初等整数論/ルーカス数列/基本的な関係式の証明

ルーカス数列に関する基本的な関係式の証明をここで行う。

関係式 1

（二次の関係式）

\begin{matrix} V_{n}^{2} - D U_{n}^{2} = & 4 Q^{n}, \\ U_{n}^{2} - U_{n - 1} U_{n + 1} = & - Q^{n - 1} . \end{matrix}

証明
$D = (α - β)^{2}$ より

(α^{n} + β^{n})^{2} - (α^{n} - β^{n})^{2} = 4 α^{n} β^{n} = 4 Q^{n}

となり、前の式が導かれる。後の式は

U_{n}^{2} - U_{n - 1} U_{n + 1} = \frac{(α^{n} - β^{n})^{2} - (α^{n - 1} - β^{n - 1}) (α^{n + 1} - β^{n + 1})}{(α - β)^{2}}

となるところ、右辺の分子は

= - 2 α^{n} β^{n} - (- α^{n - 1} β^{n + 1} - α^{n + 1} β^{n - 1}) = α^{n - 1} β^{n - 1} (α - β)^{2} = Q^{n - 1} (α - β)^{2}

となることから確かめられる。

関係式 2

（添字の加法）

\begin{matrix} 2 U_{m + n} = & U_{m} V_{n} + U_{n} V_{m}, \\ 2 Q^{n} U_{m - n} = & U_{m} V_{n} - U_{n} V_{m}, \\ U_{m + n} = & U_{m} U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_{n}, \\ 2 V_{m + n} = & V_{m} V_{n} + D U_{m} U_{n} . \end{matrix}

証明

\begin{matrix} U_{m} V_{n} + U_{n} V_{m} = & \frac{(α^{m} - β^{m}) (α^{n} + β^{n}) + (α^{n} - β^{n}) (α^{m} + β^{m})}{α - β} \\ = & \frac{(α^{m + n} - β^{m + n} + α^{m} β^{n} - α^{n} β^{m}) + (α^{m + n} - β^{m + n} + α^{n} β^{m} - α^{m} β^{n})}{α - β} \\ = & \frac{2 (α^{m + n} - β^{m + n})}{α - β} \\ = & 2 U_{m + n} \end{matrix}

および

\begin{matrix} U_{m} V_{n} - U_{n} V_{m} = & \frac{(α^{m} - β^{m}) (α^{n} + β^{n}) - (α^{n} - β^{n}) (α^{m} + β^{m})}{α - β} \\ = & \frac{(α^{m + n} - β^{m + n} + α^{m} β^{n} - α^{n} β^{m}) - (α^{m + n} - β^{m + n} + α^{n} β^{m} - α^{m} β^{n})}{α - β} \\ = & \frac{2 (α^{m} β^{n} - α^{n} β^{m})}{α - β} = \frac{2 α^{n} β^{n} (α^{m - n} - β^{m - n})}{α - β} \\ = & 2 Q^{n} U_{m - n} \end{matrix}

により、最初の2つの式は証明される。

3つめの式は

U_{m} U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_{n} = \frac{(α^{m} - β^{m}) (α^{n + 1} - β^{n + 1}) - α β (α^{m - 1} - β^{m - 1}) (α^{n} - β^{n})}{(α - β)^{2}}

となるところ、右辺の分子は

\begin{matrix} = & (α^{m + n + 1} + β^{m + n + 1} - α^{m} β^{n + 1} - α^{n + 1} β^{m}) - (α^{m + n} β + α β^{m + n} - α^{m} β^{n + 1} - α^{n + 1} β^{m}) \\ = & (α^{m + n + 1} + β^{m + n + 1}) - (α^{m + n} β + α β^{m + n}) \\ = & (α - β) (α^{m + n} - β^{m + n}) \end{matrix}

となることから、結局

\begin{matrix} U_{m} U_{n + 1} - Q U_{m - 1} U_{n} = \frac{α^{m + n} - β^{m + n}}{α - β} = U_{m + n} . \end{matrix}

