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制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/一般の 2 階の微分方程式の場合

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

の解が一意であることを示すには,前と同様にして,

(3.17)

の解が に限ることを示せばよい.そのために,

とおいて, を示そう. 式 (3.17) に示したように,初期値は であるから[1]

が成り立つ.これを用いて を計算する. とおくと,

と変形できるから,

(3.18)

を得る. 式 (3.18) の両辺に をかけ移項すると,

となる.これを から まで積分すると[2]

すなわち,

を得る.これと 式 (3.18) より,

よって,

となり,証明が完了する. の場合も同様である.


  1. ^
  2. ^ で, から まで積分すると,

    ここで, より,

例73

とおいてももちろん証明はできる.試みよ.

解答例




例74

例と同様にして, 階の微分方程式

の場合の解の一意性を証明せよ.

解答例

与方程式の解が一意であることを示すために,

…①

の解が に限ることを示す.
①について, とおく.
であるから,



同様に,


…以上の式を②

また,

…③

今, とすると,②③より




すなわち, …④
両辺に を掛けて,



両辺を から まで積分すると,

…⑤
は明らかに, …⑥
④⑤⑥より