出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a{\frac {dx}{dt}}+bx=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc16b73464bd277951a9abfcfd2bbd0f4527a4d6)
![{\displaystyle x(t_{0})=x'(t_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595e748b95eeb6cfb1c12a7529ae9483c0892a50)
の解が一意であることを示すには,前と同様にして,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a{\frac {dx}{dt}}+bx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dd3af2d0205521086e18d40d16bf9d65085ebf)
(3.17)
![{\displaystyle x(t_{0})=x'(t_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/595e748b95eeb6cfb1c12a7529ae9483c0892a50)
の解が
に限ることを示せばよい.そのために,
![{\displaystyle u(t):=|x(t)|+|x'(t)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903fbdbc9e2d5d0fd7c6926b5c88101e84152ff0)
とおいて,
を示そう.
式 (3.17) に示したように,初期値は
であるから[1],
![{\displaystyle x(t)=\int _{t_{0}}^{t}x'(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f6f6ef032e815e3a057bcc4659cc05834231a2)
![{\displaystyle x'(t)=\int _{t_{0}}^{t}x''(t)dt=-\int _{t_{0}}^{t}\left\{ax'(t)+bx(t)\right\}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c06d616fd740cc2241f280653b62ed9c7ab1a0c1)
が成り立つ.これを用いて
を計算する.
とおくと,
![{\displaystyle |x(t)|+|x'(t)|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x'(t)|dt+K\int _{t_{0}}^{t}\{|x'(t)|+|x(t)|\}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c784a5369c21fab37dd97e06220792d024228639)
![{\displaystyle \leqq (1+K)\int _{t_{0}}^{t}\{|x(t)|+|x'(t)|\}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d3843481edf54b69f24a810aa7dbb0cc01ad2a2)
と変形できるから,
(3.18)
![{\displaystyle u(t)\leqq (1+K)\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6caf3416a507e779862e0f1664563d8e2fc82add)
を得る.
式 (3.18)
の両辺に
をかけ移項すると,
![{\displaystyle e^{-(1+K)t}u(t)-e^{-(1+K)t}(1+K)\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt\leqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517c7e6d5631e791454c17aa78e58d4e2e2c5168)
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\{e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt\right\}\leqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1f34862956c7a7be9a8ad504d83364232797a3)
となる.これを
から
まで積分すると[2],
![{\displaystyle e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt\leqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74a644b29dd523ffe7a46dd22d367238d307325)
すなわち,
![{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}u(t)dt\leqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5159713b3ac6523aaa016a4ab124646f365121d5)
を得る.これと 式 (3.18) より,
![{\displaystyle 0\leqq u(t)\leqq (1+K)\int _{t_{0}}^{t}u(t)dt\leqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c14a15c066cbc9006a991de61da772d371aaa29)
よって,
![{\displaystyle u(t)\equiv 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31d1447a99735e1e1b7f38cfed86da22a9d7189)
となり,証明が完了する.
の場合も同様である.
- ^
- ^
で,
を
から
まで積分すると,
![{\displaystyle I(a,b)=\int _{a}^{b}{\frac {dF}{dt}}dt=F(b)-F(a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e3eba3968cf0626e04dc21c9c3e66e4d2fdaf68)
ここで,
より,
.
例73
とおいてももちろん証明はできる.試みよ.
解答例
例74
例と同様にして,
階の微分方程式
![{\displaystyle x^{(n)}+a_{1}x^{(n-1)}+a_{2}x^{(n-2)}+\cdots +a_{n-1}x'+a_{n}x=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950055bafd57c0347002f5936300a7bbb665855c)
![{\displaystyle x(t_{0})=\xi _{1},x'(t_{0})=\xi _{2},\cdots x^{(n-1)}(t_{0})=\xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8228ff0d61bf2bcb0e3ad81c9ff0b32f9ab7418c)
の場合の解の一意性を証明せよ.
解答例
与方程式の解が一意であることを示すために,
…①
![{\displaystyle x(t_{0})=x'(t_{0})=x''(t_{0})=\cdots =x^{(n-1)}(t_{0})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4f39dc71101070e3ec0e70b34acc42efdf48f08)
の解が
に限ることを示す.
①について,
とおく.
であるから,
![{\displaystyle x(t)=\int _{t_{0}}^{t}x'dt+x(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}x'dt\quad (\because x(t_{0})=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49b0f23ad1b58c0a09743f8d3fbf6d8ae2210af)
![{\displaystyle \therefore |x(t)|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x'|dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f29bb700f5521a0ccdf35aab0a0018eca4fedc93)
同様に,
![{\displaystyle |x'(t)|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x''|dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2166a5e69017ad2949083a9982b4089144701fe)
![{\displaystyle |x''(t)|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x'''|dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d60dcd0ccbfb6328a8aba8a2b34f4a72f0a836b)
![{\displaystyle \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d67495288eac0fa90d5bbcad7d9a343c15ad56)
…以上の式を②
また,
![{\displaystyle |x^{(n-1)}|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x^{(n)}|dt=\int _{t_{0}}^{t}|(-a_{1}x^{(n-1)}-a_{2}x^{(n-2)}-\cdots -a_{n-1}x'-a_{n}x)|dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b04a300146eeb1d5c4caf74f0b1d7253c97ab9c)
…③
今,
とすると,②③より
![{\displaystyle |x|+|x'|+|x''|+\cdots +|x^{(n-1)}|\leqq \int _{t_{0}}^{t}|x'|dt+\int _{t_{0}}^{t}|x''|dt+\int _{t_{0}}^{t}|x'''|dt+\cdots +\int _{t_{0}}^{t}|x^{(n)}|dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e888c1fc7f6d740dedc02754e4d4fe5762e813)
![{\displaystyle \leqq \int _{t_{0}}^{t}|x'|dt+\int _{t_{0}}^{t}|x''|dt+\int _{t_{0}}^{t}|x'''|dt+\cdots +\int _{t_{0}}^{t}|x^{(n-1)}|dt+K\int _{t_{0}}^{t}\{|x^{(n-1)}|+|x^{(n-2)}|+\cdots +|x'|+|x|\}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bac2fe3805a251f9f38fe4e7a60cd221bf09259)
![{\displaystyle \leqq (K+1)\int _{t_{0}}^{t}\{|x^{(n-1)}|+|x^{(n-2)}|+\cdots +|x'|+|x|\}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecdd3290837d55004860d9c8c0f209821e1bab5)
すなわち,
…④
両辺に
を掛けて,
![{\displaystyle ue^{-(1+K)t}\leqq e^{-(1+K)t}(1+K)\int _{t_{0}}^{t}u\ dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3812458f17d426d51abd952e88b4dac96c37e6)
![{\displaystyle \therefore ue^{-(1+K)t}-(1+K)e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73ccdb739d4ef3bd1d9a6eca58df20176a715011)
![{\displaystyle \therefore {\frac {d}{dt}}\left\{e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\right\}\leqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90ad24ea4e4f2ce6a68ca13a9b8bd5dc1388eabd)
両辺を
から
まで積分すると,
![{\displaystyle e^{-(1+K)t}\int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7786c2cd90e1e4339cc0ced12ba9dd078e2c28f)
…⑤
は明らかに,
…⑥
④⑤⑥より
![{\displaystyle 0\leqq u\leqq \int _{t_{0}}^{t}u\ dt\leqq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828e02b6a8b63f5c5c5abbcc67b632fecb0a1948)
.
.