となることより確かめられる。

また $D = (α - β)^{2}$ より

V_{m} V_{n} + D U_{m} U_{n} = (α^{m} + β^{m}) (α^{n} + β^{n}) + (α^{m} - β^{m}) (α^{n} - β^{n}) = 2 (α^{m + n} + β^{m + n})

が成り立つ。

関係式 3

（添字の加法その2）

\begin{matrix} U_{m + n} = & U_{m} V_{n} - Q^{n} U_{m - n}, \\ V_{m + n} = & V_{m} V_{n} - Q^{n} V_{m - n} = D U_{m} U_{n} + Q^{n} V_{m - n} . \end{matrix}

証明
前の式は

\begin{matrix} U_{m} V_{n} - Q^{n} U_{m - n} = & \frac{(α^{m} - β^{m}) (α^{n} + β^{n}) - α^{n} β^{n} (α^{m - n} - β m - n)}{α - β} \\ = & \frac{α^{m + n} - β^{m + n} + α^{n} β^{n} (α^{m - n} - β^{m - n}) - α^{n} β^{n} (α^{m - n} - β m - n)}{α - β} \\ = & \frac{α^{m + n} - β^{m + n}}{α - β} \\ = & U_{m + n} \end{matrix}

により確かめられる。後の式は

V_{m} V_{n} - Q^{n} V_{m - n} = (α^{m} + β^{m}) (α^{n} + β^{n}) - α^{n} β^{n} (α^{m - n} + β^{m - n}) = α^{m + n} + β^{m + n}

および

D U_{m} U_{n} + Q^{n} V_{m - n} = (α^{m} - β^{m}) (α^{n} - β^{n}) + α^{n} β^{n} (α^{m - n} + β^{m - n}) = α^{m + n} + β^{m + n}

により確かめられる。

関係式 4

\begin{matrix} D U_{n} = & V_{n + 1} - Q V_{n - 1}, \\ V_{n} = & U_{n + 1} - Q U_{n - 1} . \end{matrix}

証明

V_{n + 1} - Q V_{n - 1} = α^{n + 1} + β^{n + 1} - α β (α^{n - 1} + β n - 1) = (α - β) (α^{n} - β^{n})

および $D = (α - β)^{2}$ より前の式が確かめられる。また

U_{n + 1} - Q U_{n - 1} = \frac{α^{n + 1} - β^{n + 1} - α β (α^{n - 1} - β^{n - 1})}{α - β}

となるところ、右辺の分子は

(α - β) (α^{n} + β^{n})

に一致するので、後の式も確かめられる。

関係式 5

（添字2倍公式）

\begin{matrix} U_{2 n} = & U_{n} V_{n}, \\ V_{2 n} = & V_{n} - 2 Q^{n} . \end{matrix}

証明
関係式 2, 3 から導かれるが、

\begin{matrix} U_{2 n} = & \frac{α^{2 n} - β^{2 n}}{α - β} = \frac{α^{n} - β^{n}}{α - β} \cdot (α^{n} + β^{n}) = U_{n} V_{n}, \\ V_{2 n} = & α^{2 n} + β^{2 n} = (α^{n} + β^{n})^{2} - 2 (α β)^{n} = V_{n} - 2 Q^{n} . \end{matrix}

により直接確かめることもできる。

関係式 6

（添字3倍公式）

\begin{matrix} U_{3 n} = & U_{n} (V_{n}^{2} - Q^{n}) = U_{n} (D U_{n}^{2} + 3 Q^{n}), \\ V_{3 n} = & V_{n} (V_{n}^{2} - 3 Q^{n}) . \end{matrix}

証明

\begin{matrix} U_{3 n} = & \frac{α^{3 n} - β^{3 n}}{α - β} = \frac{α^{n} - β^{n}}{α - β} \cdot (α^{2 n} + α^{n} β^{n} + β^{2 n}) \\ = & U_{n} ((α^{n} + β^{n})^{2} - (α β)^{n}) = U_{n} (V_{n}^{2} - Q^{n}) \\ = & U_{n} ((α^{n} - β^{n})^{2} + 3 (α β)^{n}) = U_{n} (D U_{n}^{2} + 3 Q^{n}), \end{matrix}

V_{3 n} = α^{3 n} + β^{3 n} = (α^{n} + β^{n})^{3} - 3 (α β)^{n} (α^{n} + β^{n}) = V_{n} (V_{n}^{2} - 3 Q^{n}) .

