出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
- 等差数列(算術数列)
- 初項を
とし、公差を
とすれば、
番目の項
は
![{\displaystyle {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a31bc61abf0296e4293f5a1a9877c9818d09606)
- 等比数列(幾何数列)
- 初項を
とし、公比を
とすれば、
番目の項
は
![{\displaystyle {\displaystyle a_{n}=a_{1}r^{n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c916968d0b6620449a5704362404061a48a0919)
数列
に関して、
について区間
で足し上げた総和を記号:
(シグマ)を用いて、
と表す。
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}a_{i}-\sum _{i=m}^{n-1}a_{i}=a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03ba7ec870483073a95940f1fb60cdfd8426fb8)
- 線形性
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\left(\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right)+\left(\sum _{i=m}^{n}b_{i}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82d04a3407bbb5ac296f274d8e3d81948693cb8)
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}\lambda a_{i}=\lambda \sum _{i=m}^{n}a_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea3d15c3035f3eaf3153fc49774fb5958945b20)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}1=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c73aa3366997df40ae9616d99c25dae189577ae)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={1 \over 2}n(n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f67beb04cb25732f972d7dd8553cc593512aa6)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={1 \over 6}n(n+1)(2n+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db524d65437bd750e6148b4a8af8437d2952612d)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left\{{1 \over 2}n(n+1)\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b84ba08d8330ef99caa3e8aa5f9e9fdcf1a2436d)
(等差数列の和)
(等比数列の和)
初項
の値と、第
項
と第
項
の関係によって数列を定義することができる。このような定義のしかたを数列の帰納的定義といい、
と
のような関係式を漸化式という。
※以下、初項
は所与
(定数) のとき、
- 一般項は、
[等差数列]
のとき、
- 一般項は、
[等比数列]
のとき、
- 一般項は、
[階差数列]
- 階差数列の拡張
の一般項は不明であるが、数列の和
を漸化式
として、
の式で与えられていたり、
を含んだ関係式が示されているとき、
, ![{\displaystyle S_{1}=a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba5c7cf6169d04288c432732bf9bbde5c58929a)
- の性質を用い、
の一般項を求める。
のとき、
![{\displaystyle \displaystyle a_{n+1}=r\left(a_{n}-{\frac {k}{1-r}}\right)+{\frac {k}{1-r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd200118eba1add0b5edccadefa8884d47a4489)
- ここで、
とすると、
- 元の漸化式は、
となり、これは等比数列なので、一般項は、
となる。
-
かつ、
なので、
- 一般項は、
となる。
※以下、初項
及び第2項
は所与
- ① のとき、
- ② と変形、
・・・
- ③
- ①と②から、
,
が成立している(※)ので、①は
とも変形でき、③同様、
- ④となる。
- ③-④
![{\displaystyle -\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-1}=\beta ^{n-2}(a_{2}-\alpha a_{1})-\alpha ^{n-2}(a_{2}-\beta a_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a86638f60e47899e9ac7e7eb09535dd3e0659bf)
- 即ち、
![{\displaystyle (\beta -\alpha )a_{n}=\beta ^{n-1}(a_{2}-\alpha a_{1})-\alpha ^{n-1}(a_{2}-\beta a_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62b3314a11b82526866cd84a633631290b007cc1)
- ⑤
-
- (参考)
- ※から、
は、二次方程式
(特性方程式)の解であることがわかるが、高校の過程では「変形できる」でよい。
- 特性方程式の解が、以下に示す重解の場合を除き、有理数である時のみならず、無理数であっても(下記「フィボナッチ数列参照」)、虚数解であっても成立する。
上記②において、
であるとき
- 変形の結果、以下の式が得られる。
![{\displaystyle \displaystyle a_{n}-\alpha a_{n-1}=\alpha ^{n-2}(a_{2}-\alpha a_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c58e2aaf5aa59e728165c4e90c4816cd5ff174)
