初等数学公式集/初等幾何

平面図形

三角形

三平方の定理

• 直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると、以下の関係が成り立つ。:
  • $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
• 三角形の三辺の長さa,b,cが$a^{2}+b^{2}=c^{2}$を満たすとき、この三角形は長さcの辺を斜辺とする直角三角形となる。

(参考) 三平方の定理

正弦定理

$\bigtriangleup {ABC}$ において、$BC=a,CA=b,AB=c$, 外接円の半径を $R$ とすると、

• ${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$

(参考）正弦定理

正弦定理の応用

一辺とその両端の角の大きさがわかっている時の、他の辺及び当該三角形の既知の辺に対する高さ（三角測量の原理）。

右の図において辺$AB=c,\angle {A}=\alpha ,\angle {B}=\gamma$が既知である時、

${\frac {c}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin(\pi -(\alpha +\gamma ))}}={\frac {c}{\sin(\alpha +\gamma )}}={\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\gamma }}}$

$a={\frac {c\sin {\alpha }}{\sin(\alpha +\gamma )}},b={\frac {c\sin {\gamma }}{\sin(\alpha +\gamma )}}$

$h={\frac {c\sin \alpha \sin \gamma }{\sin(\alpha +\gamma )}}$

$AO=b\cos \alpha ={\frac {c\cos {\alpha }\sin {\gamma }}{\sin(\alpha +\gamma )}}$, $BO=a\cos \gamma ={\frac {c\sin {\alpha }\cos {\gamma }}{\sin(\alpha +\gamma )}}$

余弦定理

$\bigtriangleup {ABC}$ において、$BC=a,CA=b,AB=c,\alpha =\angle {CAB},\beta =\angle {ABC},\gamma =\angle {BCA}$ とすると

第一余弦定理

• $a=b\cos \gamma +c\cos \beta$
• $b=c\cos \alpha +a\cos \gamma$
• $c=a\cos \beta +b\cos \alpha$

第二余弦定理

• $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$
• $b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta$
• $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

（参考）余弦定理

三角形における正接の性質

$\bigtriangleup {ABC}$ において、$\alpha =\angle {CAB},\beta =\angle {ABC},\gamma =\angle {BCA}$ とすると

$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$

メネラウスの定理・チェバの定理

メネラウスの定理。A→F→B→D→C→E→Aの順で循環する。

• メネラウスの定理

  任意の直線$l$と三角形ABCにおいて、直線$l$とBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。

${AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1$

• チェバの定理

  三角形ABCにおいて、任意の点$O$をとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点$O$は、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。

${AF \over FB}\cdot {BD \over DC}\cdot {CE \over EA}=1$

チェバの定理。点Oが三角形の内部にある場合

チェバの定理。点Oが三角形の外部にある場合

多角形

• n角形の内角の和:

  $180(n-2)^{\circ }$

• n角形の対角線の本数:

  ${\frac {n(n-3)}{2}}$

円

• 半径rの円の円周l:

  • $l=2r\pi$

• 半径r、中心角a（度）の扇形の弧の長さl:

  • $l=2r\pi \cdot {\frac {a}{360}}$

• 半径rの円の中心点Oと弦ABとの距離をaとしたときの弦ABの長さ:

  $AB=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$

方べきの定理

• 点Pを通る2本の直線が円とそれぞれ2点A、Bと2点C、Dで交わっているとき(図1、図2):

  $PA\cdot PB=PC\cdot PD$

• 円外の点Pを通る2本の直線の一方が点Tで円に接し、他方が2点A、Bで交わっているとき(図3):

  $PA\cdot PB=PT^{2}$

方べきの定理・図1

方べきの定理・図2

方べきの定理・図3

(参考) 方べきの定理

立体図形

• 縦の長さa、横の長さb、高さh の直方体の対角線 l：

  $l={\sqrt {a^{2}+b^{2}+h^{2}}}$

• 底面の半径をr、母線の長さ lの円錐の高さ h：

  $h={\sqrt {l^{2}-r^{2}}}$

• 凸面体の頂点の数をv、辺の数をe、面の数をfとすると以下の関係が成り立つ(オイラーの多面体定理):

  $v-e+f=2$

面積と体積

平面図形の面積

解説はこちらのページをご覧ください

• 三角形
  • 底辺のながさ $a$、高さ $h$ の三角形の面積 $S$：

    $S={1 \over 2}ah$

  • 二辺のながさが $a$, $b$ でその間の角が θ である三角形の面積 $S$：

    $S={\frac {1}{2}}ab\sin \theta$

  • ある辺のながさが $a$ でその両端の角が θ, δ である三角形の面積 $S$：

    $S={\frac {a^{2}\sin \theta \sin \delta }{2\sin(\theta +\delta )}}$

    ※上記「正弦定理の応用」で、底辺と両端の角から高さが求められることを利用。

  • 三辺のながさが $a$, $b$, $c$ で内接する円の半径が $r$ である三角形の面積 $S$：

    $S={\frac {1}{2}}r(a+b+c)$

  • 三辺のながさが $a$, $b$, $c$ である三角形の面積 $S$:（ヘロンの公式）

    $S={\sqrt {\frac {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}}}$

    また、$s={\frac {a+b+c}{2}}$ とすると、$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

