例65
これを証明せよ.
解答例
とおく.任意の関数
で,
![{\displaystyle p(D)x\equiv q(D)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d1b9c589ddeba61ccb0adcbf1b39a24241dee1e)
…①
が成立するとき,
として特定の形を①に代入して
の満たすべき必要条件をあぶり出す.
のとき,
![{\displaystyle p(D)\cdot 1\equiv q(D)\cdot 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca5cec2b00c46ebad83f3a5fca1c31fbb32fdd2)
![{\displaystyle a_{n}D^{n}\cdot 1+a_{n-1}D^{n-1}\cdot 1+\cdots +a_{2}D^{2}\cdot 1+a_{1}D\cdot 1+a_{0}\cdot 1=b_{n}D^{n}\cdot 1+b_{n-1}D^{n-1}\cdot 1+\cdots +b_{2}D^{2}\cdot 1+b_{1}D\cdot 1+b_{0}\cdot 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0c5b551e897511b9ad53e97d0dce5c2ef9a63e7)
等の定数に対する微分は
となるから,
![{\displaystyle a_{0}=b_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c244a1fcf1d02c1e6a650c1933c8b1f8d7ecb49)
…②
が必要.
のとき,
![{\displaystyle p(D)\cdot t\equiv q(D)\cdot t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15ba729920dcf4ee8dc6fece1d0e363a5b31c6a2)
![{\displaystyle a_{n}D^{n}\cdot t+a_{n-1}D^{n-1}\cdot t+\cdots +a_{2}D^{2}\cdot t+a_{1}D\cdot t+a_{0}\cdot t=b_{n}D^{n}\cdot t+b_{n-1}D^{n-1}\cdot t+\cdots +b_{2}D^{2}\cdot t+b_{1}D\cdot t+b_{0}\cdot t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/944a14d41ebcf704be0f49a524b174f5efdb5512)
のとき
.よって,
![{\displaystyle a_{1}+a_{0}\cdot t=b_{1}+b_{0}\cdot t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53a130ea2e0d845fce779179c11e37ab3b05f9bb)
…③
②③より
![{\displaystyle a_{1}=b_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45920a307ec60ae908bf34d3496fbcc7f415c0e1)
…④
のとき,
![{\displaystyle p(D)\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}\equiv q(D)\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eae5e81cdb145ccedd3d6aa8cf38f98084da2fd)
![{\displaystyle a_{n}D^{n}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}+a_{n-1}D^{n-1}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}+\cdots +a_{2}D^{2}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}+a_{1}D\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}+a_{0}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e2ba049252966f6cf2d0f843202c0ed23d85722)
![{\displaystyle =b_{n}D^{n}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}+b_{n-1}D^{n-1}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}+\cdots +b_{2}D^{2}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}+b_{1}D\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}+b_{0}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ddf3612553fcac9a07cc79566c34346bc9a40be)
のとき
.よって,
![{\displaystyle a_{2}+a_{1}\cdot t+a_{2}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}=b_{2}+b_{1}\cdot t+b_{0}\cdot {\frac {t^{2}}{2!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e770f961a40b6f9dcecb98ebc1ad0cf3f01cdce6)
…⑤
②④⑤より
![{\displaystyle a_{2}=b_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a2a7777e4875726e049bd928535623011655bd5)
…⑥
のとき,
![{\displaystyle p(D)\cdot {\frac {t^{k}}{k!}}\equiv q(D)\cdot {\frac {t^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8abbf7dca4a8fd1fdc12b2a2650629c88cc24c9)
のとき
,
のとき
,
![{\displaystyle a_{k}+a_{k-1}\cdot t+\cdots +a_{1}\cdot {\frac {t^{k-1}}{(k-1)!}}+a_{0}\cdot {\frac {t^{k}}{k!}}=b_{k}+b_{k-1}\cdot t+\cdots +b_{1}\cdot {\frac {t^{k-1}}{(k-1)!}}+b_{0}{\frac {t^{k}}{k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25e378bee6382e6ab21b10856044b811ebde774)
…⑦
の場合から
がすでにいえており、これと⑦から
が必要.
以上から
は任意の関数であるとき,
が必要条件.
