初等数学公式集/初等代数

多項式

展開公式

解説はこちらのページをご覧ください

• 基本公式
  • $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
  • $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$
  • $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
  • $(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+abc$
• 累乗（二項定理）

  

  パスカルの三角形

  • $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
  • $(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
  • $(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$
  • $(a\pm b)^{5}=a^{5}\pm 5a^{4}b+10a^{3}b^{2}\pm 10a^{2}b^{3}+5ab^{4}\pm b^{5}$
  • $(a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}+\cdots +{}_{n}{\rm {C}}_{k}a^{n-k}b^{k}+\cdots +{\frac {n(n-1)}{2}}a^{2}b^{n-2}+nab^{n-1}+b^{n}$$=\sum _{r=0}^{n}{}_{n}{\rm {C}}_{r}a^{n-r}b^{r}$

    記号:${}_{n}{\rm {C}}_{r}$は「組合せ（参照）」、記号:$\sum$は「総和（シグマ 参照）」を表す。

    • 特に、$a=b=1$とすると、

      $1+n+{\frac {n(n-1)}{2}}+\cdots +{}_{n}{\rm {C}}_{k}+\cdots +{\frac {n(n-1)}{2}}+n+1$$=\sum _{r=0}^{n}{}_{n}{\rm {C}}_{r}=2^{n}$

• 応用

  2変数

  • $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
  • $(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=a^{3}\pm b^{3}$
  • $a^{n}-b^{n}$, $a^{n}+b^{n}$の一般的な形
    • $a^{n}-b^{n}$

      $a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})$

    • $a^{n}+b^{n}$
      • $n$が奇数である時、

        $a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +(-1)^{k}a^{n-1-k}b^{k}+\cdots -ab^{n-2}+b^{n-1})$

      • (参考) $n$が4の倍数である時($n=4m$とおいて)、

        $a^{n}+b^{n}=a^{4m}+b^{4m}=(a^{2m}+b^{2m})^{2}-2{a}^{2m}{b}^{2m}=(a^{2m}+{\sqrt {2}}{a}^{m}{b}^{m}+b^{2m})(a^{2m}-{\sqrt {2}}{a}^{m}{b}^{m}+b^{2m})$

  • $a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})$

  3変数

  • $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
  • $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3ab^{2}+3ac^{2}+3ba^{2}+3ca^{2}+6abc+3bc^{2}+3cb^{2}$
  • $(a+b+c)^{4}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4ab^{3}+4ac^{3}+4ba^{3}+4ca^{3}+4bc^{3}+4cb^{3}+6a^{2}b^{2}+6a^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}+12a^{2}bc+12ab^{2}c+12abc^{2}$
  • $(a+b+c)^{n}$の展開式の一般項(多項定理):

    • ${\frac {n!}{p!q!r!}}a^{p}b^{q}c^{r}$ (ただし、$n=p+q+r$)

  • $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)={1 \over 2}(a+b+c)((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2})=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
  • $(ab+c)(bc+a)(ca+b)=(cab)^{2}+cab^{3}+bca^{3}+(ab)^{2}+abc^{3}+(bc)^{2}+(ac)^{2}+abc$

  4変数

  • $(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$
  • $(a+b+c+d)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+3ab^{2}+3ac^{2}+3ad^{2}+3ba^{2}+3ca^{2}+3da^{2}+6abc+6abd+6acd+3ac^{2}+3cb^{2}+3db^{2}+6bcd+3cd^{2}+3dc^{2}$

式の変形

• $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$ ^※1
• $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$ ^※1
• $(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})$ ^※1
• $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$ ^※1
• $a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)$ ^※2
• $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=(x+y+z)\{(x+y+z)^{2}-3(xy+yz+zx)\}$ ^※1
  • $x^{3}+y^{3}+z^{3}=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+yz+zx)+3xyz$ ^※1
• $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx={\frac {1}{2}}\{(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}\}$^※1
• $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}$（ブラーマグプタの二平方恒等式）
• ラグランジュの恒等式
  • $(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})-(ax+by)^{2}=(ay-bx)^{2}$
  • $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})-(ax+by+cz)^{2}=(ay-bx)^{2}+(bz-cy)^{2}+(cx-az)^{2}$

