初等整数論/ルーカス数列/基本的な関係式の証明

ルーカス数列に関する基本的な関係式の証明をここで行う。

関係式 1

（二次の関係式）

${\begin{aligned}V_{n}^{2}-DU_{n}^{2}=&4Q^{n},\\U_{n}^{2}-U_{n-1}U_{n+1}=&-Q^{n-1}.\end{aligned}}$

証明
$D=(\alpha -\beta )^{2}$ より

$(\alpha ^{n}+\beta ^{n})^{2}-(\alpha ^{n}-\beta ^{n})^{2}=4\alpha ^{n}\beta ^{n}=4Q^{n}$

となり、前の式が導かれる。後の式は

$U_{n}^{2}-U_{n-1}U_{n+1}={\frac {(\alpha ^{n}-\beta ^{n})^{2}-(\alpha ^{n-1}-\beta ^{n-1})(\alpha ^{n+1}-\beta ^{n+1})}{(\alpha -\beta )^{2}}}$

となるところ、右辺の分子は

$=-2\alpha ^{n}\beta ^{n}-(-\alpha ^{n-1}\beta ^{n+1}-\alpha ^{n+1}\beta ^{n-1})=\alpha ^{n-1}\beta ^{n-1}(\alpha -\beta )^{2}=Q^{n-1}(\alpha -\beta )^{2}$

となることから確かめられる。

関係式 2

（添字の加法）

${\begin{aligned}2U_{m+n}=&U_{m}V_{n}+U_{n}V_{m},\\2Q^{n}U_{m-n}=&U_{m}V_{n}-U_{n}V_{m},\\U_{m+n}=&U_{m}U_{n+1}-QU_{m-1}U_{n},\\2V_{m+n}=&V_{m}V_{n}+DU_{m}U_{n}.\end{aligned}}$

証明

${\begin{aligned}U_{m}V_{n}+U_{n}V_{m}=&{\frac {(\alpha ^{m}-\beta ^{m})(\alpha ^{n}+\beta ^{n})+(\alpha ^{n}-\beta ^{n})(\alpha ^{m}+\beta ^{m})}{\alpha -\beta }}\\=&{\frac {(\alpha ^{m+n}-\beta ^{m+n}+\alpha ^{m}\beta ^{n}-\alpha ^{n}\beta ^{m})+(\alpha ^{m+n}-\beta ^{m+n}+\alpha ^{n}\beta ^{m}-\alpha ^{m}\beta ^{n})}{\alpha -\beta }}\\=&{\frac {2(\alpha ^{m+n}-\beta ^{m+n})}{\alpha -\beta }}\\=&2U_{m+n}\end{aligned}}$

および

${\begin{aligned}U_{m}V_{n}-U_{n}V_{m}=&{\frac {(\alpha ^{m}-\beta ^{m})(\alpha ^{n}+\beta ^{n})-(\alpha ^{n}-\beta ^{n})(\alpha ^{m}+\beta ^{m})}{\alpha -\beta }}\\=&{\frac {(\alpha ^{m+n}-\beta ^{m+n}+\alpha ^{m}\beta ^{n}-\alpha ^{n}\beta ^{m})-(\alpha ^{m+n}-\beta ^{m+n}+\alpha ^{n}\beta ^{m}-\alpha ^{m}\beta ^{n})}{\alpha -\beta }}\\=&{\frac {2(\alpha ^{m}\beta ^{n}-\alpha ^{n}\beta ^{m})}{\alpha -\beta }}={\frac {2\alpha ^{n}\beta ^{n}(\alpha ^{m-n}-\beta ^{m-n})}{\alpha -\beta }}\\=&2Q^{n}U_{m-n}\end{aligned}}$

により、最初の2つの式は証明される。

3つめの式は

$U_{m}U_{n+1}-QU_{m-1}U_{n}={\frac {(\alpha ^{m}-\beta ^{m})(\alpha ^{n+1}-\beta ^{n+1})-\alpha \beta (\alpha ^{m-1}-\beta ^{m-1})(\alpha ^{n}-\beta ^{n})}{(\alpha -\beta )^{2}}}$

