モアブルの定理）

  $(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )$

  • 1の$n$乗根

    $z^{n}=1$の解を、$z_{k}(k=0,1,2,\cdots ,n-1)$とすると、

    $z_{k}=\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)$

  • 複素数$z=a+bi$ の累乗

    $(a+bi)^{k}=({\sqrt {a^{2}+b^{2}}})^{k}(\cos k\theta +i\sin k\theta )$

    ただし、$\cos \theta ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\sin \theta ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

多項式

剰余の定理と因数定理

多項式 $f(x)$ を $x-c$ で割った余りは $f(c)$ である。（剰余の定理）

とくに $f(c)=0$ のとき、多項式 $f(x)$ は $x-c$ を因数に持つ。（因数定理）

行列

ここでは行列はすべて2次正方行列とする。$O$をすべての元が$0$である行列 $O={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}$ （零行列）とし、$E$を任意の2次正方行列$A$に対して$AE=EA=A$となる行列 $E={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$ （2次単位行列）とする。任意の2次正方行列$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$ に対し、次が成り立つ。

• $AA^{-1}=A^{-1}A=E$となる行列を逆行列といい、$A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{pmatrix}}$(ただし、$ad-bc\neq 0$) で与えられる。

• $A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)E=O$　（ケイリー・ハミルトンの定理）

一次変換

• 原点を中心とする$\theta$回転

  ${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}$

  • 原点に関する対称移動$\left(\theta =\pi \right)$

    ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$

• 直線$x\sin \theta -y\cos \theta =0$に関する対称移動

  ${\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \\\end{pmatrix}}$

  • $x$軸に関する対称移動$\left(\theta =0\right)$

    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$

  • $y$軸に関する対称移動$\left(\theta ={\frac {\pi }{2}}\right)$

    ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

  • 直線$y=x$に関する対称移動$\left(\theta ={\frac {\pi }{4}}\right)$

    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}$

  • 直線$y=-x$に関する対称移動$\left(\theta ={\frac {3\pi }{4}}\right)$

    ${\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\\\end{pmatrix}}$