対称式・交代式

• 対称式とは、どの変数を入れ替えても、値が変わらない式、交代式とはいずれか2個の変数を入れ替えると、元の式の−1倍となる式をいう。

  (上記の変形式で※1は対称式であり、※2は交代式である。)

  • 変数が2個の場合、対称式は$f(a,b)=f(b,a)$と表され、交代式は$f(a,b)=-f(b,a)$と表される。
  • 変数が3個の場合、

    • 対称式は$f(a,b,c)=f(a,c,b)=f(b,a,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b)=f(c,b,a)$
    • 交代式は$f(a,b,c)=-f(a,c,b)=-f(b,a,c)=-f(c,b,a)$

    となる。なお、3変数を全て入れ替えた場合$f(a,b,c)=f(c,a,b)=f(b,c,a)$が成立している。

  • 変数が4個以上にも一般化できるが、初等数学では取り扱わない。また、3変数の場合も参考の位置付けとしてのみ取り扱う。

対称式の性質

• 2変数の対称式は、2変数の和:$a+b$、積:$ab$を組み合わせることにより表される。$a+b$, $ab$を基本対称式という。

  3変数の基本対称式は、$a+b+c$, $ab+bc+ca$, $abc$であり、この性質を有する。

  (例) $a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)^{3}-3(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc$

• 公式
  • $a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$

    　

    基本対称式を$a+b=\alpha$, $ab=\beta$、$a^{n}+b^{n}=T_{n}$と表現すると、

    $T_{n}=\alpha T_{n-1}-\beta T_{n-2}$と表されることとなり、$a+b=\alpha$, $ab=\beta$が与えられていれば、隣接三項間漸化式を解く問題に帰結される。

    数列未履修であっても出題される形式であるが、一般に次数が小さいものの値を求める問題となるため、次数の低いものから順に求めることが可能である。一般式ではなく、極端に次数が大きい場合は、循環性に着目した問題である場合が多い（交代式の例題①参照）。

  応用問題

  $x+{\frac {1}{x}}=k$(定数)であるとき、$x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}$の値を求めよ。

  　

  （解法）

  $x=a,{\frac {1}{x}}=b$とおくと、与式は$a^{n}+b^{n}$の形となる、ここで、$a+b=x+{\frac {1}{x}}=k$, $ab=x{\frac {1}{x}}=1$であるので、

  $x^{n}+{\frac {1}{x^{n}}}=T_{n}$とおいた漸化式;$T_{n}=kT_{n-1}-T_{n-2},T_{1}=k$を解く問題に帰結する。

交代式の性質

• 2変数の交代式は、2変数の差:$a-b$を因数に持ち、$a-b$で割った商は対称式である。

  3変数の交代式は、$(a-b)(b-c)(c-a)$を因数に持ち、$(a-b)(b-c)(c-a)$で割った商は対称式である。

• 変数が同一である、2つの交代式($f(a,b),g(a,b)$、$f(a,b,c),g(a,b,c)$等)の積は対称式となる。

多項式の除法

多項式における除法の原理

多項式$f(x)$を、それより次数の少ない多項式$d(x)$で割るとき、次式を満たす多項式 $q(x)$, $r(x)$が一意に存在する。

　

$f(x)=q(x)d(x)+r(x)\quad$

　

このときの $q(x)$ を商、$r(x)$ を剰余と呼ぶ。なお、$d(x)$を除数、除式または除多項式、$f(x)$を被除数、被除式または被除多項式ともいう。

除式$d(x)$ が$n$次式であるとき、$r(x)$は、高々 $(n-1)$次式である。

剰余の定理と因数定理

多項式 $f(x)$ を $x-c$ で割った余りは $f(c)$ である。（剰余の定理）

$\because$ 除法の原理より、$f(x)=q(x)(x-c)+r(x)$であり、除多項式$x-c$は1次式なので、$r(x)$は定数$r$。$x=c$とすると、$r=f(c)$

