展開公式[編集]
解説はこちらのページをご覧ください
- 基本公式



- 累乗





- 応用





の展開式の一般項(多項定理):
(ただし、n=p + q + r)







式の変形[編集]








絶対不等式[編集]
基本形 ;
は、正の実数である場合。
- 等号成立は
のときのみ。
- ∵

- 等号成立は
のときのみ。
- ∵
![{\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}-{\sqrt[{3}]{abc}}={\frac {1}{3}}({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}+{\sqrt[{3}]{c}})({\sqrt[{3}]{a}}^{2}+{\sqrt[{3}]{b}}^{2}+{\sqrt[{3}]{c}}^{2}-{\sqrt[{3}]{a}}{\sqrt[{3}]{b}}-{\sqrt[{3}]{b}}{\sqrt[{3}]{c}}-{\sqrt[{3}]{c}}{\sqrt[{3}]{a}})={\frac {1}{6}}({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}+{\sqrt[{3}]{c}})\{({\sqrt[{3}]{a}}-{\sqrt[{3}]{b}})^{2}+({\sqrt[{3}]{b}}-{\sqrt[{3}]{c}})^{2}+({\sqrt[{3}]{c}}-{\sqrt[{3}]{a}})^{2}\}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71b7f93e501086263b9135db7acf74eff5e72b4)
拡張
- 正の実数からのみ成る数列
に対し、
![{\displaystyle {\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfb4601ce1fa0b83c97d132d3b8f21d9d1431469)
- 等号成立は a1 = a2 = … = an のときのみ。(相加平均と相乗平均の関係式)
- 複素数から成る数列
に対し、

- 等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。(三角不等式)
- 二つの数列
,
に対し、

- 等号成立は、複素数 z で b1 = za1, b2 = za2, ..., bn = zan が全て成り立つようなものが存在するときに限る。(コーシー・シュワルツの不等式)
方程式[編集]
- 1次方程式
の解の公式:

- 2次方程式
の解の公式:
の場合:

(
において
) の場合 :

- ※上記の3つの公式の根号の中の式は、各方程式の判別式Dとなる。
- 2次方程式
の2つの解を
とすると:

- であり、この
は次の関係式を満たす。(解と係数の関係)


(
において
) の2つの解を
とすると:

- であり、この
は次の関係式を満たす。(解と係数の関係)
- 零点の和 :

- 零点の積 :

- 3次方程式
の3つの解を
とすると:

- であり、この
は次の関係式を満たす。(解と係数の関係)



2元1次方程式[編集]
- (但し、
)
- の解、

- 行列を用いた表現
- 右から、逆行列をかけると、

数の性質[編集]
- 自然数Nが相異なる素数
を用いて
と素因数分解されるとき、
- Nの約数の個数は

- また、その約数の総和は
=
- 自然数Q,Nに対し、1以上Q以下のNの倍数の個数。:
ただし、
は
以下最大の整数を表す。
- 自然数P,Q,Nに対し、P以上Q以下のNの倍数の個数

- 自然数a,bについて、それらの最大公約数をg、最小公倍数をlとすると、以下の関係が成り立つ。:

- 奇数の和:

- a、bを互いに素な整数とするとき、1次不定方程式
を満たす整数解:
(kは整数)
を整数とする。1次不定方程式
が整数解
を持つ必要十分条件は
整数の合同[編集]
が
以上の整数として、
を
で割った剰余が
を
で割った剰余と等しいときに、「二つの整数
が法
に関して合同である」といい、以下の記号で示す。

- 代数的性質
ならば任意の整数
に対して
- したがって、
ならば、

(ただし、
)
- 加比の理
ならば、
(
は、
である任意の実数)
ならば、
(
は、
である任意の実数)



複素数[編集]
- 複素数の基本
- 以下において
は実数。
- 複素数の相当条件
ならば、
- 特に、
ならば、
- 共役複素数
- 複素数
の共役複素数の定義;
(実数)
(実数)
- 複素数の絶対値
- 複素数
の絶対値の定義;
- 1の立方根
を解くと、
、虚数解のいずれかを
とおくと、以下の関係が成立している。
(複号同順)、従って、
は、
でない方の虚数解で、1の立方根は( 1,
,
(=
) ) となる。
, 
, 

(オイラーの式)

- 複素数のべき乗:(ド・モアブルの定理)

- 1の
乗根
の解を、
とすると、

- 複素数
の累乗
- ただし、

多項式[編集]
剰余の定理と因数定理[編集]
多項式
を
で割った余りは
である。(剰余の定理)
とくに
のとき、多項式
は
を因数に持つ。(因数定理)
ここでは行列はすべて2次正方行列とする。
をすべての元が
である行列
(零行列)とし、
を任意の2次正方行列
に対して
となる行列
(2次単位行列)とする。任意の2次正方行列
に対し、次が成り立つ。
となる行列を逆行列といい、
(ただし、
) で与えられる。
(ケイリー・ハミルトンの定理)
一次変換[編集]
- 原点を中心とする
回転

- 原点に関する対称移動

- 直線
に関する対称移動

軸に関する対称移動

軸に関する対称移動

- 直線
に関する対称移動

- 直線
に関する対称移動
