初等数学公式集/数列

一般項

• 等差数列(算術数列)

  初項を $a_1$ とし、公差を $d$とすれば、$n$番目の項 $a_n$ は

  $a_n=a_1+(n-1)d$

• 等比数列(幾何数列)

  初項を $a_1$ とし、公比を $r$とすれば、$n$番目の項 $a_n$ は

  $a_n=a_1{r}^{n-1}$

数列の和

数列 $a_i$ に関して、 $i$について区間$[m,n]$で足し上げた総和を記号:$\sum$（シグマ）を用いて、$\sum _{i=m}^n{a}_i$と表す。

数列の和の性質

• $\sum _{i=m}^n{a}_i-\sum _{i=m}^{n-1}{a}_i=a_n$

  　

線形性

• $\sum _{i=m}^n(a_i+b_i)=\left(\sum _{i=m}^n{a}_i\right)+\left(\sum _{i=m}^n{b}_i\right)$
• $\sum _{i=m}^n\lambda a_i=\lambda \sum _{i=m}^n{a}_i$

  なお、 $\sum _{k=1}^{n}1=n$、したがって、$\sum _{k=1}^n\lambda =\lambda n$

数列の和の公式

等差数列の和

• $\sum _{k=1}^n\{a+d(k-1)\}=\frac{n}{2}(2a+d(n-1))$

  　

等比数列の和

• $\sum _{k=1}^{n}a{r}^{k-1}=\{\begin{array}{cc}an& (r=1)\\ \frac{a(1-r^n)}{1-r}& (r≠1)\end{array}$

  　

自然数の累乗の和

• $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$　（証明）

  　

• $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$　（証明）

  　

• $\sum _{k=1}^n{k}^3={\{\frac{1}{2}n(n+1)\}}^2$　（証明）

  　

• $\sum _{k=1}^n{k}^4=\frac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)$　（証明）

  　

連続する自然数の積の和　（証明）

• $\sum _{k=1}^{n}k(k+1)=1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

  　

• $\sum _{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+3\cdot 4\cdot 5+\cdots +n(n+1)(n+2)=\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)$

  　

• $\sum _{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\cdots (k+m-1)$ [$m$個の連続する自然数の積の和]$=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)\cdots (n+m)}{m+1}$

  　

連続する自然数の積を分母とする数列の和

• $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots -\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

  　

• $\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

  $=\frac{1}{2}(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{2\cdot 3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2\cdot 3}-\frac{1}{3\cdot 4})+\cdots +\frac{1}{2}(\frac{1}{(n-1)n}-\frac{1}{n(n+1)})+\frac{1}{2}(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})$

  $=\frac{1}{2}(\frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

階差数列

初項が $a_1$ であり、2項間の差$:b_k=a_{k+1}-a_k$としたとき、$\{b_k\}$ が規則性を持つのであれば（すなわち、いわゆる数列であれば）、$\{a_k\}$ も規則性を有することとなり数列であると言える。このような数列を階差数列という。さらに、数列$\{b_k\}$ の規則性が不明瞭である時、さらにその階差をとって数列$\{c_k\}$ を作って明瞭な規則性を発見する場合もあり、それからさらに階差の深度を深める場合もある。数列$\{a_k\}$ に対して、数列$\{b_k\}$ を第1階差数列、数列$\{c_k\}$ を第2階差数列という。

$a_n-a_{n-1}=b_{n-1}$ であるとき、$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k$

$\because a_n=b_{n-1}+a_{n-1}=b_{n-1}+b_{n-2}+a_{n-2}=b_{n-1}+b_{n-2}+b_{n-3}+a_{n-3}=\cdots =b_{n-1}+\cdots +b_1+a_1=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k$

$a_n-a_{n-1}=b_{n-1},b_n-b_{n-1}=c_{n-1}$ であるとき、$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{k=1}^{n-2}{c}_k\right)$

漸化式と一般項

初項$a_1$の値と、第$k$項$a_k$と第$k+1$項$a_{k+1}$の関係によって数列を定義することができる。このような定義のしかたを数列の帰納的定義といい、$a_k$と$a_{k+1}$のような関係式を漸化式という。

