初等数学公式集/数列

一般項

• 等差数列(算術数列)

  初項を $a_{1}$ とし、公差を $d$とすれば、$n$番目の項 $a_{n}$ は

  ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

• 等比数列(幾何数列)

  初項を $a_{1}$ とし、公比を $r$とすれば、$n$番目の項 $a_{n}$ は

  ${\displaystyle a_{n}=a_{1}r^{n-1}}$

数列の和

数列 $a_{i}$ に関して、 $i$について区間$[m,n]$で足し上げた総和を記号:$\sum$（シグマ）を用いて、$\sum _{i=m}^{n}a_{i}$と表す。

数列の和の性質

• $\sum _{i=m}^{n}a_{i}-\sum _{i=m}^{n-1}a_{i}=a_{n}$

  　

線形性

• $\sum _{i=m}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)=\left(\sum _{i=m}^{n}a_{i}\right)+\left(\sum _{i=m}^{n}b_{i}\right)$
• $\sum _{i=m}^{n}\lambda a_{i}=\lambda \sum _{i=m}^{n}a_{i}$

  なお、 $\sum _{k=1}^{n}1=n$、したがって、$\sum _{k=1}^{n}\lambda =\lambda n$

数列の和の公式

等差数列の和

• $\sum _{k=1}^{n}\left\{a+d(k-1)\right\}={\frac {n}{2}}(2a+d(n-1))$

  　

等比数列の和

• $\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\begin{cases}an&(r=1)\\{\cfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}&(r\not =1)\end{cases}}$

  　

自然数の累乗の和

• $\sum _{k=1}^{n}k={1 \over 2}n(n+1)$　（証明）

  　

• $\sum _{k=1}^{n}k^{2}={1 \over 6}n(n+1)(2n+1)$　（証明）

  　

• $\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left\{{1 \over 2}n(n+1)\right\}^{2}$　（証明）

  　

• $\sum _{k=1}^{n}k^{4}={1 \over 30}n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)$　（証明）

  　

連続する自然数の積の和　（証明）

• $\sum _{k=1}^{n}k(k+1)=1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)={1 \over 3}n(n+1)(n+2)$

  　

• $\sum _{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)=1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+3\cdot 4\cdot 5+\cdots +n(n+1)(n+2)={1 \over 4}n(n+1)(n+2)(n+3)$

  　

• $\sum _{k=1}^{n}k(k+1)(k+2)\cdots (k+m-1)$ [$m$個の連続する自然数の積の和]$={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)\cdots (n+m)}{m+1}}$

  　

連続する自然数の積を分母とする数列の和

• $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots -{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}=1-{\frac {1}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}$

  　

• $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)(k+2)}}={\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)(n+2)}}$

  $={1 \over 2}\left({\frac {1}{1\cdot 2}}-{\frac {1}{2\cdot 3}}\right)+{1 \over 2}\left({\frac {1}{2\cdot 3}}-{\frac {1}{3\cdot 4}}\right)+\cdots +{1 \over 2}\left({\frac {1}{(n-1)n}}-{\frac {1}{n(n+1)}}\right)+{1 \over 2}\left({\frac {1}{n(n+1)}}-{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}\right)$

  $={1 \over 2}\left({\frac {1}{1\cdot 2}}-{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}\right)={\frac {n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}}$

階差数列

初項が $a_{1}$ であり、2項間の差$:b_{k}=a_{k+1}-a_{k}$としたとき、$\{b_{k}\}$ が規則性を持つのであれば（すなわち、いわゆる数列であれば）、$\{a_{k}\}$ も規則性を有することとなり数列であると言える。このような数列を階差数列という。さらに、数列$\{b_{k}\}$ の規則性が不明瞭である時、さらにその階差をとって数列$\{c_{k}\}$ を作って明瞭な規則性を発見する場合もあり、それからさらに階差の深度を深める場合もある。数列$\{a_{k}\}$ に対して、数列$\{b_{k}\}$ を第1階差数列、数列$\{c_{k}\}$ を第2階差数列という。

$a_{n}-a_{n-1}=b_{n-1}$ であるとき、$a_{n}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}$

$\because a_{n}=b_{n-1}+a_{n-1}=b_{n-1}+b_{n-2}+a_{n-2}=b_{n-1}+b_{n-2}+b_{n-3}+a_{n-3}=\cdots =b_{n-1}+\cdots +b_{1}+a_{1}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}$

$a_{n}-a_{n-1}=b_{n-1},b_{n}-b_{n-1}=c_{n-1}$ であるとき、$a_{n}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(\sum _{k=1}^{n-2}c_{k}\right)$

