制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解の構造と一般解/1 次独立性

定数係数の線形微分方程式を，

(3.25)

$p(D)x=0$

とおく．ここに $p(s)$ は特性多項式である．もし，これが，

$p(s)=\prod _{i=1}^{\mu }(s-\gamma _{i})^{l_{i}}\prod _{j=1}^{\nu }{\bigg [}(s-\alpha _{j})^{2}+\beta _{j}^{2}{\bigg ]}^{m_{j}}$

$n=\sum _{i=1}^{\mu }+2\sum _{j=1}^{\nu }m_{j}$

と因数分解できるならば，式 (3.25) の解は，

${\frac {1}{(s-\gamma _{i})^{l}}}\sqsubset e^{\gamma _{i}}t\xi _{l}(t)$

および，

${\frac {1}{{\bigg [}(s-\alpha _{j})^{2}+\beta _{j}^{2}{\bigg ]}^{m}}}\sqsubset e^{\alpha _{j}t}\varphi _{j_{m}}(t)$

${\frac {s-\alpha _{j}}{{\bigg [}(s-\alpha _{j})^{2}+\beta _{j}^{2}{\bigg ]}^{m}}}\sqsubset e^{\alpha _{j}t}\phi _{j_{m}}(t)$

のような $n$ 個の関数の 1 次結合で与えられることは，前節で示した．ここに，

$\xi _{l}(t)={\frac {t^{l-1}}{(l-1)!}}\sqsupset {\frac {1}{s^{l}}}$

$\varphi _{j_{m}}(t)={\frac {\sin \beta _{j}t}{\beta _{j}}}*\cdots *{\frac {\sin \beta _{j}t}{\beta _{j}}}\sqsupset {\frac {1}{(s^{2}+\beta _{j}^{2})^{m}}}$

$\phi _{j_{m}}(t)={\frac {d\varphi _{j_{m}}(t)}{dt}}\sqsupset {\frac {s}{(s^{2}+\beta _{j}^{2})^{m}}}$

である．これらが 1 次独立であることを示すのが，本項の目的である．つまり $t$ に関する恒等式，

$\sum _{i,l}A_{il}e^{\gamma _{i}t}\xi _{l}(t)+\sum _{j,m}e^{\alpha _{j}t}\left\{B_{jm}\varphi _{jm}(t)+C_{jm}\phi _{jm}(t)\right\}=0$

から，すべての $i,l,j,m$ に対して，

$A_{il}=B_{jm}=C_{jm}=0$

を示すことである．この証明には補題 3.4 と，前章に示した事実，

$(D-\gamma )^{l-1}\cdot e^{\gamma t}\xi _{l}(t)=e^{\gamma t}$

および

${\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m-1}\cdot e^{\alpha t}\left\{B\varphi _{m}(t)+C\phi _{m}(t)\right\}=e^{\alpha t}\left({\frac {B}{\beta }}\sin \beta t+C\cos \beta t\right)$

を用いる．

定理 3.4

$n$ 個の関数

$\left\{e^{\gamma _{i}t}\xi _{l}(t),e^{\alpha _{j}t}\varphi _{jl}(t),e^{\alpha _{j}t}\phi _{jl}(t)\right\}$

は 1 次独立である．

証明

$p(s)=(s-\gamma )^{l}{\bigg [}(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m}$

の場合を証明すれば十分であろう．一般の場合は添え字 $i,j$ などが二重についてわずらわしいだけである．

(3.26)

$\sum _{i=1}^{l}A_{i}e^{\gamma t}\xi _{i}(t)+\sum _{j=1}^{m}e^{\alpha t}\left\{B_{j}\varphi _{j}(t)+C_{j}\phi _{j}(t)\right\}\equiv 0$

に，

$p_{1}(D):=(D-\gamma )^{l-1}{\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m}$

を作用させると，$i=l$ の場合以外はすべて消えて，

$A_{l}{\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m}e^{\gamma t}=0$

となる．補題 3.4 により

${\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m}e^{\gamma t}\neq 0$

であるから，

$A_{l}=0$

を得る．次に，

$p_{2}(D):=(D-\gamma )^{l-2}{\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m}$

を作用させると $A_{l}=0$ となり，以下同様にして，

$A_{i}=0\quad (i=1,2,\cdots ,l)$

を得る．このとき式 (3.26) は，

$\sum _{i=1}^{m}e^{\alpha t}\left\{B_{j}\varphi _{j}(t)+C_{j}\phi _{j}(t)\right\}\equiv 0$

となっている．これに，

$q_{1}(D):={\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}^{m-1}$

を作用させると，

$e^{\alpha t}\left\{B_{m}{\frac {1}{\beta }}\sin \beta t+C_{m}\cos \beta t\right\}=0$

$\therefore B_{m}=C_{m}=0$

となる．以下同様にして，

$B_{j}=C_{j}=0\quad (j=1,2,\cdots ,m)$

を得る．

$\diamondsuit$