初等数学公式集/初等幾何/体積

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このページでは体積の公式の解説をします。

直方体の体積[編集]

V = abh

立方体の体積[編集]

V = a3

柱体の体積[編集]

V = Sh

錐体の体積[編集]

錐体

錐体の頂点から底面(右図では)に垂線を下して、頂点からの距離で底面と平行に錐体を切り取ったことで得られる図形をとする。

この時、錐体の定義から、は相似である。

相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しいことから、

従って、

錐体の体積は、平面図形に関して、の区間で変化させ累積したものであるから、を区間で積分することにより得られる。

錐台の体積[編集]

錐台

上底の面積 (右図では)、下底の面積 (右図では)、高さ の錐台の体積

錐台は、別名「切頭錐体」のとおり、を底とする錐体:から、を底とする相似な錐体:を除いたものとされる。

錐体:の高さを とすると、錐体:の高さは となり、各々の体積は、

, となるので、求める体積(※)となる。

相似比と面積比の関係から、

従って、

これを、※に代入すると、以下の式を得る。

くさび形の体積[編集]

くさび形
  • 下底が 縦のながさ a、横のながさ bの長方形、縦と平行である上辺のながさ c、高さ hくさび形の体積 V

くさび形の上辺から底面に垂線を下して、頂点からの距離で底面と平行にくさび形を切り取ったことで得られる図形(長方形)をとする。

この長方形の縦横は比例の関係から以下のとおりとなる。

  • 縦:, 横:

くさび形の体積は、平面図形に関して、の区間で変化させ累積したものであるから、を区間で積分することにより得られる。

正多面体の体積[編集]

正四面体の体積[編集]

正四面体の体積.png
まず底面から計算します。
正四面体の頂上の頂点は、底面を形成する3点から等しい位置にあるので、
そこから真下へ線を伸ばしたとき、その線と底面との交点は、3点から等しい位置、即ち中心(外心、内心、重心、垂心)に位置することになります。
さらに底面の図形は正三角形なので、それぞれの点から中心をとおり、対辺に繋がる線分を引くと、3線全てが、対辺を垂直に2等分します。
このとき、この線分の長さ(右図上の赤線の長さ)は、三平方の定理によって、
次に青線2本と緑線1本で形成される二等辺三角形に、緑線を対象の軸とした線対称な二等辺三角形を作図します。
この二等辺三角形は、底角が30゚(正三角形の角の2等分線であるため)なので、2つ繋げると60゚になります。
2辺が等しく、その間の角が60゚である二等辺三角形は正三角形なので、
右図上の黒線全体の長さは、青線の長さに等しく、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分するため、
この黒線のうち正三角形の内側に入る黒線の長さは、青線の長さの半分、つまり、赤線の長さのとなります。
逆に青線の長さは赤線の長さのなので、
続いて高さ。高さはこれまでに調べた長さと三平方の定理を利用すれば、
底面積、高さが出たので、

立方体から考える[編集]

正四面体の体積2.png 正四面体の体積は、立方体との関係からも導出することができます。
立方体と頂点を共有した正四面体は、全ての辺が立方体の面の対角線になっています。
よって、立方体から余った体積を引けば、正四面体の体積を導き出すことができます。

正四面体の1辺の長さをaとします。
余った部分は全部で4つありますが、辺の長さは全てそれぞれ等しいので、これらは合同になります。

立方体の1辺の長さは、正方形の辺と対角線の長さの比「」から、

余った部分は三角錐とみなすことができるので、角錐の体積から、




最後に立方体から角錐4つを引きます。





正八面体の体積[編集]

高さは底面の対角線の交点から求めることができます。

正八面体は、体積の等しい正四角錐が2つあると見ることができます。
それらの角錐の高さは、角錐の底面の対角線の交点から求めることができます。
底面に対し、頂上の頂点と底面の対角線の交点を結ぶ直線は垂直になるので、
高さは、角錐の母線と対角線から、三平方の定理で導出できます。

対角線の長さは、

対角線は互いの中点で交わるので、

高さは、母線と対角線の半分から、

実は、正八面体はどこで正四角錐2つに分離しても、高さは同一であるため、対角線の半分が既に高さになっています。
最後に、錐体の体積の公式から、

正十二面体の体積[編集]

正二十面体の体積[編集]

球の体積[編集]

である球を考える。
でこの球を切断すると、半径である円;を得るが、この円;の面積はである。
球の体積は、この円;に関して、の区間で変化させ累積したものであるから、を区間で積分することにより得られる。
= = = = =

円環体(トーラス)の体積[編集]

Wikipedia
ウィキペディアトーラスの記事があります。
円環体・トーラス

半径の円;を、円の中心からの距離(但し、 ≦ とする)の直線を軸として回転させた円環体(トーラス、ドーナツ型)

(参考)
  • この時、 半径を「小半径」、半径を「大半径」と呼ぶこともある。
  • 円環体の内縁部の円の半径と外縁部の円の半径が与えられることもある。この時は、以下の関係を利用し考察。
    ,
円環体の切断図形

(解法)

円;の中心から距離(0≦)の位置で、円環体の回転軸に垂直に切り取ると、半径;の円を内側の円;とし、半径;の円;を外側の円とする図形が得られる。
この図形の面積をとすると、
これを、の区間で変化させ累積すると、円環体の1/2の体積;が得られる。
を解く。(置換積分法を利用)
  • と置く。
で微分すると、 
  • の時、
  • の時、
( であるので、)
( )
 
後式は、「平面上にある図形の面積をとし、と同じ平面上にありを通らない軸の周りでを一回転させた回転体の体積をとする。回転させる図形の重心から回転軸までの距離をとしたとき、
が成り立つ」というパップス=ギュルダンの定理第二定理と一致している。