となるところ、右辺の分子は

${\begin{aligned}=&(\alpha ^{m+n+1}+\beta ^{m+n+1}-\alpha ^{m}\beta ^{n+1}-\alpha ^{n+1}\beta ^{m})-(\alpha ^{m+n}\beta +\alpha \beta ^{m+n}-\alpha ^{m}\beta ^{n+1}-\alpha ^{n+1}\beta ^{m})\\=&(\alpha ^{m+n+1}+\beta ^{m+n+1})-(\alpha ^{m+n}\beta +\alpha \beta ^{m+n})\\=&(\alpha -\beta )(\alpha ^{m+n}-\beta ^{m+n})\end{aligned}}$

となることから、結局

${\begin{aligned}U_{m}U_{n+1}-QU_{m-1}U_{n}={\frac {\alpha ^{m+n}-\beta ^{m+n}}{\alpha -\beta }}=U_{m+n}.\end{aligned}}$

となることより確かめられる。

また $D=(\alpha -\beta )^{2}$ より

$V_{m}V_{n}+DU_{m}U_{n}=(\alpha ^{m}+\beta ^{m})(\alpha ^{n}+\beta ^{n})+(\alpha ^{m}-\beta ^{m})(\alpha ^{n}-\beta ^{n})=2(\alpha ^{m+n}+\beta ^{m+n})$

が成り立つ。

関係式 3

（添字の加法その2）

${\begin{aligned}U_{m+n}=&U_{m}V_{n}-Q^{n}U_{m-n},\\V_{m+n}=&V_{m}V_{n}-Q^{n}V_{m-n}=DU_{m}U_{n}+Q^{n}V_{m-n}.\end{aligned}}$

証明
前の式は

${\begin{aligned}U_{m}V_{n}-Q^{n}U_{m-n}=&{\frac {(\alpha ^{m}-\beta ^{m})(\alpha ^{n}+\beta ^{n})-\alpha ^{n}\beta ^{n}(\alpha ^{m-n}-\beta {m-n})}{\alpha -\beta }}\\=&{\frac {\alpha ^{m+n}-\beta ^{m+n}+\alpha ^{n}\beta ^{n}(\alpha ^{m-n}-\beta ^{m-n})-\alpha ^{n}\beta ^{n}(\alpha ^{m-n}-\beta {m-n})}{\alpha -\beta }}\\=&{\frac {\alpha ^{m+n}-\beta ^{m+n}}{\alpha -\beta }}\\=&U_{m+n}\end{aligned}}$

により確かめられる。後の式は

$V_{m}V_{n}-Q^{n}V_{m-n}=(\alpha ^{m}+\beta ^{m})(\alpha ^{n}+\beta ^{n})-\alpha ^{n}\beta ^{n}(\alpha ^{m-n}+\beta ^{m-n})=\alpha ^{m+n}+\beta ^{m+n}$

および

$DU_{m}U_{n}+Q^{n}V_{m-n}=(\alpha ^{m}-\beta ^{m})(\alpha ^{n}-\beta ^{n})+\alpha ^{n}\beta ^{n}(\alpha ^{m-n}+\beta ^{m-n})=\alpha ^{m+n}+\beta ^{m+n}$

により確かめられる。

関係式 4

${\begin{aligned}DU_{n}=&V_{n+1}-QV_{n-1},\\V_{n}=&U_{n+1}-QU_{n-1}.\end{aligned}}$

証明

$V_{n+1}-QV_{n-1}=\alpha ^{n+1}+\beta ^{n+1}-\alpha \beta (\alpha ^{n-1}+\beta {n-1})=(\alpha -\beta )(\alpha ^{n}-\beta ^{n})$

および $D=(\alpha -\beta )^{2}$ より前の式が確かめられる。また

$U_{n+1}-QU_{n-1}={\frac {\alpha ^{n+1}-\beta ^{n+1}-\alpha \beta (\alpha ^{n-1}-\beta ^{n-1})}{\alpha -\beta }}$

となるところ、右辺の分子は

$(\alpha -\beta )(\alpha ^{n}+\beta ^{n})$

に一致するので、後の式も確かめられる。

関係式 5

（添字2倍公式）

${\begin{aligned}U_{2n}=&U_{n}V_{n},\\V_{2n}=&V_{n}-2Q^{n}.\end{aligned}}$

証明
関係式 2, 3 から導かれるが、

${\begin{aligned}U_{2n}=&{\frac {\alpha ^{2n}-\beta ^{2n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}\cdot (\alpha ^{n}+\beta ^{n})=U_{n}V_{n},\\V_{2n}=&\alpha ^{2n}+\beta ^{2n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})^{2}-2(\alpha \beta )^{n}=V_{n}-2Q^{n}.\end{aligned}}$