とくに $f(c)=0$ のとき、多項式 $f(x)$ は $x-c$ を因数に持つ。（因数定理）

上の式で、$r=0$となる場合である。

　

剰余定理の応用

1. 除多項式が2次式の場合

   $f(x)$を$x-a$ で割った余りが $s$($=f(a)$)、$x-b$ で割った余りが $t$($=f(b)$)であるとき（ただし、$a\neq b$）、$f(x)$を$(x-a)(x-b)$ で割った余り$r(x)$;

   　

   $r(x)={\frac {s-t}{a-b}}x+{\frac {at-bs}{a-b}}{\big (}={\frac {f(a)-f(b)}{a-b}}x+{\frac {af(b)-bf(a)}{a-b}}{\big )}$

   　

   （解法）$f(x)=(x-a)(x-b)Q(x)+px+q$とおき、$f(a)=pa+q=s$, $f(b)=pb+q=t$を剰余式の係数$p,q$について解く。

   　

   • $f(x)$を2次式$ax^{2}+bx+c$ で割った余り$r(x)$;

     $ax^{2}+bx+c=0$の実数解が$\alpha ,\beta$($\alpha \neq \beta$)であるとき、

     　

     $r(x)={\frac {f(\alpha )-f(\beta )}{\alpha -\beta }}x+{\frac {\alpha f(\beta )-\beta f(\alpha )}{\alpha -\beta }}$

   　

   • $f(x)$を2次式$(x-a)^{2}$ で割った余り$r(x)$;

     　

     $r(x)=xf^{\prime }(a)+f(a)-af^{\prime }(a)$

     　

     なお、$f(x)$が$(x-a)^{2}$ で割り切れる必要十分条件は、$f(a)=f^{\prime }(a)=0$

     　

     （解法）

     $f(x)=Q(x)(x-a)^{2}+px+q$とおくと、$f^{\prime }(x)=Q^{\prime }(x)(x-a)^{2}+2Q(x)(x-a)+p$となり、

     $x=a$を代入すると、$f(a)=pa+q$, $f^{\prime }(a)=p$を得るので、これらを剰余式の係数$p,q$について解く。

     　

2. 除多項式が3次式の場合

   2次式における解法を拡張する。3元一次方程式の公式等は省略する。

   $f(x)$を$x-a$ で割った余りが $s$($=f(a)$)、$x-b$ で割った余りが $t$($=f(b)$)、$x-c$ で割った余りが $u$($=f(c)$)であるとき（ただし、$a,b,c$は各々異なるものとする）、$f(x)$を$(x-a)(x-b)(x-c)$ で割った余り$r(x)$;

   　

   （解法）

   $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x)+px^{2}+qx+r$とおき、$f(a)=pa^{2}+qa+r=s$, $f(b)=pb^{2}+qb+r=t$, $f(c)=pc^{2}+qc+r=u$を剰余式の係数$p,q,u$について解く。

   　

   • $f(x)$を3次式$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ で割った余り$r(x)$;

     $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$の実数解が$\alpha ,\beta ,\gamma$($\alpha ,\beta ,\gamma$は、互いに異なる)であるとき、$r(x)=px^{2}+qx+r$に関して$x=\alpha ,\beta ,\gamma$を代入しできた連立方程式;$f(\alpha )=p{\alpha }^{2}+q\alpha +r$, $f(\beta )=p{\beta }^{2}+q\beta +r$, $f(\gamma )=p{\gamma }^{2}+q\gamma +r$を解いて、剰余式の係数$p,q,r$を求める。