漸化式と一般項

初項$a_{1}$の値と、第$k$項$a_{k}$と第$k+1$項$a_{k+1}$の関係によって数列を定義することができる。このような定義のしかたを数列の帰納的定義といい、$a_{k}$と$a_{k+1}$のような関係式を漸化式という。

二項間漸化式

※以下、初項$a_{1}$は所与

• $\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=k$（定数） のとき、

  一般項は、$a_{n}=a_{1}+k(n-1)$　　[等差数列]

• $\displaystyle a_{n+1}=ra_{n}$ のとき、

  一般項は、$a_{n}=a_{1}r^{n-1}$　　[等比数列]

• $\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=b_{n}$ のとき、

  一般項は、$a_{n}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}$　　[階差数列]

  • 階差数列の拡張

    $a_{n}$の一般項は不明であるが、数列の和 $\sum _{i=1}^{n}a_{i}$を漸化式$S_{n}$として、$n$の式で与えられていたり、$a_{n}$を含んだ関係式が示されているとき、

    $S_{n}-S_{n-1}=a_{n}$ , $S_{1}=a_{1}$

    の性質を用い、$a_{n}$の一般項を求める。

等比数列となる漸化式の応用

• $\displaystyle a_{n+1}=ra_{n}+k$　$(r\not =1)$ のとき、

  $\displaystyle a_{n+1}=r\left(a_{n}-{\frac {k}{1-r}}\right)+{\frac {k}{1-r}}$

  ここで、

  $\displaystyle b_{n}=a_{n}-{\frac {k}{1-r}}$ とすると、

  元の漸化式は、

  $\displaystyle b_{n+1}=rb_{n}$ となり、これは等比数列なので、一般項は、$b_{n}=b_{1}r^{n-1}$ となる。

  $\displaystyle a_{n}=b_{n}+{\frac {k}{1-r}}$ かつ、$\displaystyle b_{1}=a_{1}-{\frac {k}{1-r}}$ なので、

  一般項は、$\displaystyle a_{n}=\left(a_{1}-{\frac {k}{1-r}}\right)r^{n-1}+{\frac {k}{1-r}}$ となる。

三項間漸化式

※以下、初項$a_{1}$及び第2項$a_{2}$は所与

一般形

$\displaystyle a_{n}+sa_{n-1}+ta_{n-2}=0$ - ① のとき、

$\displaystyle a_{n}-\alpha a_{n-1}=\beta (a_{n-1}-\alpha a_{n-2})$ - ② と変形、

$\displaystyle a_{n}-\alpha a_{n-1}=\beta (a_{n-1}-\alpha a_{n-2})=\beta ^{2}(a_{n-2}-\alpha a_{n-3})$・・・$\displaystyle =\beta ^{n-2}(a_{2}+\alpha a_{1})$ - ③

①と②から、$-s=\alpha +\beta$, $t=\alpha \beta$が成立している（※）ので、①は$\displaystyle a_{n}-\beta a_{n-1}=\alpha (a_{n-1}-\beta a_{n-2})$とも変形でき、③同様、

$\displaystyle a_{n}-\beta a_{n-1}=\alpha ^{n-2}(a_{2}-\beta a_{1})$ - ④となる。

③-④

$-\alpha a_{n-1}+\beta a_{n-1}=\beta ^{n-2}(a_{2}-\alpha a_{1})-\alpha ^{n-2}(a_{2}-\beta a_{1})$

即ち、$(\beta -\alpha )a_{n}=\beta ^{n-1}(a_{2}-\alpha a_{1})-\alpha ^{n-1}(a_{2}-\beta a_{1})$

$a_{n}={\frac {\beta ^{n-1}(a_{2}-\alpha a_{1})-\alpha ^{n-1}(a_{2}-\beta a_{1})}{\beta -\alpha }}$ - ⑤

（参考）

1. ※から、$\alpha ,\beta$は、二次方程式$\displaystyle x^{2}+sx+t=0$（特性方程式）の解であることがわかるが、高校の過程では「変形できる」でよい。
2. 特性方程式の解が、以下に示す重解の場合を除き、有理数である時のみならず、無理数であっても（下記「フィボナッチ数列参照」）、虚数解であっても成立する。

特殊形

上記②において、$\alpha =\beta$であるとき

変形の結果、以下の式が得られる。

$\displaystyle a_{n}-\alpha a_{n-1}=\alpha ^{n-2}(a_{2}-\alpha a_{1})$

両辺を$\displaystyle \alpha ^{n}$で割ると、

$\displaystyle {\frac {a_{n}}{\alpha ^{n}}}-{\frac {a_{n-1}}{\alpha ^{n-1}}}={\frac {a_{2}-\alpha a_{1}}{\alpha ^{2}}}$