により確かめられる。

二項展開に関する等式

より一般的な、添字の乗法について考えたい。そのために、まず、次の等式が成り立つことを見る。 m が偶数のとき

\begin{matrix} (X + Y)^{m} = & \sum_{r = 0}^{m} (\binom{m}{r}) X^{r} Y^{m - r} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) (X^{r} Y^{m - r} + X^{m - r} Y^{r}) + (\binom{m}{m / 2}) (X Y)^{\frac{m}{2}} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) (X Y)^{r} (X^{m - 2 r} + Y^{m - 2 r}) + (\binom{m}{m / 2}) (X Y)^{\frac{m}{2}}, \dots (#) \end{matrix}

m が奇数のとき

\begin{matrix} (X + Y)^{m} = & \sum_{r = 0}^{m} (\binom{m}{r}) X^{r} Y^{m - r} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{r}) (X^{r} Y^{m - r} + X^{m - r} Y^{r}) \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{r}) (X Y)^{r} (X^{m - 2 r} + Y^{m - 2 r}) . \dots (♭) \end{matrix}

関係式 7

（奇数乗の展開） m が奇数のとき

\begin{matrix} D^{\frac{m - 1}{2}} U_{k}^{m} = & \sum_{r = 0}^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{r}) (- 1)^{r} Q^{k r} U_{k (m - 2 r)} \\ = & U_{k m} - (\binom{m}{1}) Q^{k} U_{k (m - 2)} + (\binom{m}{2}) Q^{2 k} U_{k (m - 4)} - \dots + (- 1)^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{(m - 1) / 2}) Q^{\frac{m - 1}{2} k} U_{k} \end{matrix}

および

\begin{matrix} V_{k}^{m} = & \sum_{r = 0}^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{r}) Q^{k r} V_{k (m - 2 r)} \\ = & U_{k m} + (\binom{m}{1}) Q^{k} V_{k (m - 2)} + (\binom{m}{2}) Q^{2 k} V_{k (m - 4)} + \dots + (\binom{m}{(m - 1) / 2}) Q^{\frac{m - 1}{2} k} V_{k} . \end{matrix}

証明

D^{\frac{m - 1}{2}} U_{k}^{m} = (α - β)^{m - 1} \cdot \frac{(α^{k} - β^{k})^{m}}{(α - β)^{m}} = \frac{(α^{k} - β^{k})^{m}}{α - β},

ここで、等式 $(♭)$ より

\begin{matrix} \frac{(α^{k} - β^{k})^{m}}{α - β} = & \sum_{r = 0} \frac{m - 1}{2} (\binom{m}{r}) (- (α β)^{k})^{r} \cdot \frac{α^{k (m - 2 r)} - β^{k (m - 2 r)}}{α - β} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{r}) (- 1)^{r} Q^{k r} U_{k (m - 2 r)} . \end{matrix}

が成り立つ。同様に

\begin{matrix} V_{k}^{m} = & (α^{k} + β^{k})^{m} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{r}) (α β)^{k r} (α^{k (m - 2 r)} + β^{k (m - 2 r)}) \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{r}) Q^{k r} V_{k (m - 2 r)} . \end{matrix}