     （コメント）

     大学入試等に出題される場合、$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$は基本的に因数分解により解は簡単に求められ（$x=0,\pm 1,\pm 2,\pm {\frac {1}{2}}$であることが多い）、また、$f(\alpha ),f(\beta ),f(\gamma )$も$f(x)=x^{n}$などであって簡単に求められるよう設定されている。除多項式が簡単に因数分解できない場合などは、この方法での解答は求められていない。

   　

   • $f(x)$を3次式$(x-a)^{3}$ で割った余り$r(x)$;

     　

     $r(x)={\frac {f^{\prime \prime }(a)}{2}}x^{2}+\{f^{\prime }(a)-af^{\prime \prime }(a)\}x+f(a)-af^{\prime }(a)+{\frac {a^{2}f^{\prime \prime }(a)}{2}}$

     　

     なお、$f(x)$が$(x-a)^{3}$ で割り切れる必要十分条件は、$f(a)=f^{\prime }(a)=f^{\prime \prime }(a)=0$

     　

     （解法）

     $f(x)=Q(x)(x-a)^{3}+px^{2}+qx+r$とおくと、

     $f^{\prime }(x)=Q^{\prime }(x)(x-a)^{3}+3Q(x)(x-a)^{2}+2px+q$

     $f^{\prime \prime }(x)=Q^{\prime \prime }(x)(x-a)^{3}+3Q^{\prime }(x)(x-a)^{2}+3Q^{\prime }(x)(x-a)^{2}+6Q(x)(x-a)+2p$となり、

     $x=a$を代入すると、$f(a)=pa^{2}+qa+r$, $f^{\prime }(a)=2pa+q$, $f^{\prime \prime }(a)=2p$を得るので、これらを剰余式の係数$p,q,r$について解く。

特殊な剰余の計算

上記で見られるように、除多項式が$n$次であれば、剰余式は(高々)$n-1$次であり、剰余式を求める計算において、各項の係数と定数を合わせた未知数は$n$個ともなる。$n$個の未知数を求めるには、$n$個の方程式（$n$元1次方程式）を解くことになるが、初等数学（高校までの数学）においては、4元以上の連立方程式を解く問題が出題されることはごく稀なので（未知数を1個ずつ減らすプロセスなので、無理な出題ではないが、労力の割に教育的意義は低い）、除多項式が3次以上のものが出題された場合、解法には上記の剰余定理以外を用いると考えた方がいい。

例. $x^{m}$を$n$次式$f(x)$(ただし、$m>n$)で割った剰余。（例題・特殊な剰余計算参照）

（解法）

$f(x)$にある関数$g(x)$をかけると、$f(x)g(x)=x^{k}+c$ ( $c$は定数、$k$は、$m>k$で、$m=kp+q$ [$q<k$]とする)と変形できる場合がある。

これを、$x^{k}=f(x)g(x)-c$と変形し、$x^{m}$に代入。

$x^{m}=x^{kp+q}={x^{kp}}{x^{q}}=(x^{k})^{p}{x^{q}}=\{f(x)g(x)-c\}^{p}{x^{q}}$

二項定理より、

$=\left(\{f(x)g(x)\}^{p}+p\{f(x)g(x)\}^{p-1}(-c)+\cdots +pf(x)g(x)(-c)+(-c)^{p}\right)^{p}{x^{q}}=\{f(x)G(x)+(-c)^{p}\}{x^{q}}=f(x)G(x){x^{q}}+(-c)^{p}{x^{q}}$

したがって、$x^{m}$を$f(x)$で割った剰余は、$(-c)^{p}{x^{q}}$となる。

方程式

解の公式

• 1次方程式 $ax+b=0$ の解の公式:

  $x=-{\frac {b}{a}}$

　

• 2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解の公式：

  $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

  • $ax^{2}+2bx+c=0$ の場合：

    $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-ac}}}{a}}$

  • $x^{2}+bx+c=0$ ($ax^{2}+bx+c=0$ において $a=1$) の場合 :