逆に
のとき,
![{\displaystyle p(D)x-q(D)x=\sum _{i=0}^{n}a_{i}D^{i}x-\sum _{i=0}^{n}b_{i}D^{i}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82e8c1e1adcbd8194abf361ddd52c2226229fda2)
![{\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}\left(a_{i}-b_{i}\right)D^{i}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3c42d1721b63f46023cbbf9af2ffe7a584e1e4)
![{\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}0\cdot D^{i}x\quad \because a_{i}=b_{i}\quad (0\leqq i\leqq n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d668023ddc3ff0ca752093fc5b0549190571450c)
…⑧
⑧は
が任意の
の関数であってもその値は常に
.
すなわち,
![{\displaystyle \forall x\ \ p(D)x\equiv q(D)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774c84b3f99784674aaf1d23f19281d2f48d3105)
これにより十分性を示せた.
さらに微分作用素の和と差を,任意の微分可能な
に対して,
![{\displaystyle \{p(D)+q(D)\}x(t)\equiv p(D)x(t)+q(D)x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f520e45a2d3adf584105c90b799d3df4e548348c)
と,また積を,
![{\displaystyle \{p(D)q(D)\}x(t)\equiv p(D)\{q(D)x(t)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33138ecd0da78a9227b37ef67953621d2acefa0e)
が成立することと定義する.これらの定義と前に述べた
の定義と抵触しないことは明らかであろう.
このように微分作用素間の加減乗の 3 演算を定義すると,これらは多項式の加減乗の定義と一致するから,
これら 3 演算から導かれる多項式に関する公式は,そのまま微分作用素に対しても成立する[1].
例えば,
[補題 3.1]
を多項式とすると
![{\displaystyle p(D)q(D)=q(D)p(D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce882ebc928023ed0121b29099b8f11c255b792f)
が成立する.つまり微分作用素の積は交換可能である.
証明
![{\displaystyle p(D)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}D^{i},\quad q(D)=\sum _{j=0}^{l}b_{j}D^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a53dfb6337183279a490942baa230c850ca1345)
とおく.まず,
![{\displaystyle p(D)D^{m}=D^{m}p(D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f7dc28d749f7a7822aa84838cde0c4185aa3e56)
を示す.
![{\displaystyle p(D)D^{m}x=\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}D^{i}\right)\left(D^{m}x\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb0bb7c59263e89919c34b7c67318720b8255a2)
[2]
[3]
[4][5]![{\displaystyle =D^{m}p(D)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841a414396e84e92c6c86ede294b46ec857feeaf)
この結果を用いて,
![{\displaystyle p(D)q(D)x=p(D)\left\{\sum _{j=0}^{l}b_{j}D^{j}x\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19de7f70c7c11c97a4ae52d201533232a7f3f160)
[6]
[7]
[8]![{\displaystyle =q(D)p(D)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d698909f52859b5c60d9d58cb00eeaab3df7f35)
よって,
![{\displaystyle p(D)q(D)=q(D)p(D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce882ebc928023ed0121b29099b8f11c255b792f)
が示された.
[補題 3.2]
が
で割り切れるならば,
![{\displaystyle q(D)x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb1730b96730d031c0fabe9f74c20a76ddde8d7)
の解は,
![{\displaystyle p(D)x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433eeedc9ee32edf3b41835536c6dc2682f3b382)
の解となる.
証明
![{\displaystyle p(s)=p_{1}(s)q(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b25ae5bd3affe0d4cda66020c0a0274b69ceac63)
と書けるから,
ならば,
![{\displaystyle p(D)x=p_{1}(D)\left\{q(D)x\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3616ed3d41769782695b389ee59394fc10995b92)
[系]
![{\displaystyle p(s)=\prod _{i=1}^{k}p_{i}(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69059912793cc877fa670b2e09c27f3af32b9fed)
![{\displaystyle p_{i}(D)x_{i}(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f93b9149aced68c3c8bdb6fad44fde0afbb555e)
ならば,
![{\displaystyle p(D)\left\{\sum _{i=1}^{k}c_{i}x_{i}(t)\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2342a4b6626f6fbd021aa36a7684e5d5866d19d6)
が成立する.ここに
は定数である.