- 両辺を
で割ると、
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {a_{n}}{\alpha ^{n}}}-{\frac {a_{n-1}}{\alpha ^{n-1}}}={\frac {a_{2}-\alpha a_{1}}{\alpha ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/024a2f0fcc3d9f815e9417653f5d9c114dfb5c86)
- ここで、
、左辺は定数なので、
と置くと、この式の形は、
となり、等差数列となる。したがって、
![{\displaystyle \displaystyle b_{n}=b_{1}+k(n-1)={\frac {a_{1}}{\alpha }}+{\frac {(a_{2}-\alpha a_{1})(n-1)}{\alpha ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a253ab4791ed08edf36baec8a15239cadefd97)
![{\displaystyle \displaystyle a_{n}=\alpha ^{n}b_{n}=\alpha ^{n-2}((n-1)a_{2}-\alpha (n-2)a_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59da734918d4717446fd2095d88ba9281aad2ce5)
(定数)は以下のように変形して解くことができる。
![{\displaystyle \displaystyle a_{n}-a_{n-1}=a_{n-1}-a_{n-2}+k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560cef10d8b723c9dbf23019f632754e045f447d)
とおけば、
なので、
は等差数列となり、
である。これが
の階差数列であることから、
![{\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum _{l=2}^{n}(a_{2}-a_{1}+k(l-2))=(n-1)a_{2}-(n-2)a_{1}+{\frac {k(n-2)(n-1)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41477c54cc0b813cef33a52e3b8eaa85c326b5ec)
以下の関係で定義される数列をフィボナッチ数列という。
,
,
(
≧3)
- 上記三項間漸化式にあてはめ、
を解く。
- 特性方程式:
を解くと
であるから、
, ![{\displaystyle \beta ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23853350c30fea41425546bd32368d2399bc387)
- を⑤に代入する。
,
,
であるから、
![{\displaystyle F_{n}={\frac {\beta ^{n-1}(F_{2}-\alpha F_{1})-\alpha ^{n-1}(F_{2}-\beta F_{1})}{\beta -\alpha }}={\frac {\beta ^{n}-\alpha ^{n}}{\beta -\alpha }}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa8cc399ea1306e49afe43706e4c19800797116)
- 順々に出現する自然数
について(離散的)、命題が成立することの証明法。
-
- (手順)
のときに、命題が成り立つことを証明。
のときに、その命題が成り立つことを仮定して,演算を行なって
のときその命題が成り立つことを証明する。
- 1.及び2.により、与えられた命題はすべての自然数
について成り立つことが証明された。
-
- (事例)一般項の式が漸化式を満たすことの証明
のとき、一般項は、
(命題※)となることの証明。
のとき、
。一般項の式:
、となり命題※は成立。
のとき、命題※が成立していると仮定。
のとき、
![{\displaystyle \displaystyle a_{m+1}=ra_{m}+k=r\left(\left(a-{\frac {k}{1-r}}\right)r^{m-1}+{\frac {k}{1-r}}\right)+k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b73e0edb31589b79d6ca7ccefdeccb9cf73a58b)
![{\displaystyle =\left(a-{\frac {k}{1-r}}\right)r^{m}+{\frac {kr}{1-r}}+k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/156752099a0436c70b34c62a2bedf68bea81fe52)
- となり、
のときも命題※は成立している。
- 1.及び2.により、命題※はすべての自然数
について成り立つ。
- 数列
が、
が十分大きいとき常に
を満たし、
となるならば、
も収束し、
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548c98a9a827226b11b5960ececf587c08a36e93)
(はさみうちの原理)
- 数列
に対して,
,
ならば、
ただし
は定数。
(複号同順)。
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\alpha \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c2c76d28dc5ebc3071b6c6514b34299c75cdea)
(ただし、
)。
- 数列
について、
ならば
。
ならば
。
ならば
。
≤
ならば
は存在しない。
- 数列
において、
ならば ![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }nr^{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5b957b812ca712de5a9f806761209d81a48c81)
- (証明)
であるから
とおくと、
のとき、
。
- ここで、
を2項定理で展開して、2次の項だけ抽出した。
のとき右辺
であるから、はさみうちの原理により、![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }nr^{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5b957b812ca712de5a9f806761209d81a48c81)
- 級数:
について、
のとき
。
≥
のとき
は発散する。