が成り立つ。

関係式 8

（偶数乗の展開） m が偶数で k が正の整数のとき

\begin{matrix} D^{\frac{m}{2}} U_{k}^{m} = & \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) (- 1)^{r} Q^{k r} V_{k (m - 2 r)} + (- 1)^{\frac{m}{2}} (\binom{m}{m / 2}) Q^{\frac{m k}{2}} \\ = & V_{k m} - (\binom{m}{1}) Q^{k} V_{k (m - 2)} + (\binom{m}{2}) Q^{2 k} V_{k (m - 4)} - \dots + (- 1)^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{m / 2 - 1}) Q^{(\frac{m}{2} - 1) k} V_{2 k} + (- 1)^{\frac{m}{2}} (\binom{m}{m / 2}) Q^{\frac{m k}{2}}, \end{matrix}

および

\begin{matrix} V_{k}^{m} = & \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) Q^{k r} V_{k (m - 2 r)} + (\binom{m}{m / 2}) Q^{\frac{m k}{2}} \\ = & V_{k m} + (\binom{m}{1}) Q^{k} V_{k (m - 2)} + (\binom{m}{2}) Q^{2 k} V_{k (m - 4)} + \dots + (\binom{m}{m / 2 - 1}) Q^{(\frac{m}{2} - 1) k} V_{2 k} + (\binom{m}{m / 2}) Q^{\frac{m k}{2}} . \end{matrix}

成り立つ。

証明
等式 $(#)$ より

\begin{matrix} D^{\frac{m}{2}} U_{k}^{m} = & (α^{k} - β^{k})^{m} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) (- α^{k} β^{k})^{r} (α^{k (m - 2 r)} + β^{k (m - 2 r)}) + (\binom{m}{m / 2}) (- α^{k} β^{k})^{\frac{m}{2}} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) (- 1)^{r} Q^{k r} V_{k (m - 2 r)} + (- 1)^{\frac{m}{2}} (\binom{m}{m / 2}) Q^{\frac{m k}{2}} \end{matrix}

および

\begin{matrix} V_{k}^{m} = & (α^{k} + β^{k})^{m} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) (α^{k} β^{k})^{r} (α^{k (m - 2 r)} + β^{k (m - 2 r)}) + (\binom{m}{m / 2}) (α^{k} β^{k})^{\frac{m}{2}} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) Q^{k r} V_{k (m - 2 r)} + (\binom{m}{m / 2}) Q^{\frac{m k}{2}} \end{matrix}

が確かめられる。

関係式 9

（添字多倍公式） k が偶数のとき

U_{k m} = U_{m} \sum_{r = 0}^{\frac{k}{2} - 1} Q^{m r} V_{m (k - 1 - 2 r)} = U_{m} (V_{m (k - 1)} + Q^{m} V_{m (k - 3)} + \dots),

k が奇数のとき

U_{k m} = U_{m} (Q^{\frac{m (k - 1)}{2}} + \sum_{r = 0}^{\frac{k - 3}{2}} Q^{m r} V_{m (k - 1 - 2 r)})

および

V_{k m} = V_{m} ((- 1)^{\frac{k - 1}{2}} Q^{\frac{m (k - 1)}{2}} + \sum_{r = 0}^{\frac{k - 3}{2}} (- 1)^{r} Q^{m r} V_{m (k - 1 - 2 r)})

が成り立つ。

証明
k が偶数のとき

\begin{matrix} U_{k m} = & \frac{α^{k m} - β^{k m}}{α - β} \\ = & \frac{α^{k m} - β^{k m}}{α^{m} - β^{m}} \cdot U_{m} \\ = & U_{m} \sum_{r = 0}^{k - 1} α^{m (k - 1 - r)} β^{m r} \\ = & U_{m} \sum_{r = 0}^{\frac{k}{2} - 1} Q^{m r} V_{m (k - 1 - 2 r)}, \end{matrix}

また k が奇数のとき

\begin{matrix} U_{k m} = & \frac{α^{k m} - β^{k m}}{α - β} \\ = & \frac{α^{k m} - β^{k m}}{α^{m} - β^{m}} \cdot U_{m} \\ = & U_{m} \sum_{r = 0}^{k - 1} α^{m (k - 1 - r)} β^{m r} \\ = & U_{m} (Q^{\frac{m (k - 1)}{2}} + \sum_{r = 0}^{\frac{k - 3}{2}} Q^{m r} V_{m (k - 1 - 2 r)}) \end{matrix}