証明
補題(3.2)より,
![{\displaystyle p(D)x_{i}(t)=0\quad (i=1,\cdots k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86cf1bd97855c10e82cbcfa2657c61d80cc11cb)
これと重ねあわせの原理Ⅰより明らか[9].
例66
![{\displaystyle s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1a778ffef9bc054a79f03e4712afb275de4330)
は
の[10],また
は
の解[11]である.よって上記系より,
![{\displaystyle x(t)=Ae^{-t}+Be^{-2t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f343f904094deded0136e567faaf7986aae015b)
は
の解である.
[補題 3.3]
(i)
![{\displaystyle p(D)e^{\alpha t}=p(\alpha )e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d541d69eee1462bca4800c7393ac15ea62cc29ac)
(ii)
![{\displaystyle p(D-\alpha )e^{\alpha t}x=e^{\alpha t}p(D)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b860d3fe7f6e2eb096d8bf1c75ec4fce166ef086)
証明
(i)
![{\displaystyle De^{\alpha t}=\alpha e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bafd8db045ca4f4ebc942149a9a4da177745263)
![{\displaystyle D^{2}e^{\alpha t}=\alpha ^{2}e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9c8905fea19118ca0a92247d0e1e5e3d9fbb8e)
![{\displaystyle D^{3}e^{\alpha t}=\alpha ^{3}e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43c8bff306bdcbe3f92744ee38036d5b784263a)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
より明らか[12].
(ii)
![{\displaystyle De^{\alpha t}x=\alpha e^{\alpha t}x+e^{\alpha t}Dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32241570c72b65917acf5655eb1d29e6a661bb0b)
![{\displaystyle \therefore (D-\alpha )e^{\alpha t}x=e^{\alpha t}Dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7384fb2464ed70f4b55e9001a94fd07bd1d70db0)
またこの結果を 2 度用いると,
[13]
一般に,
[14]
となるから,求める結果を得る[15].
[系]
![{\displaystyle p(D)x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433eeedc9ee32edf3b41835536c6dc2682f3b382)
ならば
[16]
例67
![{\displaystyle D^{m}t^{m-1}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b994b7beac011314fc8de263eb9deb98cd6e4ff8)
であるから,
[17]
一般に
を高々
次の多項式とすると,
![{\displaystyle (D-\alpha )^{m}e^{\alpha t}x(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6faf50a18eb72bf15142a02f0da305a8588536cf)
[補題 3.4]
(i)
が
の解となるための必要十分条件は,
が
を因数として持つことである.
(ii)
![{\displaystyle e^{\alpha t}\{A\cos \beta t+B\sin \beta t\},\quad A^{2}+B^{2}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670023b5dbc229e4a51e37520660781a9fcddc25)
が
の解であるための必要十分条件は
が
を因数として持つことである.ただし
.
証明
十分性は 補題3.2 で示されている.(ii) の必要性だけ証明する.
(i) も (ii) も証明は同じであるから難しい方を示しておく[18].
![{\displaystyle p(s)=q(s){\bigg [}(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}+x(s-\alpha )+y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae72517099f599256f08098b4e4c059a459274a7)
とおき,
を示せばよい.[19]
![{\displaystyle {\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6c1402028088f4de60054c005bd7c8cfbe8943)
であるから[20],
![{\displaystyle p(D)\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330fbcf34f309e7829c86d3a4eafb428d1c97594)
[21]
[22]
![{\displaystyle =e^{\alpha t}{\bigg [}(B\beta x+Ay)\cos \beta t+(-A\beta x+By)\sin \beta t{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a0bca82c42d2e4c9e67bcd1f6ca868075a7b31)
![{\displaystyle \equiv 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ccb4758f36908929b0b75a787ded48a5cd33f1)
これより,
![{\displaystyle B\beta x+Ay=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8944d4fb0362a8032a252e7c0ed03df677b610e0)
![{\displaystyle A\beta x=By}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4b86d2c32133538df83095bb5a2e7521dd04702)
が成立しなければならない[23].
であるから,
![{\displaystyle x=y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cbc92a21b5bfbd3081269e366d57fadac39c80)
を得る[24][25].