により直接確かめることもできる。

関係式 6

（添字3倍公式）

${\begin{aligned}U_{3n}=&U_{n}(V_{n}^{2}-Q^{n})=U_{n}(DU_{n}^{2}+3Q^{n}),\\V_{3n}=&V_{n}(V_{n}^{2}-3Q^{n}).\end{aligned}}$

証明

${\begin{aligned}U_{3n}=&{\frac {\alpha ^{3n}-\beta ^{3n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}\cdot (\alpha ^{2n}+\alpha ^{n}\beta ^{n}+\beta ^{2n})\\=&U_{n}((\alpha ^{n}+\beta ^{n})^{2}-(\alpha \beta )^{n})=U_{n}(V_{n}^{2}-Q^{n})\\=&U_{n}((\alpha ^{n}-\beta ^{n})^{2}+3(\alpha \beta )^{n})=U_{n}(DU_{n}^{2}+3Q^{n}),\end{aligned}}$

$V_{3n}=\alpha ^{3n}+\beta ^{3n}=(\alpha ^{n}+\beta ^{n})^{3}-3(\alpha \beta )^{n}(\alpha ^{n}+\beta ^{n})=V_{n}(V_{n}^{2}-3Q^{n}).$

により確かめられる。

二項展開に関する等式

より一般的な、添字の乗法について考えたい。そのために、まず、次の等式が成り立つことを見る。 m が偶数のとき

${\begin{aligned}(X+Y)^{m}=&\sum _{r=0}^{m}{\binom {m}{r}}X^{r}Y^{m-r}\\=&\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}(X^{r}Y^{m-r}+X^{m-r}Y^{r})+{\binom {m}{m/2}}(XY)^{\frac {m}{2}}\\=&\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}(XY)^{r}(X^{m-2r}+Y^{m-2r})+{\binom {m}{m/2}}(XY)^{\frac {m}{2}},\cdots (\#)\end{aligned}}$

m が奇数のとき

${\begin{aligned}(X+Y)^{m}=&\sum _{r=0}^{m}{\binom {m}{r}}X^{r}Y^{m-r}\\=&\sum _{r=0}^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}(X^{r}Y^{m-r}+X^{m-r}Y^{r})\\=&\sum _{r=0}^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}(XY)^{r}(X^{m-2r}+Y^{m-2r}).\cdots (\flat )\end{aligned}}$

関係式 7

（奇数乗の展開） m が奇数のとき

${\begin{aligned}D^{\frac {m-1}{2}}U_{k}^{m}=&\sum _{r=0}^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}(-1)^{r}Q^{kr}U_{k(m-2r)}\\=&U_{km}-{\binom {m}{1}}Q^{k}U_{k(m-2)}+{\binom {m}{2}}Q^{2k}U_{k(m-4)}-\cdots +(-1)^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{(m-1)/2}}Q^{{\frac {m-1}{2}}k}U_{k}\end{aligned}}$

および

${\begin{aligned}V_{k}^{m}=&\sum _{r=0}^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}Q^{kr}V_{k(m-2r)}\\=&U_{km}+{\binom {m}{1}}Q^{k}V_{k(m-2)}+{\binom {m}{2}}Q^{2k}V_{k(m-4)}+\cdots +{\binom {m}{(m-1)/2}}Q^{{\frac {m-1}{2}}k}V_{k}.\end{aligned}}$

証明

$D^{\frac {m-1}{2}}U_{k}^{m}=(\alpha -\beta )^{m-1}\cdot {\frac {(\alpha ^{k}-\beta ^{k})^{m}}{(\alpha -\beta )^{m}}}={\frac {(\alpha ^{k}-\beta ^{k})^{m}}{\alpha -\beta }},$

ここで、等式 $(\flat )$ より

${\begin{aligned}{\frac {(\alpha ^{k}-\beta ^{k})^{m}}{\alpha -\beta }}=&\sum _{r=0}{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}(-(\alpha \beta )^{k})^{r}\cdot {\frac {\alpha ^{k(m-2r)}-\beta ^{k(m-2r)}}{\alpha -\beta }}\\=&\sum _{r=0}^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}(-1)^{r}Q^{kr}U_{k(m-2r)}.\end{aligned}}$

