初等数学公式集/数列

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
ナビゲーションに移動 検索に移動

一般項[編集]

  • 等差数列(算術数列)
    初項を とし、公差を とすれば、番目の項
  • 等比数列(幾何数列)
    初項を とし、公比を とすれば、番目の項

数列の和[編集]

  • (等差数列の和)
  • (等比数列の和)

数列の和の性質(線形性)[編集]

漸化式と一般項[編集]

二項間漸化式[編集]

※以下、初項は所与

  • (定数) のとき、
    一般項は、  [等差数列]
  • のとき、
    一般項は、  [階差数列]
  • のとき、
    一般項は、  [等比数列]

等比数列となる漸化式の応用[編集]

  •   のとき、
    ここで、
    とすると、
    元の漸化式は、
    となり、これは等比数列なので、一般項は、 となる。
    かつ、 なので、
    一般項は、 となる。

三項間漸化式[編集]

※以下、初項及び第2項は所与

一般形[編集]

- ① のとき、
- ② と変形、
・・・ - ③
①と②から、, が成立している(※)ので、①はとも変形でき、③同様、
- ④となる。
③-④
即ち、
- ⑤
(参考)
  1. ※から、は、二次方程式(特性方程式)の解であることがわかるが、高校の過程では「変形できる」でよい。
  2. 特性方程式の解が、以下に示す重解の場合を除き、有理数である時のみならず、無理数であっても(下記「フィボナッチ数列参照」)、虚数解であっても成立する。

特殊形[編集]

上記②において、であるとき

変形の結果、以下の式が得られる。
両辺をで割ると、
ここで、、左辺は定数なので、と置くと、この式の形は、となり、等差数列となる。したがって、

非斉次形[編集]

(定数)は以下のように変形して解くことができる。

とおけば、なので、は等差数列となり、
である。これがの階差数列であることから、

フィボナッチ数列[編集]

Wikipedia
ウィキペディアフィボナッチ数の記事があります。

以下の関係で定義される数列をフィボナッチ数列という。

, , ( ≧3)
上記三項間漸化式にあてはめ、を解く。
特性方程式:を解くとであるから、
,
を⑤に代入する。, , であるから、

数列・級数の極限[編集]

  • 数列 が、 が十分大きいとき常に を満たし、 となるならば、 も収束し、

(はさみうちの原理)

  • 数列 に対して, , ならば、
  1. ただし は定数。
  2.  (複号同順)。
  3.  (ただし、)。
  • 数列 について、
  1. ならば
  2. ならば
  3. ならば
  4. ならば は存在しない。
  • 級数: について、
  1. のとき
  2. のとき は発散する。