    $x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}}$

  ※上記の3つの公式の根号の中の式は、各方程式の判別式Dとなる。

2元1次方程式

${\begin{cases}ax+by=p\\cx+dy=q\end{cases}}$

　（但し、$ad-bc\neq 0$）

の解、

$x={\frac {dp-bq}{ad-bc}}$

$y={\frac {-cp+aq}{ad-bc}}$　

行列を用いた表現

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}$

右から、逆行列をかけると、

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}dp-bq\\-cp+aq\end{pmatrix}}$

解と係数の関係

• 2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$の2つの解を$\alpha ,\beta$とすると：

  $ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$

  であり、この$\alpha ,\beta$は次の関係式を満たす。

  $\alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}$

  $\alpha \beta ={\frac {c}{a}}$

  • $x^{2}+bx+c=0$ ($ax^{2}+bx+c=0$ において $a=1$) の2つの解を$\alpha ,\beta$とすると：

    $x^{2}+bx+c=(x-\alpha )(x-\beta )=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta$

    であり、この$\alpha ,\beta$は次の関係式を満たす。

    零点の和 : $\alpha +\beta =-b$

    零点の積 : $\alpha \beta =c$

　

• 3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$の3つの解を$\alpha ,\beta ,\gamma$とすると：

  $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$

  であり、この$\alpha ,\beta ,\gamma$は次の関係式を満たす。

  $\alpha +\beta +\gamma =-{\frac {b}{a}}$

  $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha ={\frac {c}{a}}$

  $\alpha \beta \gamma =-{\frac {d}{a}}$

• 2次方程式及び3次方程式においては、方程式の係数から、方程式の解を要素とする基本対称式の値を得ることができる。

方程式の解の存在条件

• $n$次方程式の解の個数は、高々$n$個である。

  $n$が奇数である時、少なくとも1個の実数解を有する。

• 2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$に関して、

  $D=b^{2}-4ac$（判別式）とする時、

  1. $D>0\Leftrightarrow$この2次方程式は2個の異なる実数解を持つ。
  2. $D=0\Leftrightarrow$この2次方程式は1個の実数解（重解/重根）を持つ。
  3. $D<0\Leftrightarrow$この2次方程式は2個の異なる虚数解を持つ（実数解を持たない）。

• 3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$($a\neq 0$)に関して、
  1. 実数解を$\alpha$として、$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-\alpha )(x^{2}+px+q)=0$と因数分解できる場合

     $D=p^{2}-4q$（判別式）として、

     1. $D<0\Leftrightarrow$この3次方程式は1個の実数解$\alpha$と2個の異なる虚数解を持つ（有する実数解は1個である）。
     2. $D=0$である時、
        1. かつ、$x^{2}+px+q=(x-\alpha )^{2}\Leftrightarrow$この3次方程式は実数解$\alpha$（重解/重根）のみを持つ。
        2. かつ、$x^{2}+px+q=(x-\beta )^{2}$　但し、$\alpha \neq \beta$$\Leftrightarrow$この3次方程式は$\alpha$と$\beta$（重解/重根）の2個の異なる実数解を持つ。
     3. $D>0\Leftrightarrow$である時、
        1. かつ、$x^{2}+px+q=(x-\alpha )(x-\beta )$　但し、$\alpha \neq \beta$$\Leftrightarrow$この3次方程式は$\alpha$（重解/重根）と$\beta$の2個の異なる実数解を持つ。
        2. かつ、$\alpha ^{2}+p\alpha +q\neq 0\Leftrightarrow$この3次方程式は3個の異なる実数解を持つ。

  2. 微分を用いる解法。

     $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$に対して、$f^{\prime }(x)=3ax^{2}+2bx+c$。

     2次方程式$3ax^{2}+2bx+c=0$の判別式$D=b^{2}-3ac$、この2次方程式に実数解がある場合の解を各々$\alpha ,\beta$（但し、$\alpha <\beta$）とする。

