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の解が一意であることを示すには,前と同様にして,
(3.17)
の解が に限ることを示せばよい.そのために,
とおいて, を示そう.
式 (3.17) に示したように,初期値は であるから[1],
が成り立つ.これを用いて を計算する.
とおくと,
と変形できるから,
(3.18)
を得る.
式 (3.18)
の両辺に をかけ移項すると,
となる.これを から まで積分すると[2],
すなわち,
を得る.これと 式 (3.18) より,
よって,
となり,証明が完了する. の場合も同様である.
- ^
- ^
で, を から まで積分すると,
ここで, より,
.
例73
とおいてももちろん証明はできる.試みよ.
解答例
例74
例と同様にして, 階の微分方程式
の場合の解の一意性を証明せよ.
解答例
与方程式の解が一意であることを示すために,
- …①
の解が に限ることを示す.
①について, とおく.
であるから,
同様に,
- …以上の式を②
また,
- …③
今, とすると,②③より
すなわち,
…④
両辺に を掛けて,
両辺を から まで積分すると,
…⑤
は明らかに,
…⑥
④⑤⑥より
.
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