平面図形[編集]
三角形[編集]
三平方の定理[編集]
- 直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると、以下の関係が成り立つ。:

- 三角形の三辺の長さa,b,cが
を満たすとき、この三角形は長さcの辺を斜辺とする直角三角形となる。
(参考) 三平方の定理
正弦定理[編集]
において、
, 外接円の半径を
とすると、

(参考)正弦定理
正弦定理の応用[編集]
一辺とその両端の角の大きさがわかっている時の、他の辺及び当該三角形の既知の辺に対する高さ(三角測量の原理)。
- 右の図において辺
が既知である時、



-
, 
余弦定理[編集]
において、
とすると
第一余弦定理[編集]



第二余弦定理[編集]



(参考)余弦定理
三角形における正接の性質[編集]
において、
とすると

メネラウスの定理・チェバの定理[編集]
メネラウスの定理。A→F→B→D→C→E→Aの順で循環する。
- メネラウスの定理
- 任意の直線
と三角形ABCにおいて、直線
とBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。

- チェバの定理
- 三角形ABCにおいて、任意の点
をとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点
は、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。

チェバの定理。点Oが三角形の内部にある場合
|
チェバの定理。点Oが三角形の外部にある場合
|
多角形[編集]
- n角形の内角の和:

- n角形の対角線の本数:

- 半径rの円の円周l:

- 半径r、中心角a(度)の扇形の弧の長さl:

- 半径rの円の中心点Oと弦ABとの距離をaとしたときの弦ABの長さ:

方べきの定理[編集]
- 点Pを通る2本の直線が円とそれぞれ2点A、Bと2点C、Dで交わっているとき(図1、図2):

- 円外の点Pを通る2本の直線の一方が点Tで円に接し、他方が2点A、Bで交わっているとき(図3):

方べきの定理・図1
|
方べきの定理・図2
|
方べきの定理・図3
|
(参考) 方べきの定理
立体図形[編集]
- 縦の長さa、横の長さb、高さh の直方体の対角線 l:

- 底面の半径をr、母線の長さ lの円錐の高さ h:

- 凸面体の頂点の数をv、辺の数をe、面の数をfとすると以下の関係が成り立つ(オイラーの多面体定理):

面積と体積[編集]
平面図形の面積[編集]
解説はこちらのページをご覧ください
- 三角形
- 底辺のながさ
、高さ
の三角形の面積
:

- 二辺のながさが
,
でその間の角が θ である三角形の面積
:

- ある辺のながさが
でその両端の角が θ, δ である三角形の面積
:
- ※上記「正弦定理の応用」で、底辺と両端の角から高さが求められることを利用。
- 三辺のながさが
,
,
で内接する円の半径が
である三角形の面積
:

- 三辺のながさが
,
,
である三角形の面積
:(ヘロンの公式)

- また、
とすると、
- 内接円の半径を
とすると、三角形の面積 
- 従って、

- 一辺のながさ
の正三角形の面積
:

直交対角線四角形
凧形
- 四角形
- 縦のながさ
、横のながさ
の長方形の面積
:

- 一辺のながさ
の正方形の面積
:

- 底辺のながさ
、高さ
の平行四辺形の面積
:

- 上底のながさ
、下底のながさ
、高さ
の台形の面積
:

- 対角線のながさ
、もう一つの対角線のながさ
でそれらが直行する四角形(直交対角線四角形 ⊃ 凧形・菱形・正方形)の面積
:

- 四辺の長さが
で円に内接する四角形の面積
:(ブラーマグプタの公式)

- また、
とすると、
- 正多角形
- 一辺のながさ
の正
角形の面積
:

- 円と扇形
- 半径
の円の面積
:

- 半径
、中心角
(度)の扇形の面積
:

- 半径
、中心角 θ(rad) の扇形の面積
:

- 半径
、弧の長さ
の扇形の面積
:

立体図形の表面積等[編集]
解説はこちらのページをご覧ください
- 縦のながさ
、横のながさ
、高さ
の直方体の表面積
:

- 底面積
:

- 側面積
:

- 一辺のながさ
の立方体の表面積
:

- 底面の周の長さ
、高さ
の柱体の側面積
:

円錐
- 円錐
- 底面が半径
、母線
の円錐:
- 側面積

- 表面積 = 側面積 + 底面積

- 底面が半径
、高さ
の円錐:
- 母線

- 側面積

- 表面積 = 側面積 + 底面積

3直角四面体
- 直角三角錐(3直角四面体)
- 三角錐
において,1つの頂点
に集まる3つの角
,
,
がいずれも直角である三角錐
- 以下、
とする。
- 頂点
から、
に下した垂線の長さ
;

の面積
;
- ド・グアの定理(通称:四平方の定理)
- 半径
の球の表面積
:

円環体・トーラス
- 半径
の円を、円の中心からの距離
(但し、
≦
とする)の直線を軸として回転させた円環体(トーラス、ドーナツ型) の表面積:

解説はこちらのページをご覧ください
直方体
円錐
錐台
くさび形
- 縦のながさ
、横のながさ
、高さ
の直方体の体積
:

- 一辺のながさ
の立方体の体積
:

- 底面積
、高さ
の柱体の体積
:

- 底面積
、高さ
の錐体の体積
:

- 円錐
- 底面が半径
、高さ
の円錐の体積
:

- 底面が半径
、母線
の円錐の体積
:
- 高さ


- 上底の面積
、下底の面積
、高さ
の錐台の体積
:

- 特に、上底が半径
の円、下底が半径
の円、高さ
の円錐台の体積
:

- 下底が 縦のながさ
、横のながさ
の長方形、縦と平行である上辺のながさ
、高さ
のくさび形の体積
:

- 一辺のながさ
の正四面体の体積
:

- 一辺のながさ
の正八面体の体積
:

- 一辺のながさ
の正十二面体の体積
:

- 一辺のながさ
の正二十面体の体積
:

円環体・トーラス
- 球の体積
:

- 半径
の円を、円の中心からの距離
(但し、
≦
とする)の直線を軸として回転させた円環体(トーラス、ドーナツ型) の体積:

ベクトル[編集]
以下に挙げる公式で空間ベクトルで成り立つものは、その
成分を
とした平面ベクトルでも成り立つ。
- 位置ベクトル:
とする時、
- 点
が、線分
を
に内分するならば、
- 特に、線分
の中点を
とし、
とすると、
において、その重心
について、
とすると、
- 点
が、線分
を
に外分するならば、
- 点
が、2点
を通る直線上の点とした時のベクトル方程式: 
- 点
が、空間上の3点
を通る平面上の点とした時のベクトル方程式: 
と
の成す角が
のとき
(内積の定義)
- 成分表示
- 平面ベクトルの場合、
,
とすると、

- 空間ベクトルの場合、
,
とすると、

,
のとき、

,
, O は原点とするときの三角形 OAB の面積
:
、ここで、
より
- 与式に代入して、

- とくに、
,
とすると、

- 二つのベクトル
,
に対し、

- よって、

- 等号成立は、実数 k があって
とできるときのみ。