     1. $D<0\Leftrightarrow$この3次方程式は1個の実数解と2個の異なる虚数解を持つ（有する実数解は1個である）。
     2. $D=0\Leftrightarrow$この3次方程式は1個の実数解を持つ。
        1. かつ$f({\frac {b}{3a}})\neq 0\Leftrightarrow$この3次方程式は1個の実数解と2個の異なる虚数解を持つ。
        2. かつ$f({\frac {b}{3a}})=0\Leftrightarrow$この3次方程式は1個の実数解${\frac {b}{3a}}$（重解/重根）のみを持つ。
     3. $D>0$である時、
        1. かつ$f(\alpha )=0\Leftrightarrow$この3次方程式は実数解$\alpha$（重解/重根）と$\beta <x_{1}$となる別の解$x_{1}$の2個の実数解を持つ。
        2. かつ$f(\beta )=0\Leftrightarrow$この3次方程式は実数解$\beta$（重解/重根）と$x_{1}<\alpha$となる別の解$x_{1}$の2個の実数解を持つ。
        3. かつ$f(\alpha )\cdot f(\beta )\neq 0\Leftrightarrow$この3次方程式は3個の実数解$x_{1},x_{2},x_{3}$を持ち、$x_{1}<\alpha <x_{2}<\beta <x_{3}$となる。

不等式

絶対不等式

基本形 ;$a,b,c$は、正の実数である場合。

• ${\frac {a+b}{2}}\geq {\sqrt {ab}}$

  等号成立は$a=b$ のときのみ。

  ∵ ${\frac {a+b}{2}}-{\sqrt {ab}}={\frac {1}{2}}({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})^{2}\geq 0$

• ${\frac {a+b+c}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{abc}}$

  等号成立は$a=b=c$ のときのみ。

  ∵ ${\frac {a+b+c}{3}}-{\sqrt[{3}]{abc}}={\frac {1}{3}}({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}+{\sqrt[{3}]{c}})({\sqrt[{3}]{a}}^{2}+{\sqrt[{3}]{b}}^{2}+{\sqrt[{3}]{c}}^{2}-{\sqrt[{3}]{a}}{\sqrt[{3}]{b}}-{\sqrt[{3}]{b}}{\sqrt[{3}]{c}}-{\sqrt[{3}]{c}}{\sqrt[{3}]{a}})={\frac {1}{6}}({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}+{\sqrt[{3}]{c}})\{({\sqrt[{3}]{a}}-{\sqrt[{3}]{b}})^{2}+({\sqrt[{3}]{b}}-{\sqrt[{3}]{c}})^{2}+({\sqrt[{3}]{c}}-{\sqrt[{3}]{a}})^{2}\}\geq 0$

拡張

• 正の実数からのみ成る数列 $\{a_{n}\}$ に対し、

  ${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

等号成立は $a_{1}=a_{2}=$ … $=a_{n}$ のときのみ。（相加平均と相乗平均の関係式）

• 複素数から成る数列 $\{a_{n}\}$ に対し、

  $|a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|\leq |a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$

等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。（三角不等式）

• 二つの数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$ に対し、

  $|a_{1}{\bar {b_{1}}}+a_{2}{\bar {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\bar {b_{n}}}|^{2}\leq (a_{1}{\bar {a_{1}}}+a_{2}{\bar {a_{2}}}+\cdots +a_{n}{\bar {a_{n}}})(b_{1}{\bar {b_{1}}}+b_{2}{\bar {b_{2}}}+\cdots +b_{n}{\bar {b_{n}}})$

等号成立は、複素数 $z$ で $b_{1}=za_{1}$, $b_{2}=za_{2}$, ..., $b_{n}=za_{n}$ が全て成り立つようなものが存在するときに限る。（コーシー・シュワルツの不等式）

2次不等式

• 2次不等式 $ax^{2}+bx+c\gtrless 0$ の解法：

  $a>0$であり^※、$ax^{2}+bx+c=0$の解を$\alpha ,\beta$（但し、$\alpha ,\beta$は実数であり^※2、$\alpha <\beta$）とする。