が成り立つ。同様に

${\begin{aligned}V_{k}^{m}=&(\alpha ^{k}+\beta ^{k})^{m}\\=&\sum _{r=0}^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}(\alpha \beta )^{kr}(\alpha ^{k(m-2r)}+\beta ^{k(m-2r)})\\=&\sum _{r=0}^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}Q^{kr}V_{k(m-2r)}.\end{aligned}}$

が成り立つ。

関係式 8

（偶数乗の展開） m が偶数で k が正の整数のとき

${\begin{aligned}D^{\frac {m}{2}}U_{k}^{m}=&\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}(-1)^{r}Q^{kr}V_{k(m-2r)}+(-1)^{\frac {m}{2}}{\binom {m}{m/2}}Q^{\frac {mk}{2}}\\=&V_{km}-{\binom {m}{1}}Q^{k}V_{k(m-2)}+{\binom {m}{2}}Q^{2k}V_{k(m-4)}-\cdots +(-1)^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{m/2-1}}Q^{\left({\frac {m}{2}}-1\right)k}V_{2k}+(-1)^{\frac {m}{2}}{\binom {m}{m/2}}Q^{\frac {mk}{2}},\end{aligned}}$

および

${\begin{aligned}V_{k}^{m}=&\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}Q^{kr}V_{k(m-2r)}+{\binom {m}{m/2}}Q^{\frac {mk}{2}}\\=&V_{km}+{\binom {m}{1}}Q^{k}V_{k(m-2)}+{\binom {m}{2}}Q^{2k}V_{k(m-4)}+\cdots +{\binom {m}{m/2-1}}Q^{\left({\frac {m}{2}}-1\right)k}V_{2k}+{\binom {m}{m/2}}Q^{\frac {mk}{2}}.\end{aligned}}$

成り立つ。

証明
等式 $(\#)$ より

${\begin{aligned}D^{\frac {m}{2}}U_{k}^{m}=&(\alpha ^{k}-\beta ^{k})^{m}\\=&\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}(-\alpha ^{k}\beta ^{k})^{r}(\alpha ^{k(m-2r)}+\beta ^{k(m-2r)})+{\binom {m}{m/2}}(-\alpha ^{k}\beta ^{k})^{\frac {m}{2}}\\=&\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}(-1)^{r}Q^{kr}V_{k(m-2r)}+(-1)^{\frac {m}{2}}{\binom {m}{m/2}}Q^{\frac {mk}{2}}\end{aligned}}$

および

${\begin{aligned}V_{k}^{m}=&(\alpha ^{k}+\beta ^{k})^{m}\\=&\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}(\alpha ^{k}\beta ^{k})^{r}(\alpha ^{k(m-2r)}+\beta ^{k(m-2r)})+{\binom {m}{m/2}}(\alpha ^{k}\beta ^{k})^{\frac {m}{2}}\\=&\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}Q^{kr}V_{k(m-2r)}+{\binom {m}{m/2}}Q^{\frac {mk}{2}}\end{aligned}}$

が確かめられる。

関係式 9

（添字多倍公式） k が偶数のとき

$U_{km}=U_{m}\sum _{r=0}^{{\frac {k}{2}}-1}Q^{mr}V_{m(k-1-2r)}=U_{m}(V_{m(k-1)}+Q^{m}V_{m(k-3)}+\cdots ),$

k が奇数のとき

$U_{km}=U_{m}\left(Q^{\frac {m(k-1)}{2}}+\sum _{r=0}^{\frac {k-3}{2}}Q^{mr}V_{m(k-1-2r)}\right)$

および

$V_{km}=V_{m}\left((-1)^{\frac {k-1}{2}}Q^{\frac {m(k-1)}{2}}+\sum _{r=0}^{\frac {k-3}{2}}(-1)^{r}Q^{mr}V_{m(k-1-2r)}\right)$

が成り立つ。

証明
k が偶数のとき

${\begin{aligned}U_{km}=&{\frac {\alpha ^{km}-\beta ^{km}}{\alpha -\beta }}\\=&{\frac {\alpha ^{km}-\beta ^{km}}{\alpha ^{m}-\beta ^{m}}}\cdot U_{m}\\=&U_{m}\sum _{r=0}^{k-1}\alpha ^{m(k-1-r)}\beta ^{mr}\\=&U_{m}\sum _{r=0}^{{\frac {k}{2}}-1}Q^{mr}V_{m(k-1-2r)},\end{aligned}}$

