初等数学公式集/初等代数/剰余計算・例題・特殊な剰余計算

特殊な剰余の計算

$x^{m}$を$n$次式$f(x)$(ただし、$m>n$)で割った剰余。

　

設問例

$x^{2023}-1$を$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$で割った余りを求めよ。(京都大学 理系数学 2023年 第1問問2)

---

解法

（解答の方針）

「公式集」より除多項式を、$x^{n}$の式が出てくるように変形する。

　

$f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$とする。

$x-1$をかけると、$(x-1)f(x)=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)=x^{5}-1$

$x^{5}=(x-1)f(x)+1$

　

$x^{2023}=x^{5\cdot 404\cdot 3}=((x-1)f(x)+1)^{404}x^{3}$（※）

2項定理より、$((x-1)f(x)+1)^{404}=((x-1)f(x))^{404}+404((x-1)f(x))^{403}+\cdots +404((x-1)f(x))+1$、

定数項以外は$(x-1)f(x)$を共通因数に持つので、定数項以外の項を、$(x-1)f(x)G(x)$と表すことができ、

※$=((x-1)f(x)G(x)+1)x^{3}=x^{3}(x-1)f(x)G(x)+x^{3}$ となる。

前項は$f(x)$を含む式であるため、$x^{2023}-1$を$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$で割った余りは、$x^{3}-1$となる。