  ※:$a<0$ならば、$-a=d$とし、$ax^{2}+bx+c\gtrless 0$を$dx^{2}+(-b)x+(-c)\lessgtr 0$として評価。

  $ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$であるので、

  • $ax^{2}+bx+c>0\Leftrightarrow x<\alpha ,\beta <x$
  • $ax^{2}+bx+c<0\Leftrightarrow \alpha <x<\beta$

  　

  • 解の公式を用いると、$\alpha ={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\beta ={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$であるので、

  　

  • $ax^{2}+bx+c>0\Leftrightarrow x<{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}<x$

  　

  • $ax^{2}+bx+c<0\Leftrightarrow {\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}<x<{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

  　

  ※2:$ax^{2}+bx+c=0$が異なる2個の実数解を持たない場合の$ax^{2}+bx+c\gtrless 0$ の評価

  1. $ax^{2}+bx+c=0$が重解を持つ（$b^{2}-4ac=0$）とき。
     • $ax^{2}+bx+c\gtrless 0$の解は$x=-{\frac {b}{2a}}$であって、不等式を成立させる$x$は存在しない。
  2. $ax^{2}+bx+c=0$が虚数解を持つ（$b^{2}-4ac<0$）とき。
     1. $a>0$ならば、
        1. $ax^{2}+bx+c>0$は、全ての実数$x$で成立する。
        2. $ax^{2}+bx+c\leq 0$を成立させる$x$は存在しない。
     2. $a<0$ならば、
        1. $ax^{2}+bx+c<0$は、全ての実数$x$で成立する。
        2. $ax^{2}+bx+c\geq 0$を成立させる$x$は存在しない。

3次不等式

• 3次不等式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\gtrless 0$ の解法：

  $a>0$であり^※、$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$の解が$\alpha ,\beta ,\gamma$（但し、$\alpha ,\beta ,\gamma$は実数であり、$\alpha <\beta <\gamma$）とする。$\alpha ,\beta ,\gamma$が、この関係にない場合は後述する。

  ※:$a<0$ならば、$-a=e$とし、$ax^{3}+bx^{2}+cx+d\gtrless 0$を$ex^{3}+(-b)x^{2}+(-c)x+(-d)\lessgtr 0$として評価。

  $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$とすると、$f(x)=a(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )$である。

  　

  この時、各要素の正負とそれをかけ合わせた式全体の正負は、以下のとおりとなる。

各要素の正負と式全体の正負

	$x-\alpha$	$x-\beta$	$x-\gamma$	$f(x)$
① $x<\alpha$	$-$	$-$	$-$	$-$
② $\alpha <x<\beta$	$+$	$-$	$-$	$+$
③ $\beta <x<\gamma$	$+$	$+$	$-$	$-$
④ $\gamma <x$	$+$	$+$	$+$	$+$

• 以上から、
  1. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d<0\Leftrightarrow$ $x<\alpha$, $\beta <x<\gamma$（表①③）
  2. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\Leftrightarrow$ $\alpha <x<\beta$, $\gamma <x$（表②④）

　

• 3次不等式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d\gtrless 0$ と3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$の関係

  ※「方程式の解の存在条件 3次方程式」も参照。

  3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$($a>0$とする。$a<0$の場合、大小・増減を入れ替え考察)に関して、実数解を各々$x_{0}$,$x_{1}$,$x_{2}$（$x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2}$）とする。条件によっては、$x_{1}$,$x_{2}$は存在しない場合もある。

  さらに、微分の知識を用いて、$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$に対して、$f^{\prime }(x)=3ax^{2}+2bx+c$、ここで、2次方程式$3ax^{2}+2bx+c=0$の判別式$D=b^{2}-3ac$、この2次方程式に実数解がある場合の解を各々$\alpha ,\beta$（但し、$\alpha <\beta$）とする。

