初等数学公式集/初等代数

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展開公式[編集]

解説はこちらのページをご覧ください

  • 基本公式
  • 累乗
  • 応用
    • の展開式の一般項(多項定理):
      • (ただし、n=p + q + r)

式の変形[編集]

絶対不等式[編集]

  • 正の実数からのみ成る数列 に対し、
等号成立は a1 = a2 = … = an のときのみ。(相加平均と相乗平均の関係式)
  • 複素数から成る数列 に対し、
等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。(三角不等式)
  • 二つの数列 , に対し、
等号成立は、複素数 zb1 = za1, b2 = za2, ..., bn = zan が全て成り立つようなものが存在するときに限る。(コーシー・シュワルツの不等式)

方程式[編集]

  • 1次方程式 の解の公式:


  • 2次方程式 の解の公式:
    • の場合:
    • ( において ) の場合 :
    ※上記の3つの公式の根号の中の式は、各方程式の判別式Dとなる。


  • 2次方程式 の2つの解をとすると:
    であり、このは次の関係式を満たす。(解と係数の関係)
    • ( において ) の2つの解をとすると:
      であり、このは次の関係式を満たす。(解と係数の関係)
      零点の和 :
      零点の積 :


  • 3次方程式 の3つの解をとすると:
    であり、このは次の関係式を満たす。(解と係数の関係)

2元1次方程式[編集]

 (但し、
の解、
 
行列を用いた表現
右から、逆行列をかけると、

数の性質[編集]

整数[編集]

  • 自然数Nが相異なる素数を用いてと素因数分解されるとき、
Nの約数の個数は
また、その約数の総和は=
  • 自然数Q,Nに対し、1以上Q以下のNの倍数の個数。:
     ただし、以下最大の整数を表す。
    • 自然数P,Q,Nに対し、P以上Q以下のNの倍数の個数
  • 自然数a,bについて、それらの最大公約数をg、最小公倍数をlとすると、以下の関係が成り立つ。:
  • 奇数の和:
  • abを互いに素な整数とするとき、1次不定方程式を満たす整数解:
     (kは整数)
  • を整数とする。1次不定方程式が整数解を持つ必要十分条件は

整数の合同[編集]

以上の整数として、 で割った剰余が で割った剰余と等しいときに、「二つの整数 に関して合同である」といい、以下の記号で示す。

代数的性質
  • ならば任意の整数 に対して
    したがって、 ならば、
    (ただし、)

分数[編集]

  • 加比の理
     ならば、  (は、である任意の実数)
     ならば、   (は、である任意の実数)

複素数[編集]

  • 複素数の基本
    以下においては実数。
    • 複素数の相当条件
      ならば、
      特に、 ならば、
    • 共役複素数
      複素数 の共役複素数の定義;
      (実数)
      (実数)
    • 複素数の絶対値
      複素数 の絶対値の定義;
  • 1の立方根
    を解くと、、虚数解のいずれかをとおくと、以下の関係が成立している。
    • (複号同順)、従って、は、でない方の虚数解で、1の立方根は( 1, , (=) ) となる。
    • ,
    • ,
  •  (オイラーの式)
  • 複素数のべき乗:(ド・モアブルの定理)
    • 1の乗根
      の解を、とすると、
    • 複素数 の累乗
      ただし、

多項式[編集]

剰余の定理と因数定理[編集]

多項式 で割った余りは である。(剰余の定理)

とくに のとき、多項式 を因数に持つ。(因数定理)

行列[編集]

ここでは行列はすべて2次正方行列とする。をすべての元がである行列 (零行列)とし、を任意の2次正方行列に対してとなる行列 (2次単位行列)とする。任意の2次正方行列 に対し、次が成り立つ。

  • となる行列を逆行列といい、(ただし、) で与えられる。
  •  (ケイリー・ハミルトンの定理)

一次変換[編集]

  • 原点を中心とする回転
    • 原点に関する対称移動
  • 直線に関する対称移動
    • 軸に関する対称移動
    • 軸に関する対称移動
    • 直線に関する対称移動
    • 直線に関する対称移動