このページでは体積の公式の解説をします。
直方体の体積[編集]
V = abh
立方体の体積[編集]
V = a3
柱体の体積[編集]
V = Sh
錐体の体積[編集]
錐体の頂点から底面
(右図では
)に垂線を下して、頂点から
の距離で底面と平行に錐体を切り取ったことで得られる図形を
とする。
この時、錐体の定義から、
と
は相似である。
相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しいことから、
従って、
錐体の体積は、平面図形
に関して、
の区間で変化させ累積したものであるから、
を区間
で積分することにより得られる。

錐台の体積[編集]
上底の面積
(右図では
)、下底の面積
(右図では
)、高さ
の錐台の体積
錐台は、別名「切頭錐体」のとおり、
を底とする錐体:
から、
を底とする相似な錐体:
を除いたものとされる。
錐体:
の高さを
とすると、錐体:
の高さは
となり、各々の体積は、
,
となるので、求める体積
(※)となる。
相似比と面積比の関係から、

従って、






これを、※に代入すると、以下の式を得る。

くさび形の体積[編集]
- 下底が 縦のながさ a、横のながさ bの長方形、縦と平行である上辺のながさ c、高さ h のくさび形の体積 V:

くさび形の上辺から底面に垂線を下して、頂点から
の距離で底面と平行にくさび形を切り取ったことで得られる図形(長方形)を
とする。
この長方形の縦横は比例の関係から以下のとおりとなる。
- 縦:
, 横:


くさび形の体積は、平面図形
に関して、
の区間で変化させ累積したものであるから、
を区間
で積分することにより得られる。

正多面体の体積[編集]
正四面体の体積[編集]
- まず底面から計算します。
- 正四面体の頂上の頂点は、底面を形成する3点から等しい位置にあるので、
- そこから真下へ線を伸ばしたとき、その線と底面との交点は、3点から等しい位置、即ち中心(外心、内心、重心、垂心)に位置することになります。
- さらに底面の図形は正三角形なので、それぞれの点から中心をとおり、対辺に繋がる線分を引くと、3線全てが、対辺を垂直に2等分します。
- このとき、この線分の長さ(右図上の赤線の長さ)は、三平方の定理によって、

- 次に青線2本と緑線1本で形成される二等辺三角形に、緑線を対象の軸とした線対称な二等辺三角形を作図します。
- この二等辺三角形は、底角が30゚(正三角形の角の2等分線であるため)なので、2つ繋げると60゚になります。
- 2辺が等しく、その間の角が60゚である二等辺三角形は正三角形なので、
- 右図上の黒線全体の長さは、青線の長さに等しく、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分するため、
- この黒線のうち正三角形の内側に入る黒線の長さは、青線の長さの半分、つまり、赤線の長さの
となります。
- 逆に青線の長さは赤線の長さの
なので、

- 続いて高さ。高さはこれまでに調べた長さと三平方の定理を利用すれば、

- 底面積、高さが出たので、

立方体から考える[編集]
正四面体の体積は、立方体との関係からも導出することができます。
立方体と頂点を共有した正四面体は、全ての辺が立方体の面の対角線になっています。
よって、立方体から余った体積を引けば、正四面体の体積を導き出すことができます。
正四面体の1辺の長さをaとします。
余った部分は全部で4つありますが、辺の長さは全てそれぞれ等しいので、これらは合同になります。
立方体の1辺の長さは、正方形の辺と対角線の長さの比「
」から、

余った部分は三角錐とみなすことができるので、角錐の体積から、




最後に立方体から角錐4つを引きます。




正八面体の体積[編集]
高さは底面の対角線の交点から求めることができます。
正八面体は、体積の等しい正四角錐が2つあると見ることができます。
それらの角錐の高さは、角錐の底面の対角線の交点から求めることができます。
底面に対し、頂上の頂点と底面の対角線の交点を結ぶ直線は垂直になるので、
高さは、角錐の母線と対角線から、三平方の定理で導出できます。
対角線の長さは、

対角線は互いの中点で交わるので、

高さは、母線と対角線の半分から、




実は、正八面体はどこで正四角錐2つに分離しても、高さは同一であるため、対角線の半分が既に高さになっています。
最後に、錐体の体積の公式から、


正十二面体の体積[編集]
正二十面体の体積[編集]
球の体積[編集]
である球を考える。
でこの球を切断すると、半径
である円;
を得るが、この円;
の面積は
である。
- 球の体積は、この円;
に関して、
の区間で変化させ累積したものであるから、
を区間
で積分することにより得られる。
=
=
=
=
= 
円環体(トーラス)の体積[編集]
半径
の円;
を、円の中心からの距離
(但し、
≦
とする)の直線を軸として回転させた円環体(トーラス、ドーナツ型)
- (参考)
- この時、 半径
を「小半径」、半径
を「大半径」と呼ぶこともある。
- 円環体の内縁部の円の半径
と外縁部の円の半径
が与えられることもある。この時は、以下の関係を利用し考察。
, 
(解法)
- 円;
の中心から距離
(0≦
≦
)の位置で、円環体の回転軸に垂直に切り取ると、半径;
の円を内側の円;
とし、半径;
の円;
を外側の円とする図形が得られる。
- この図形の面積を
とすると、

- これを、
の区間で変化させ累積すると、円環体の1/2の体積;
が得られる。
を解く。(置換積分法を利用)
と置く。
を
で微分すると、
、
の時、
の時、

(
、
であるので、
)
(
)
![{\displaystyle =r^{2}\left[{\frac {\theta }{2}}+{\frac {\sin 2\theta }{4}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}={\frac {r^{2}\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f48df2c6e7c286e730ab659d8bcae1a03436f3b)

- 後式は、「平面上にある図形
の面積を
とし、
と同じ平面上にあり
を通らない軸
の周りで
を一回転させた回転体の体積を
とする。回転させる図形
の重心
から回転軸
までの距離を
としたとき、

- が成り立つ」というパップス=ギュルダンの定理第二定理と一致している。