ここで、$\displaystyle {\frac {a_{n}}{\alpha ^{n}}}=b_{n}$、左辺は定数なので、$k$と置くと、この式の形は、$\displaystyle b_{n}-b_{n-1}=k$となり、等差数列となる。したがって、

$\displaystyle b_{n}=b_{1}+k(n-1)={\frac {a_{1}}{\alpha }}+{\frac {(a_{2}-\alpha a_{1})(n-1)}{\alpha ^{2}}}$

$\displaystyle a_{n}=\alpha ^{n}b_{n}=\alpha ^{n-2}((n-1)a_{2}-\alpha (n-2)a_{1})$

非斉次形

$\displaystyle a_{n}-2a_{n-1}+a_{n-2}=k$(定数)は以下のように変形して解くことができる。

$\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=a_{n-1}-a_{n-2}+k$

$\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=b_{n-1}$とおけば、$\displaystyle b_{n}=b_{n-1}+k$なので、$\{b_{n}\}$は等差数列となり、

$b_{n-1}=b_{1}+k(n-2)=a_{2}-a_{1}+k(n-2)$である。これが$\{a_{n}\}$の階差数列であることから、

$a_{n}=a_{1}+\sum _{l=2}^{n}(a_{2}-a_{1}+k(l-2))=(n-1)a_{2}-(n-2)a_{1}+{\frac {k(n-2)(n-1)}{2}}$

フィボナッチ数列

以下の関係で定義される数列をフィボナッチ数列という。

$F_{1}=1$, $F_{2}=1$, $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ ($n$ ≧3)

上記三項間漸化式にあてはめ、$F_{n}-F_{n-1}-F_{n-2}=0$を解く。

特性方程式:$\displaystyle x^{2}-x-1=0$を解くと$x={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$であるから、

$\alpha ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$, $\beta ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

を⑤に代入する。$\beta -\alpha ={\sqrt {5}}$, $F_{2}-\alpha F_{1}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\beta$, $F_{2}-\beta F_{1}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=\alpha$であるから、

$F_{n}={\frac {\beta ^{n-1}(F_{2}-\alpha F_{1})-\alpha ^{n-1}(F_{2}-\beta F_{1})}{\beta -\alpha }}={\frac {\beta ^{n}-\alpha ^{n}}{\beta -\alpha }}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}$

参考（黄金数）

$\displaystyle x^{2}-x-1=0$の正の解;${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$（上記$\beta$）との比を黄金比（Golden ratio）、その値を黄金数といい、しばしば、$\varphi$で表す。

同様に、$\varphi$と共役関係にある負の解;${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$（上記$\alpha$）を${\overline {\varphi }}$で表し、フィボナッチ数を以下のように表すこともある。

　

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-{\overline {\varphi }}^{n}}{\varphi -{\overline {\varphi }}}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}(\varphi ^{n}-{\overline {\varphi }}^{n})$

　

黄金比・黄金数は、数学のその他の分野にも登場する興味深い数である。

数学的帰納法

順々に出現する自然数$n$について（離散的）、命題が成立することの証明法。

　

（手順）

1. $n=1$のときに、命題が成り立つことを証明。
2. $n=k$のときに、その命題が成り立つことを仮定して，演算を行なって$n=k+1$のときその命題が成り立つことを証明する。
3. 1.及び2.により、与えられた命題はすべての自然数$n$について成り立つことが証明された。

　

（事例）一般項の式が漸化式を満たすことの証明

$\displaystyle a_{n+1}=ra_{n}+k,a_{1}=a,(r\not =1)$ のとき、一般項は、$\displaystyle a_{n}=\left(a-{\frac {k}{1-r}}\right)r^{n-1}+{\frac {k}{1-r}}$ （命題※）となることの証明。

1. $n=1$のとき、$a_{1}=a$ 。一般項の式:$\left(a-{\frac {k}{1-r}}\right)r^{1-1}+{\frac {k}{1-r}}=a-{\frac {k}{1-r}}+{\frac {k}{1-r}}=a$、となり命題※は成立。
2. $n=m$のとき、命題※が成立していると仮定。

   $n=m+1$のとき、

   $\displaystyle a_{m+1}=ra_{m}+k=r\left(\left(a-{\frac {k}{1-r}}\right)r^{m-1}+{\frac {k}{1-r}}\right)+k$$=\left(a-{\frac {k}{1-r}}\right)r^{m}+{\frac {kr}{1-r}}+k$$=\left(a-{\frac {k}{1-r}}\right)r^{m}+{\frac {k}{1-r}}$

