制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/初期値問題の解の一意性/三角関数の加法定理

解の一意性の応用として，三角関数の加法定理の証明を紹介しよう． $x(t)=\sin(t+\alpha )$ は，

(3.15)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0$

の解であり，その初期値は，

(3.16)

$x(0)=\sin \alpha ,\quad x'(0)=\cos \alpha$

である．この解は一つしかない．いま式 (3.15) ， 式 (3.16) を満たす解を Laplace 変換で求めてみよう．

$s^{2}{\mathcal {L}}[x]-s\sin \alpha -\cos \alpha +{\mathcal {L}}[x]=0$

$\therefore {\mathcal {L}}[x]={\frac {1}{s^{2}+1}}\cos \alpha +{\frac {s}{s^{2}+1}}\sin \alpha$

この原像は，

$x(t)=\sin t\cos \alpha +\cos t\sin \alpha$

である．よって解の一意性から，

$\sin(t+\alpha )=\sin t\cos \alpha +\cos t\sin \alpha$

を得る．

例72$\quad$

例にならって $e^{t},\cos t$ の加法定理を導け．

解答例

$x(t)=e^{t}$ は ${\frac {dx}{dt}}-x=0$…① の解．
よって定常性の原理より $x(t+\alpha )=e^{t+\alpha }$ も①の解であり，この解の①における初期値は $x(0)=e^{\alpha }$…②
①②の微分方程式を解く．$X\sqsubset x$ とおくと，
$sX-e^{\alpha }-X=0$
$\therefore X={\frac {e^{\alpha }}{s-1}}$
この原像は，
$x=e^{\alpha }e^{t}$…③
解の一意性より、①②の特殊解は③のみであるから，
$e^{t+\alpha }=e^{t}e^{\alpha }$．

$x=\cos t$ は ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x=0$ …④ の解
よって定常性の原理より $\cos(t+\alpha )$ も④の解であり，この解の④における初期値は $x(0)=\cos \alpha ,x'(0)=-\sin \alpha$…⑤
④⑤の微分方程式を解く．$X\sqsubset x$ とおくと，
$s^{2}S-s\cos \alpha +\sin \alpha +\sin \alpha +X=0$
$\therefore X={\frac {s}{s^{2}+1}}\cos \alpha -{\frac {1}{s^{2}+1}}\sin \alpha$
この原像は，
$x=\cos t\cos \alpha -\sin t\sin \alpha$…⑥
解の一意性より，④⑤の特殊解は⑥のみであるから，
$\cos(t+\alpha )=\cos t\cos \alpha -\sin t\sin \alpha$

$\diamondsuit$