および

\begin{matrix} \frac{V_{k m}}{V_{m}} = & \frac{α^{k m} + β^{k m}}{α^{m} + β^{m}} \\ = & \sum_{r = 0}^{k - 1} (- 1)^{r} α^{m (k - 1 - r)} β^{m r} \\ = & (- 1)^{\frac{k - 1}{2}} Q^{\frac{m (k - 1)}{2}} + \sum_{r = 0}^{\frac{k - 3}{2}} (- 1)^{r} Q^{m r} V_{m (k - 1 - 2 r)} \end{matrix}

である。

関係式 10

（P , D を使った展開）

2^{n - 1} U_{n} = (\binom{n}{1}) P^{n - 1} + (\binom{n}{3}) P^{n - 3} D + \dots

2^{n - 1} V_{n} = P^{n} + (\binom{n}{2}) P^{n - 2} D + (\binom{n}{4}) P^{n - 4} D^{2} + \dots

証明

\frac{V_{1} + U_{1} \sqrt{D}}{2} = α = \frac{P + \sqrt{D}}{2}

を n 乗して

\frac{V_{n} + U_{n} \sqrt{D}}{2} = α^{n} {(\frac{P + \sqrt{D}}{2})}^{n}

つまり

\begin{matrix} 2^{n - 1} (V_{n} + U_{n} \sqrt{D}) = & (P + \sqrt{D})^{n} \\ = & P^{n} + (\binom{n}{1}) P^{n - 1} \sqrt{D} + (\binom{n}{2}) P^{n - 2} D + \dots \\ = & (P^{n} + (\binom{n}{2}) P^{n - 2} D + (\binom{n}{4}) P^{n - 4} D^{2} + \dots) + ((\binom{n}{1}) P^{n - 1} + (\binom{n}{3}) P^{n - 3} D + \dots) \sqrt{D} \end{matrix}

と展開できる。同様に

\begin{matrix} 2^{n - 1} (V_{n} - U_{n} \sqrt{D}) = & (P - \sqrt{D})^{n} \\ = & P^{n} - (\binom{n}{1}) P^{n - 1} \sqrt{D} + (\binom{n}{2}) P^{n - 2} D - \dots \\ = & (P^{n} + (\binom{n}{2}) P^{n - 2} D + (\binom{n}{4}) P^{n - 4} D^{2} + \dots) - ((\binom{n}{1}) P^{n - 1} + (\binom{n}{3}) P^{n - 3} D + \dots) \sqrt{D} \end{matrix}

と展開できる。これらの和および差を1/2倍して求める式が得られる。

関係式 11

（ $P^{m}$ の展開） m が偶数のとき

P^{m} = \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) Q^{r} V_{m - 2 r} + (\binom{m}{m / 2}) Q^{\frac{m}{2}},

m が奇数のとき

P^{m} = \sum_{r = 0}^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{r}) Q^{r} V_{m - 2 r} = V_{m} + m Q V_{m - 2} + (\binom{m}{2}) Q^{2} V_{m - 4} + \dots .

証明

等式 $(#) (♭)$ より m が偶数のとき

\begin{matrix} P^{m} = & (α + β)^{m} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) (α β)^{r} (α^{m - 2 r} + β^{m - 2 r}) + (\binom{m}{m / 2}) (α β)^{\frac{m}{2}} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m}{2} - 1} (\binom{m}{r}) Q^{r} V_{m - 2 r} + (\binom{m}{m / 2}) Q^{\frac{m}{2}}, \end{matrix}

m が奇数のとき

\begin{matrix} P^{m} = & (α + β)^{m} \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{r}) (α β)^{r} (α^{m - 2 r} + β^{m - 2 r}) \\ = & \sum_{r = 0}^{\frac{m - 1}{2}} (\binom{m}{r}) Q^{r} V_{m - 2 r} \end{matrix}

となる。