   となり、$n=m+1$のときも命題※は成立している。

3. 1.及び2.により、命題※はすべての自然数$n$について成り立つ。

数列・級数の極限

極限

自然数 $n$ に対応する数列 $a_{n}$ について、$n$ が無限に大きくなるものを無限数列といい、無限に大きくする操作を $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ と記述する。

$\lim _{n\to \infty }a_{n}$ による数列 $a_{n}$ の挙動には以下のものがある。

1. ある実数 $\alpha$ に限りなく近づく。これを、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha$ と表記し、「数列 $a_{n}$ は、$\alpha$ に収束する」という。

   （例）$a_{n}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$, $a_{n}=\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{n}$　いずれも、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ となる。

2. $n$ が無限に大きくなることで収束しない場合を、発散するという。
   1. $n$ が無限に大きくなると $a_{n}$ も無限に大きくなる。これを、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ と表記し、「数列 $a_{n}$ は、正の無限大に発散する」という。

      （例）$a_{n}=n$, $a_{n}=2^{n}$　いずれも、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ となる。

   2. $n$ が無限に大きくなると $a_{n}$ は負の方向に無限に大きくなる。これを、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ と表記し、「数列 $a_{n}$ は、負の無限大に発散する」という。

      （例）$a_{n}=-n$, $a_{n}=-2^{n}$　いずれも、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty$ となる。

   3. $n$ が無限に大きくなると $a_{n}$ は、$n$ の値によって、正または負の値いずれかを取り、収束しない。これを振動するという。なお、$a_{n}=(-1)^{n}$ は、振動し収束しないが発散の範疇とは通常しない。

      （例） $a_{n}=(-a)^{n}(a>1)$

上記の場合で、振動しないものを「極限がある」といい、振動するものを「極限がない」という。

数列の極限

• 数列 $\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}$ が、$N$ が十分大きいとき常に $\displaystyle a_{N}\leq b_{N}\leq c_{N}$ を満たし、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=\alpha$ となるならば、$\displaystyle \{b_{n}\}$ も収束し、

  $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\alpha$

（はさみうちの原理）

• 数列$\{a_{n}\},\{b_{n}\}$が$N$が十分大きいとき常に$a_{N}<b_{N}$を満たし、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$となるならば、

  $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$

（追い出しの原理）

• 数列 $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ に対して, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha$, $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta$ ならば、

1. $\lim _{n\to \infty }ka_{n}=k\alpha$ ただし $k$ は定数。
2. $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\alpha \pm \beta$　（複号同順）。
3. $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\alpha \beta$
4. $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\alpha }{\beta }}$ 　（ただし、$\beta \not =0$）。

• 数列 $\{r^{n}\}$ について、

1. $\displaystyle |r|<1$ ならば $\lim _{n\to \infty }r^{n}=0$。（収束）
2. $r=1$ ならば $\lim _{n\to \infty }r^{n}=1$。（収束）
3. $\displaystyle r>1$ ならば $\lim _{n\to \infty }r^{n}=\infty$。（発散）
4. $r$ ≤ $-1$ ならば $\lim _{n\to \infty }r^{n}$ は存在しない。（振動）

• 数列 $\{nr^{n}\}$ において、$0<r<1$ ならば $\lim _{n\to \infty }nr^{n}=0$

(証明) ${\frac {1}{r}}>1$ であるから ${\frac {1}{r}}=1+h,(h>0)$ とおくと、$n>2$ のとき、

$0<nr^{n}={\frac {n}{(1+h)^{n}}}<{\frac {n}{{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}}}={\frac {2}{(n-1)h^{2}}}$。

ここで、$(1+h)^{n}$を2項定理で展開して、2次の項だけ抽出した。$n\to \infty$ のとき右辺 $\to 0$ であるから、はさみうちの原理により、$\lim _{n\to \infty }nr^{n}=0$

級数の極限

無限数列 $a_{n}$ の各項を足し合わせたものを無限級数または単に級数と呼ぶ。和の表現を用いると、$\sum _{i=m}^{\infty }a_{i}$であり、$\sum _{i=m}^{n}a_{i}=S_{n}$ という数列であると捉えると、$\lim _{n\to \infty }S_{n}$ と記すことができる。

• 級数： $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}$ について、

1. $|r|<1$ のとき $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-r}}$。
2. $|r|$ ≥ $1$ のとき $\lim _{n\to \infty }S_{n}$ は発散する。

(証明)$S_{n}-rS_{n}=a(\sum _{k=0}^{n}r^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}r^{k})=a(r^{0}-r^{n+1})$

$\therefore S_{n}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}$

$|r|<1$のとき$\lim _{n\to \infty }r^{n+1}=0$より$\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {a}{1-r}}$

$r>1$のとき$\lim _{n\to \infty }r^{n+1}=\infty$より$S_{n}$の極限は発散する。