二項間漸化式

※以下、初項$a_1$は所与

• $a_{n+1}-a_n=k$（定数） のとき、

  一般項は、$a_n=a_1+k(n-1)$　　[等差数列]

• $a_{n+1}=r{a}_n$ のとき、

  一般項は、$a_n=a_1{r}^{n-1}$　　[等比数列]

• $a_{n+1}-a_n=b_n$ のとき、

  一般項は、$a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k$　　[階差数列]

  • 階差数列の拡張

    $a_n$の一般項は不明であるが、数列の和 $\sum _{i=1}^n{a}_i$を漸化式$S_n$として、$n$の式で与えられていたり、$a_n$を含んだ関係式が示されているとき、

    $S_n-S_{n-1}=a_n$ , $S_1=a_1$

    の性質を用い、$a_n$の一般項を求める。

等比数列となる漸化式の応用

• $a_{n+1}=r{a}_n+k$　$(r≠1)$ のとき、

  $a_{n+1}=r(a_n-\frac{k}{1-r})+\frac{k}{1-r}$

  ここで、

  $b_n=a_n-\frac{k}{1-r}$ とすると、

  元の漸化式は、

  $b_{n+1}=r{b}_n$ となり、これは等比数列なので、一般項は、$b_n=b_1{r}^{n-1}$ となる。

  $a_n=b_n+\frac{k}{1-r}$ かつ、$b_1=a_1-\frac{k}{1-r}$ なので、

  一般項は、$a_n=(a_1-\frac{k}{1-r})r^{n-1}+\frac{k}{1-r}$ となる。

三項間漸化式

※以下、初項$a_1$及び第2項$a_2$は所与

一般形

$a_n+s{a}_{n-1}+t{a}_{n-2}=0$ - ① のとき、

$a_n-\alpha a_{n-1}=\beta (a_{n-1}-\alpha a_{n-2})$ - ② と変形、

$a_n-\alpha a_{n-1}=\beta (a_{n-1}-\alpha a_{n-2})={\beta }^2(a_{n-2}-\alpha a_{n-3})$・・・$={\beta }^{n-2}(a_2+\alpha a_1)$ - ③

①と②から、$-s=\alpha +\beta$, $t=\alpha \beta$が成立している（※）ので、①は$a_n-\beta a_{n-1}=\alpha (a_{n-1}-\beta a_{n-2})$とも変形でき、③同様、

$a_n-\beta a_{n-1}={\alpha }^{n-2}(a_2-\beta a_1)$ - ④となる。

③-④

$-\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-1}={\beta }^{n-2}(a_2-\alpha a_1)-{\alpha }^{n-2}(a_2-\beta a_1)$

即ち、$(\beta -\alpha )a_n={\beta }^{n-1}(a_2-\alpha a_1)-{\alpha }^{n-1}(a_2-\beta a_1)$

$a_n=\frac{{\beta }^{n-1}(a_2-\alpha a_1)-{\alpha }^{n-1}(a_2-\beta a_1)}{\beta -\alpha }$ - ⑤

（参考）

1. ※から、$\alpha ,\beta$は、二次方程式$x^2+sx+t=0$（特性方程式）の解であることがわかるが、高校の過程では「変形できる」でよい。
2. 特性方程式の解が、以下に示す重解の場合を除き、有理数である時のみならず、無理数であっても（下記「フィボナッチ数列参照」）、虚数解であっても成立する。

特殊形

上記②において、$\alpha =\beta$であるとき

変形の結果、以下の式が得られる。

$a_n-\alpha a_{n-1}={\alpha }^{n-2}(a_2-\alpha a_1)$

両辺を${\alpha }^n$で割ると、

$\frac{a_n}{{\alpha }^n}-\frac{a_{n-1}}{{\alpha }^{n-1}}=\frac{a_2-\alpha a_1}{{\alpha }^2}$

ここで、$\frac{a_n}{{\alpha }^n}=b_n$、左辺は定数なので、$k$と置くと、この式の形は、$b_n-b_{n-1}=k$となり、等差数列となる。したがって、