    • 内接円の半径を $r$ とすると、三角形の面積 $S=sr={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

      従って、 $r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$

  • 一辺のながさ $a$ の正三角形の面積 $S$：

    $S={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}$

直交対角線四角形

凧形

• 四角形
  • 縦のながさ $a$、横のながさ $b$ の長方形の面積 $S$：

    $\displaystyle S=ab$

  • 一辺のながさ $a$ の正方形の面積 $S$：

    $\displaystyle S=a^{2}$

  • 底辺のながさ $a$、高さ $h$ の平行四辺形の面積 $S$：

    $\displaystyle S=ah$

  • 上底のながさ $a$、下底のながさ $b$、高さ $h$ の台形の面積 $S$：

    $S={1 \over 2}(a+b)h$

  • 対角線のながさ $a$、もう一つの対角線のながさ $b$ でそれらが直行する四角形(直交対角線四角形 ⊃ 凧形・菱形・正方形）の面積 $S$：

    $S={1 \over 2}ab$

  • 四辺の長さが$a,b,c,d$で円に内接する四角形の面積$S$:（ブラーマグプタの公式）

    $S={\sqrt {\frac {(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)}{16}}}$

    また、$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$ とすると、$S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

• 正多角形
  • 一辺のながさ $a$ の正$n$角形の面積 $S$:

    $S={\frac {na^{2}}{4\tan {\frac {\pi }{n}}}}$

• 円と扇形
  • 半径 $r$ の円の面積 $S$：

    $S=\pi r^{2}$

  • 半径 $r$ 、中心角$a$（度）の扇形の面積$S$:

    $S={\frac {a}{360}}r^{2}\pi$

  • 半径 $r$ 、中心角 θ(rad) の扇形の面積 $S$:

    $S={\frac {1}{2}}\theta r^{2}$

  • 半径 $r$ 、弧の長さ$l$の扇形の面積 $S$：

    $S={\frac {1}{2}}rl$

立体図形の表面積等

解説はこちらのページをご覧ください

• 縦のながさ $a$、横のながさ $b$、高さ $h$ の直方体の表面積 $S$：

  $S=2(ab+bh+ah)$

  • 底面積 $b$：

    $B=2ab$

  • 側面積 $a$：

    $A=2h(a+b)$

• 一辺のながさ $a$ の立方体の表面積 $S$：

  $S=6a^{2}$

• 底面の周の長さ $l$、高さ $h$ の柱体の側面積 $L$：

  $L=lh$

円錐

• 円錐
  • 底面が半径 $r$、母線 $L$ の円錐：

    側面積 $S_{l}=\pi rL$

    表面積 =　側面積 + 底面積 $=\pi rL+\pi r^{2}=\pi r(L+r)$

  • 底面が半径 $r$、高さ $h$ の円錐：

    母線 $R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

    側面積 $L=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

    表面積 =　側面積 + 底面積 $=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r({\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+r)$

3直角四面体

• 直角三角錐(3直角四面体)

  三角錐$OABC$において，1つの頂点$O$に集まる3つの角 $\angle AOB$ ， $\angle BOC$ ， $\angle COA$ がいずれも直角である三角錐

  • 以下、$OA=a,OB=b,OC=c$とする。

    頂点$O$から、$\triangle ABC$に下した垂線の長さ$h$;

    $h={\frac {abc}{\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}}$

    $\triangle ABC$の面積$S$;

    $S={\frac {\sqrt {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}{2}}$

    ド・グアの定理(通称:四平方の定理)

• 半径$r$の球の表面積$S$:

  $S=4\pi r^{2}$

円環体・トーラス

• 半径$r$の円を、円の中心からの距離$R$（但し、$r$　≦　$R$とする）の直線を軸として回転させた円環体（トーラス、ドーナツ型） の表面積:

