初等数学公式集/初等幾何

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平面図形[編集]

三角形[編集]

三平方の定理[編集]

Right triangle ABC.svg
  • 直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをab、斜辺の長さをcとすると、以下の関係が成り立つ。:
  • 三角形の三辺の長さa,b,cを満たすとき、この三角形は長さcの辺を斜辺とする直角三角形となる。

(参考) 三平方の定理

正弦定理[編集]

において、, 外接円の半径を とすると、

(参考)正弦定理

正弦定理の応用[編集]
Law-of-sines2.svg

一辺とその両端の角の大きさがわかっている時の、他の辺及び当該三角形の既知の辺に対する高さ(三角測量の原理)。

右の図において辺が既知である時、

余弦定理[編集]

において、 とすると

第一余弦定理[編集]
第二余弦定理[編集]

(参考)余弦定理

メネラウスの定理・チェバの定理[編集]

メネラウスの定理。A→F→B→D→C→E→Aの順で循環する。
  • メネラウスの定理
    任意の直線と三角形ABCにおいて、直線とBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。


  • チェバの定理
    三角形ABCにおいて、任意の点をとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点は、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。
チェバの定理。点Oが三角形の内部にある場合
チェバの定理。点Oが三角形の外部にある場合

多角形[編集]

  • n角形の内角の和:
  • n角形の対角線の本数:

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  • 半径rの円の円周l:
  • 半径r、中心角a(度)の扇形の弧の長さl:
  • 半径rの円の中心点Oと弦ABとの距離をaとしたときの弦ABの長さ:

方べきの定理[編集]

  • 点Pを通る2本の直線が円とそれぞれ2点A、Bと2点C、Dで交わっているとき(図1、図2):
  • 円外の点Pを通る2本の直線の一方が点Tで円に接し、他方が2点A、Bで交わっているとき(図3):
方べきの定理・図1
方べきの定理・図2
方べきの定理・図3

(参考) 方べきの定理

立体図形[編集]

  • 縦の長さa、横の長さb、高さh の直方体の対角線 l
  • 底面の半径をr、母線の長さ lの円錐の高さ h
  • 凸面体の頂点の数をv、辺の数をe、面の数をfとすると以下の関係が成り立つ(オイラーの多面体定理):

面積と体積[編集]

平面図形の面積[編集]

解説はこちらのページをご覧ください

  • 三角形
    • 底辺のながさ 、高さ の三角形の面積
    • 二辺のながさが , でその間の角が θ である三角形の面積
    • ある辺のながさが でその両端の角が θ, δ である三角形の面積
    • 三辺のながさが , , で内接する円の半径が である三角形の面積
    • 三辺のながさが , , である三角形の面積 :(ヘロンの公式)
      また、 とすると、
      • 内接円の半径を とすると、三角形の面積
        従って、
    • 一辺のながさ の正三角形の面積
直交対角線四角形
凧形
  • 四角形
    • 縦のながさ 、横のながさ の長方形の面積
    • 一辺のながさ の正方形の面積
    • 底辺のながさ 、高さ の平行四辺形の面積
    • 上底のながさ 、下底のながさ 、高さ の台形の面積
    • 対角線のながさ 、もう一つの対角線のながさ でそれらが直行する四角形(直交対角線四角形 ⊃ 凧形・菱形・正方形)の面積
    • 四辺の長さがで円に内接する四角形の面積:(ブラーマグプタの公式)
      また、 とすると、
  • 正多角形
    • 一辺のながさ の正角形の面積 :
  • 円と扇形
    • 半径 の円の面積
    • 半径 、中心角(度)の扇形の面積:
    • 半径 、中心角 θ(rad) の扇形の面積 :
    • 半径 、弧の長さの扇形の面積

立体図形の表面積等[編集]

解説はこちらのページをご覧ください

  • 縦のながさ 、横のながさ 、高さ の直方体の表面積
    • 底面積
    • 側面積
  • 一辺のながさ の立方体の表面積
  • 底面の周の長さ 、高さ の柱体の側面積
円錐
  • 円錐
    • 底面が半径 、母線 の円錐:
      側面積
      表面積 = 側面積 + 底面積
    • 底面が半径 、高さ の円錐:
      母線
      側面積
      表面積 = 側面積 + 底面積


3直角四面体
  • 直角三角錐(3直角四面体)
    三角錐において,1つの頂点に集まる3つの角 がいずれも直角である三角錐
    • 以下、とする。
      頂点から、に下した垂線の長さ;
      の面積;
      ド・グアの定理(通称:四平方の定理)


  • 半径の球の表面積:
円環体・トーラス
  • 半径の円を、円の中心からの距離(但し、 ≦ とする)の直線を軸として回転させた円環体(トーラス、ドーナツ型) の表面積:


体積[編集]

解説はこちらのページをご覧ください

直方体
円錐
錐台
くさび形
  • 縦のながさ 、横のながさ 、高さ 直方体の体積
  • 一辺のながさ 立方体の体積
  • 底面積 、高さ 柱体の体積
  • 底面積 、高さ 錐体の体積
    • 円錐
      • 底面が半径 、高さ の円錐の体積
      • 底面が半径 、母線 の円錐の体積
        高さ
  • 上底の面積 、下底の面積 、高さ 錐台の体積
    • 特に、上底が半径の円、下底が半径の円、高さ 円錐台の体積
  • 下底が 縦のながさ 、横のながさ の長方形、縦と平行である上辺のながさ 、高さ くさび形の体積
  • 一辺のながさ 正四面体の体積
  • 一辺のながさ 正八面体の体積
  • 一辺のながさ 正十二面体の体積
  • 一辺のながさ 正二十面体の体積
円環体・トーラス
  • の体積
  • 半径の円を、円の中心からの距離(但し、 ≦ とする)の直線を軸として回転させた円環体(トーラス、ドーナツ型) の体積:


ベクトル[編集]

以下に挙げる公式で空間ベクトルで成り立つものは、その 成分を とした平面ベクトルでも成り立つ。

  • 位置ベクトル:とする時、
    • が、線分に内分するならば、
      • 特に、線分の中点をとし、とすると、
      • において、その重心について、とすると、
    • が、線分に外分するならば、
    • が、2点を通る直線上の点とした時のベクトル方程式:
    • が、空間上の3点を通る平面上の点とした時のベクトル方程式:
  • の成す角が のとき
  • , のとき、
  • , , O は原点とするときの三角形 OAB の面積
とくに、, とすると、
  • 二つのベクトル , に対し、
よって、
等号成立は、実数 k があって とできるときのみ。