$b_n=b_1+k(n-1)=\frac{a_1}{\alpha }+\frac{(a_2-\alpha a_1)(n-1)}{{\alpha }^2}$

$a_n={\alpha }^n{b}_n={\alpha }^{n-2}((n-1)a_2-\alpha (n-2)a_1)$

非斉次形

$a_n-2a_{n-1}+a_{n-2}=k$(定数)は以下のように変形して解くことができる。

$a_n-a_{n-1}=a_{n-1}-a_{n-2}+k$

$a_n-a_{n-1}=b_{n-1}$とおけば、$b_n=b_{n-1}+k$なので、$\{b_n\}$は等差数列となり、

$b_{n-1}=b_1+k(n-2)=a_2-a_1+k(n-2)$である。これが$\{a_n\}$の階差数列であることから、

$a_n=a_1+\sum _{l=2}^n(a_2-a_1+k(l-2))=(n-1)a_2-(n-2)a_1+\frac{k(n-2)(n-1)}{2}$

フィボナッチ数列

以下の関係で定義される数列をフィボナッチ数列という。

$F_1=1$, $F_2=1$, $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ ($n$ ≧3)

上記三項間漸化式にあてはめ、$F_n-F_{n-1}-F_{n-2}=0$を解く。

特性方程式:$x^2-x-1=0$を解くと$x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$であるから、

$\alpha =\frac{1-\sqrt{5}}{2}$, $\beta =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

を⑤に代入する。$\beta -\alpha =\sqrt{5}$, $F_2-\alpha F_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\beta$, $F_2-\beta F_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=\alpha$であるから、

$F_n=\frac{{\beta }^{n-1}(F_2-\alpha F_1)-{\alpha }^{n-1}(F_2-\beta F_1)}{\beta -\alpha }=\frac{{\beta }^n-{\alpha }^n}{\beta -\alpha }=\frac{1}{\sqrt{5}}\{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\}$

参考（黄金数）

$x^2-x-1=0$の正の解;$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（上記$\beta$）との比を黄金比（Golden ratio）、その値を黄金数といい、しばしば、$\phi$で表す。

同様に、$\phi$と共役関係にある負の解;$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（上記$\alpha$）を$\bar{\phi }$で表し、フィボナッチ数を以下のように表すこともある。

　

$F_n=\frac{{\phi }^n-{\bar{\phi }}^n}{\phi -\bar{\phi }}=\frac{1}{\sqrt{5}}({\phi }^n-{\bar{\phi }}^n)$

　

黄金比・黄金数は、数学のその他の分野にも登場する興味深い数である。

数学的帰納法

順々に出現する自然数$n$について（離散的）、命題が成立することの証明法。

　

（手順）

1. $n=1$のときに、命題が成り立つことを証明。
2. $n=k$のときに、その命題が成り立つことを仮定して，演算を行なって$n=k+1$のときその命題が成り立つことを証明する。
3. 1.及び2.により、与えられた命題はすべての自然数$n$について成り立つことが証明された。

　

（事例）一般項の式が漸化式を満たすことの証明

$a_{n+1}=r{a}_n+k,a_1=a,(r≠1)$ のとき、一般項は、$a_n=(a-\frac{k}{1-r})r^{n-1}+\frac{k}{1-r}$ （命題※）となることの証明。

1. $n=1$のとき、$a_1=a$ 。一般項の式:$(a-\frac{k}{1-r})r^{1-1}+\frac{k}{1-r}=a-\frac{k}{1-r}+\frac{k}{1-r}=a$、となり命題※は成立。
2. $n=m$のとき、命題※が成立していると仮定。

   $n=m+1$のとき、

   $a_{m+1}=r{a}_m+k=r((a-\frac{k}{1-r})r^{m-1}+\frac{k}{1-r})+k$$=(a-\frac{k}{1-r})r^m+\frac{kr}{1-r}+k$$=(a-\frac{k}{1-r})r^m+\frac{k}{1-r}$

   となり、$n=m+1$のときも命題※は成立している。

3. 1.及び2.により、命題※はすべての自然数$n$について成り立つ。

数列・級数の極限

極限

自然数 $n$ に対応する数列 $a_n$ について、$n$ が無限に大きくなるものを無限数列といい、無限に大きくする操作を $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ と記述する。