$S=4\pi ^{2}rR=(2\pi r)(2\pi R)$

体積

解説はこちらのページをご覧ください

直方体

円錐

錐台

くさび形

• 縦のながさ $a$、横のながさ $b$、高さ $h$ の直方体の体積 $V$：

  $V=abh$

• 一辺のながさ $a$ の立方体の体積 $V$：

  $V=a^{3}$

• 底面積 $S$、高さ $h$ の柱体の体積 $V$：

  $V=Sh$

• 底面積 $S$、高さ $h$ の錐体の体積 $V$：

  $V={\frac {1}{3}}Sh$

  • 円錐
    • 底面が半径 $r$、高さ $h$ の円錐の体積 $V$：

      $V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

    • 底面が半径 $r$、母線 $L$ の円錐の体積 $V$：

      高さ $h={\sqrt {L^{2}-r^{2}}}$

      $V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}{\sqrt {L^{2}-r^{2}}}$

• 上底の面積 $S$、下底の面積 $S$、高さ $h$ の錐台の体積 $V$：

  $V={\frac {h}{3}}(s+{\sqrt {sS}}+S)$

  • 特に、上底が半径$r_{1}$の円、下底が半径$r_{2}$の円、高さ $h$ の円錐台の体積 $V$：

    $V={\frac {h\pi }{3}}(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2})$

• 下底が 縦のながさ $a$、横のながさ $b$の長方形、縦と平行である上辺のながさ $c$、高さ $h$ のくさび形の体積 $V$：

  $V=bh\left({\frac {a}{3}}+{\frac {c}{6}}\right)$

• 一辺のながさ $a$ の正四面体の体積 $V$：

  $V={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}$

• 一辺のながさ $a$ の正八面体の体積 $V$：

  $V={{\sqrt {2}} \over 3}a^{3}$

• 一辺のながさ $a$ の正十二面体の体積 $V$：

  $V={15+7{\sqrt {5}} \over 4}a^{3}$

• 一辺のながさ $a$ の正二十面体の体積 $V$：

  $V={5(3+{\sqrt {5}}) \over 12}a^{3}$

円環体・トーラス

• 球の体積 $V$：

  $V={4 \over 3}\pi r^{3}$

• 半径$r$の円を、円の中心からの距離$R$（但し、$r$　≦　$R$とする）の直線を軸として回転させた円環体（トーラス、ドーナツ型） の体積:

  $V=2\pi ^{2}r^{2}R=(\pi r^{2})(2\pi R)$

ベクトル

以下に挙げる公式で空間ベクトルで成り立つものは、その $z$ 成分を$0$ とした平面ベクトルでも成り立つ。

• 位置ベクトル:${\overrightarrow {OA}}={\vec {a}},{\overrightarrow {OB}}={\vec {b}},{\overrightarrow {OC}}={\vec {c}},{\overrightarrow {OP}}={\vec {p}}$とする時、
  • 点$P$が、線分$AB$を$m:n$に内分するならば、${\vec {p}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}$
    • 特に、線分$AB$の中点を$M$とし、${\overrightarrow {OM}}={\vec {m}}$とすると、${\vec {m}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}}{2}}$
    • $\triangle {ABC}$において、その重心$G$について、${\overrightarrow {OG}}={\vec {g}}$とすると、${\vec {g}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}}{3}}$
  • 点$P$が、線分$AB$を$m:n$に外分するならば、${\vec {p}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}$
  • 点$P$が、2点$A,B$を通る直線上の点とした時のベクトル方程式: ${\vec {p}}=(1-t){\vec {a}}+t{\vec {b}}$
  • 点$P$が、空間上の3点$A,B,C$を通る平面上の点とした時のベクトル方程式: ${\vec {p}}=(1-s-t){\vec {a}}+s{\vec {b}}+t{\vec {c}}$

内積

• ${\vec {a}}$ と ${\vec {b}}$ の成す角が $\theta$ のとき

  ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta$（内積の定義）

  • 成分表示

    平面ベクトルの場合、${\vec {a}}=(a_{x},a_{y})$, ${\vec {b}}=(b_{x},b_{y})$とすると、

    ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}$

    空間ベクトルの場合、${\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$, ${\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})$とすると、

    ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}$

• ${\vec {a}}\neq {\vec {0}}$, ${\vec {b}}\neq {\vec {0}}$のとき、

  ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\iff {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$

• ${\overrightarrow {OA}}={\vec {a}}$, ${\overrightarrow {OB}}={\vec {b}}$, O は原点とするときの三角形 OAB の面積 $S$：

  $S={\frac {1}{2}}{\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}|{\vec {b}}|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}}$

  $\because$ $S={\frac {1}{2}}|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \theta ={\frac {1}{2}}|{\vec {a}}||{\vec {b}}|{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$、ここで、${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta$ より $\cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}$

  与式に代入して、$S={\frac {1}{2}}|{\vec {a}}||{\vec {b}}|{\sqrt {1-{\frac {({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}{|{\vec {a}}|^{2}|{\vec {b}}|^{2}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}|{\vec {b}}|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}}$

とくに、${\vec {a}}=(a_{x},a_{y})$, ${\vec {b}}=(b_{x},b_{y})$とすると、

$S={\frac {1}{2}}|a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}|$

• 二つのベクトル ${\vec {x}}$, ${\vec {y}}$ に対し、

  $({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})^{2}+|{\vec {x}}|^{2}\left|{\vec {y}}-{\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{|{\vec {x}}|^{2}}}{\vec {x}}\right|^{2}=|{\vec {x}}|^{2}|{\vec {y}}|^{2}$

よって、

$|{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}|\leq |{\vec {x}}||{\vec {y}}|$

等号成立は、実数 k があって ${\vec {y}}=k{\vec {x}}$ とできるときのみ。