初等数学公式集/初等関数の性質/参考

有名角の値2

${\frac {\pi }{10}}(=18^{\circ })$

余角の公式より、等式:$\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{5}}\right)=\cos {\frac {\pi }{5}}$が成立する。

　

ここで、${\frac {\pi }{10}}=\theta$とおくと、$\sin 3\theta =\cos 2\theta$となり、二倍角の公式及び三倍角の公式から、$3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =1-2\sin ^{2}\theta$。

　

さらに、$\sin \theta =t$とおいて、方程式:$4t^{3}-2t^{2}-3t+1=(t-1)(4t^{2}+2t-1)=0$を得る。

　

これを解いて、$t=1,{\frac {-1\pm {\sqrt {5}}}{4}}$。$t=\sin \theta =\sin {\frac {\pi }{10}}$であるので、$0<t<1$、従って、$\sin {\frac {\pi }{10}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}$

　

$\cos {\frac {\pi }{10}}={\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\pi }{10}}}}$ $\left(\because \cos {\frac {\pi }{10}}>0\right)$$={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$

　

$\tan {\frac {\pi }{10}}={\frac {\sin {\frac {\pi }{10}}}{\cos {\frac {\pi }{10}}}}={\frac {1}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}={\frac {{\sqrt {5(5-2{\sqrt {5}}}})}{5}}$

　

${\frac {\pi }{5}}(=36^{\circ })$

二倍角の公式より、$\sin {\frac {\pi }{5}}=2\sin {\frac {\pi }{10}}\cos {\frac {\pi }{10}}=2\left({\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)\left({\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}\right)={\frac {\left({-1+{\sqrt {5}}}\right)\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)}{8}}={\frac {\sqrt {(-1+{\sqrt {5}})^{2}(10+2{\sqrt {5}})}}{8}}$

　

$={\frac {\sqrt {(6-2{\sqrt {5}})(10+2{\sqrt {5}})}}{8}}={\frac {\sqrt {40-8{\sqrt {5}}}}{8}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$

　

$\cos {\frac {\pi }{5}}={\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\pi }{5}}}}$ $\left(\because \cos {\frac {\pi }{5}}>0\right)$$={\sqrt {1-\left({\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {16-(10-2{\sqrt {5}})}}{4}}={\frac {\sqrt {6+2{\sqrt {5}}}}{4}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$

　

$\tan {\frac {\pi }{5}}={\frac {\sin {\frac {\pi }{5}}}{\cos {\frac {\pi }{5}}}}={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$

　

${\frac {3\pi }{10}}(=54^{\circ })$

　

余角の公式より、等式:$\sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{5}}\right)=\cos {\frac {\pi }{5}},$　$\cos {\frac {3\pi }{10}}=\sin {\frac {\pi }{5}}$が成立する。

　

$\therefore \sin {\frac {3\pi }{10}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$, 　$\cos {\frac {3\pi }{10}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$, 　$\tan {\frac {3\pi }{10}}={\frac {1}{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}$

　

${\frac {2\pi }{5}}(=72^{\circ })$

　

余角の公式より、等式:$\sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{10}}\right)=\cos {\frac {\pi }{10}},$　$\cos {\frac {2\pi }{5}}=\sin {\frac {\pi }{10}}$が成立する。

　

$\therefore \sin {\frac {2\pi }{5}}={\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}$, 　$\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}$, 　$\tan {\frac {2\pi }{5}}={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}$

黄金比との関係

$1:{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,.$で表される比率を黄金比（Golden ratio）という。

　

幾何的には、$a:b$ が黄金比ならば、$a:b=b:(a+b)$という等式が成り立っている。

　

また、この値（黄金数）は、方程式:$x^{2}=x+1$ の解$x={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}$ の正となるものでもある。なお、もう一方の負となる解$x={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ を共役黄金比（Golden ratio conjugate）と呼び、しばしば、各々を$\varphi ,{\overline {\varphi }}$で表す。この時、以下の関係となる。

　

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},{\overline {\varphi }}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}},$　$\varphi +{\overline {\varphi }}=1,\varphi {\overline {\varphi }}=-1,\varphi -{\overline {\varphi }}={\sqrt {5}}$

　

$\varphi ^{-1}=-{\overline {\varphi }}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}},$　${\overline {\varphi }}^{-1}=-\varphi ={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}$

　

$\varphi ,{\overline {\varphi }}$は、$x^{2}=x+1$ の解であるので、

　

$\varphi ^{2}=\varphi +1$

　

${\overline {\varphi }}^{2}={\overline {\varphi }}+1$

　

これを、上記の結果に当てはめてみる。

　

$\sin {\frac {\pi }{10}}=\cos {\frac {2\pi }{5}}={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}={\frac {-{\overline {\varphi }}}{2}}={\frac {\varphi -1}{2}}={\frac {\varphi ^{-1}}{2}}$

　

$\cos {\frac {\pi }{10}}=\sin {\frac {2\pi }{5}}={\sqrt {1-\left({\frac {-{\overline {\varphi }}}{2}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {4-{\overline {\varphi }}^{2}}}{2}}={\frac {\sqrt {2+\varphi }}{2}}$

　

$\sin {\frac {\pi }{5}}=\cos {\frac {3\pi }{10}}={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}{\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}{\sqrt {-{\overline {\varphi }}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}}{\sqrt {\varphi ^{-1}}}$

　

$\cos {\frac {\pi }{5}}=\sin {\frac {3\pi }{10}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}={\frac {\varphi }{2}}$

　

※なお、黄金比・黄金数は、フィボナッチ数列にも登場する。