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ による数列 $a_n$ の挙動には以下のものがある。

1. ある実数 $\alpha$ に限りなく近づく。これを、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha$ と表記し、「数列 $a_n$ は、$\alpha$ に収束する」という。

   （例）$a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$, $a_n={(-\frac{1}{2})}^n$　いずれも、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$ となる。

2. $n$ が無限に大きくなることで収束しない場合を、発散するという。
   1. $n$ が無限に大きくなると $a_n$ も無限に大きくなる。これを、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ と表記し、「数列 $a_n$ は、正の無限大に発散する」という。

      （例）$a_n=n$, $a_n=2^n$　いずれも、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$ となる。

   2. $n$ が無限に大きくなると $a_n$ は負の方向に無限に大きくなる。これを、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }$ と表記し、「数列 $a_n$ は、負の無限大に発散する」という。

      （例）$a_n=-n$, $a_n=-2^n$　いずれも、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }$ となる。

   3. $n$ が無限に大きくなると $a_n$ は、$n$ の値によって、正または負の値いずれかを取り、収束しない。これを振動するという。なお、$a_n=(-1{)}^n$ は、振動し収束しないが発散の範疇とは通常しない。

      （例） $a_n=(-a{)}^n(a>1)$

上記の場合で、振動しないものを「極限がある」といい、振動するものを「極限がない」という。

数列の極限

• 数列 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$ が、$N$ が十分大きいとき常に $a_N\le b_N\le c_N$ を満たし、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=\alpha$ となるならば、$\{b_n\}$ も収束し、

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\alpha$

（はさみうちの原理）

• 数列$\{a_n\},\{b_n\}$が$N$が十分大きいとき常に$a_N<b_N$を満たし、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\mathrm{\infty }$となるならば、

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\mathrm{\infty }$

（追い出しの原理）

• 数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ に対して, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\alpha$, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\beta$ ならば、

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}k{a}_n=k\alpha$ ただし $k$ は定数。
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(a_n\pm b_n)=\alpha \pm \beta$　（複号同順）。
3. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=\alpha \beta$
4. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha }{\beta }$ 　（ただし、$\beta ≠0$）。

• 数列 $\{r^n\}$ について、

1. $|r|<1$ ならば $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=0$。（収束）
2. $r=1$ ならば $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=1$。（収束）
3. $r>1$ ならば $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n=\mathrm{\infty }$。（発散）
4. $r$ ≤ $-1$ ならば $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^n$ は存在しない。（振動）

• 数列 $\{n{r}^n\}$ において、$0<r<1$ ならば $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{r}^n=0$

(証明) $\frac{1}{r}>1$ であるから $\frac{1}{r}=1+h,(h>0)$ とおくと、$n>2$ のとき、

$0<n{r}^n=\frac{n}{(1+h{)}^n}<\frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}{h}^2}=\frac{2}{(n-1)h^2}$。

ここで、$(1+h{)}^n$を2項定理で展開して、2次の項だけ抽出した。$n\to \mathrm{\infty }$ のとき右辺 $\to 0$ であるから、はさみうちの原理により、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{r}^n=0$

級数の極限

無限数列 $a_n$ の各項を足し合わせたものを無限級数または単に級数と呼ぶ。和の表現を用いると、$\sum _{i=m}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$であり、$\sum _{i=m}^n{a}_i=S_n$ という数列であると捉えると、$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n$ と記すことができる。

• 級数： $S_n=\sum _{k=0}^{n}a{r}^k$ について、

1. $|r|<1$ のとき $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\frac{a}{1-r}$。
2. $|r|$ ≥ $1$ のとき $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n$ は発散する。

(証明)$S_n-r{S}_n=a(\sum _{k=0}^n{r}^k-\sum _{k=1}^{n+1}{r}^k)=a(r^0-r^{n+1})$

$\therefore S_n=\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}$

$|r|<1$のとき$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^{n+1}=0$より$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\frac{a}{1-r}$

$r>1$のとき$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{r}^{n+1}=\mathrm{\infty }$より$S_n$の極限は発散する。