  なお以下において、条件に、$f(x)=0,f(\alpha )=0,f(\beta )=0$など、等号成立の場合、存在条件が付加されうるが、場合分けが煩雑になるため割愛する。上記3次方程式の解の存在条件と組み合わせて考察する。

  1. $D\leq 0$であるとき、$f(x)$は単調に増加する。したがって、
     1. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d<0\Leftrightarrow$ $x<x_{0}$
     2. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\Leftrightarrow$ $x_{0}<x$
  2. $D>0$であるとき、$f(x)$は$\alpha$で極大値$f(\alpha )$を、$\beta$で極小値$f(\beta )$をとる。したがって、
     1. $f(\alpha )<0$であるとき、

        なお、この時、$\beta <x_{0}$

        1. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d<0\Leftrightarrow$ $x<x_{0}$
        2. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\Leftrightarrow$ $x_{0}<x$
     2. $f(\alpha )>0,f(\beta )<0$であるとき、

        なお、この時、$x_{0}<\alpha <x_{1}<\beta <x_{2}$

        1. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d<0\Leftrightarrow$ $x<x_{0},x_{1}<x<x_{2}$
        2. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\Leftrightarrow$ $x_{0}<x<x_{1},x_{2}<x$
     3. $f(\beta )>0$であるとき、

        なお、この時、$x_{0}<\alpha$

        1. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d<0\Leftrightarrow$ $x<x_{0}$
        2. $ax^{3}+bx^{2}+cx+d>0\Leftrightarrow$ $x_{0}<x$

行列

ここでは行列はすべて2次正方行列とする。$O$をすべての元が$0$である行列 $O={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}$ （零行列）とし、$E$を任意の2次正方行列$A$に対して$AE=EA=A$となる行列 $E={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$ （2次単位行列）とする。任意の2次正方行列$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$ に対し、次が成り立つ。

• $AA^{-1}=A^{-1}A=E$となる行列を逆行列といい、$A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{pmatrix}}$(ただし、$ad-bc\neq 0$) で与えられる。

• $A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)E=O$　（ケイリー・ハミルトンの定理）

一次変換

平面座標上の点$(x,y)$を、以下の式によって点$(X,Y)$に移す操作を一次変換という。

${\begin{cases}ax+by=X\\cx+dy=Y\end{cases}}$

　（但し、$ad-bc\neq 0$）

これを行列を用いて表現する。

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}$

以下に、代表的な変換行列を示す。

• 原点を中心とする$\theta$回転

  ${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}$

  • 原点に関する対称移動$\left(\theta =\pi \right)$

    ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$

• 直線$x\sin \theta -y\cos \theta =0$に関する対称移動（※証明）

  ${\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \\\end{pmatrix}}$

  • $x$軸に関する対称移動$\left(\theta =0\right)$

    ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$

  • $y$軸に関する対称移動$\left(\theta ={\frac {\pi }{2}}\right)$

    ${\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

  • 直線$y=x$に関する対称移動$\left(\theta ={\frac {\pi }{4}}\right)$

    ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}$

  • 直線$y=-x$に関する対称移動$\left(\theta ={\frac {3\pi }{4}}\right)$

    ${\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\\\end{pmatrix}}$

　

　

※証明

直線$x\sin \theta -y\cos \theta =0$に関する対称移動の操作は、

1. $-\theta$回転させることにより、対称軸を$x$軸に一致させる（操作1）。
2. $x$軸に関する対称移動を行う（操作2）。
3. $\theta$回転させることにより、対称軸を元にもどす（操作3）。

ことによって実現できる。

これを、平面上の点$(x_{0},y_{0})$に対して行うと、

操作1

${\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(-\theta )&-\sin(-\theta )\\\sin(-\theta )&\cos(-\theta )\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}$

操作2

${\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}$

操作3

${\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &-\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta &2\sin \theta \cos \theta \\2\sin \theta \cos \theta &-(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}$

倍角公式より

$={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{pmatrix}}$