また k が奇数のとき

${\begin{aligned}U_{km}=&{\frac {\alpha ^{km}-\beta ^{km}}{\alpha -\beta }}\\=&{\frac {\alpha ^{km}-\beta ^{km}}{\alpha ^{m}-\beta ^{m}}}\cdot U_{m}\\=&U_{m}\sum _{r=0}^{k-1}\alpha ^{m(k-1-r)}\beta ^{mr}\\=&U_{m}(Q^{\frac {m(k-1)}{2}}+\sum _{r=0}^{\frac {k-3}{2}}Q^{mr}V_{m(k-1-2r)})\end{aligned}}$

および

${\begin{aligned}{\frac {V_{km}}{V_{m}}}=&{\frac {\alpha ^{km}+\beta ^{km}}{\alpha ^{m}+\beta ^{m}}}\\=&\sum _{r=0}^{k-1}(-1)^{r}\alpha ^{m(k-1-r)}\beta ^{mr}\\=&(-1)^{\frac {k-1}{2}}Q^{\frac {m(k-1)}{2}}+\sum _{r=0}^{\frac {k-3}{2}}(-1)^{r}Q^{mr}V_{m(k-1-2r)}\end{aligned}}$

である。

関係式 10

（P , D を使った展開）

$2^{n-1}U_{n}={\binom {n}{1}}P^{n-1}+{\binom {n}{3}}P^{n-3}D+\cdots$

$2^{n-1}V_{n}=P^{n}+{\binom {n}{2}}P^{n-2}D+{\binom {n}{4}}P^{n-4}D^{2}+\cdots$

証明

${\frac {V_{1}+U_{1}{\sqrt {D}}}{2}}=\alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}$

を n 乗して

${\frac {V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}}}{2}}=\alpha ^{n}\left({\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}\right)^{n}$

つまり

${\begin{aligned}2^{n-1}(V_{n}+U_{n}{\sqrt {D}})=&(P+{\sqrt {D}})^{n}\\=&P^{n}+{\binom {n}{1}}P^{n-1}{\sqrt {D}}+{\binom {n}{2}}P^{n-2}D+\cdots \\=&\left(P^{n}+{\binom {n}{2}}P^{n-2}D+{\binom {n}{4}}P^{n-4}D^{2}+\cdots \right)+\left({\binom {n}{1}}P^{n-1}+{\binom {n}{3}}P^{n-3}D+\cdots \right){\sqrt {D}}\end{aligned}}$

と展開できる。同様に

${\begin{aligned}2^{n-1}(V_{n}-U_{n}{\sqrt {D}})=&(P-{\sqrt {D}})^{n}\\=&P^{n}-{\binom {n}{1}}P^{n-1}{\sqrt {D}}+{\binom {n}{2}}P^{n-2}D-\cdots \\=&\left(P^{n}+{\binom {n}{2}}P^{n-2}D+{\binom {n}{4}}P^{n-4}D^{2}+\cdots \right)-\left({\binom {n}{1}}P^{n-1}+{\binom {n}{3}}P^{n-3}D+\cdots \right){\sqrt {D}}\end{aligned}}$

と展開できる。これらの和および差を1/2倍して求める式が得られる。

関係式 11

（$P^{m}$ の展開） m が偶数のとき

$P^{m}=\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}Q^{r}V_{m-2r}+{\binom {m}{m/2}}Q^{\frac {m}{2}},$

m が奇数のとき

$P^{m}=\sum _{r=0}^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}Q^{r}V_{m-2r}=V_{m}+mQV_{m-2}+{\binom {m}{2}}Q^{2}V_{m-4}+\cdots .$

証明

等式 $(\#)(\flat )$ より m が偶数のとき

${\begin{aligned}P^{m}=&(\alpha +\beta )^{m}\\=&\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}(\alpha \beta )^{r}(\alpha ^{m-2r}+\beta ^{m-2r})+{\binom {m}{m/2}}(\alpha \beta )^{\frac {m}{2}}\\=&\sum _{r=0}^{{\frac {m}{2}}-1}{\binom {m}{r}}Q^{r}V_{m-2r}+{\binom {m}{m/2}}Q^{\frac {m}{2}},\end{aligned}}$

m が奇数のとき

${\begin{aligned}P^{m}=&(\alpha +\beta )^{m}\\=&\sum _{r=0}^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}(\alpha \beta )^{r}(\alpha ^{m-2r}+\beta ^{m-2r})\\=&\sum _{r=0}^{\frac {m-1}{2}}{\binom {m}{r}}Q^{r}V_{m-2r}\end{aligned}}$

となる。