- ^
例65 は,
である可能性はあっても,
はありえないことをいっている.この事実よりこれがいえる.
- ^
![{\displaystyle (a_{0}+a_{1}D+a_{2}D^{2}+\cdots +a_{k}D^{k})(D^{m}x)=a_{0}(D^{m}x)+a_{1}D(D^{m}x)+a_{2}D^{2}(D^{m}x)+\cdots +a_{k}D^{k}(D^{m}x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c689b977c94b89980b17f5a131430e4aaf5d5e17)
すなわち 式(3.9a)の微分作用素の定義式による.
- ^
![{\displaystyle a_{0}(D^{m}x)+a_{1}D(D^{m}x)+a_{2}D^{2}(D^{m}x)+\cdots +a_{k}D^{k}(D^{m}x)=a_{0}(D^{m})x+a_{1}(D^{m})(Dx)+a_{2}(D^{m})(D^{2}x)+\cdots +a_{k}(D^{m})(D^{k}x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c2efee69276efcbd4ca0af48d6e16930cb79a2)
すなわち,
による.
- ^
![{\displaystyle a_{0}(D^{m})x+a_{1}(D^{m})(Dx)+a_{2}(D^{m})(D^{2}x)+\cdots +a_{k}(D^{m})(D^{k}x)=(D^{m})a_{0}x+(D^{m})a_{1}Dx+(D^{m})a_{2}D^{2}x+\cdots +(D^{m})a_{k}D^{k}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd395b0d47e6b20cc3ff756b8c20f4524d35c3a5)
すなわちこれは,
による.
![{\displaystyle (D^{m})a_{0}x+(D^{m})a_{1}Dx+(D^{m})a_{2}D^{2}x+\cdots +(D^{m})a_{k}D^{k}x=(D^{m})(a_{0}x+a_{1}Dx+a_{2}D^{2}x+\cdots +a_{k}D^{k}x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48557983d6f43b8029eb425fbc3e3c84c454354c)
すなわちこれば,
による.
- ^
すなわち式(3.9a)の微分作用素の定義式による.
- ^
![{\displaystyle p(D)\left\{b_{0}x+b_{1}Dx+b_{2}D^{2}x+\cdots +b_{l}D^{l}x\right\}=p(D)b_{0}x+p(D)b_{1}Dx+p(D)b_{2}D^{2}x+\cdots +p(D)b_{l}D^{l}x\because (f+g)'=f'+g'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a93846637023d3bbac783d6b9da3ec010871c9e)
![{\displaystyle =b_{0}p(D)x+b_{1}p(D)Dx+b_{2}p(D)D^{2}x+\cdots +b_{l}p(D)D^{l}x\because (kf)'=kf'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97490fe81f5e4f5c19f23b98ebeebe9808070d03)
- ^
- ^
式(3.9a)の微分作用素の定義式による.
- ^
- ^
を変数分離法で解く.
,
.または解関数として
.両辺を
で積分して,
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=-t+C_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a374d827414f59c00792c35217750a2eb6f4ef3d)
![{\displaystyle \log |x|=-t+C_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f8ce12dad828f479c589e34e88203b7e304077d)
これは解
も含む表現である.(
, また
と置きなおしている.)
- ^
を変数分離法で解く.
,
.または解関数として
.両辺を
で積分して,
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=-2t+C_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d772240857ca4c3f48c5975ec755adaaa639b50)
![{\displaystyle \log |x|=-2t+C_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0f2acf87f5f6bb2e3bcd925543d89169b08c7fe)
これは解
も含む表現である.(
, また
と置きなおしている.)
- ^
![{\displaystyle (a_{0}+a_{1}D+a_{2}D^{2}+a_{3}D^{2}+\cdots +a_{n}D^{n})e^{\alpha t}=(a_{0}e^{\alpha t}+a_{1}\alpha e^{\alpha t}+a_{2}\alpha ^{2}e^{\alpha t}+a_{3}\alpha ^{3}e^{\alpha t}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}e^{\alpha t})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c75115c33b02a94c326f0ec5ce3e3007ab53b7)
![{\displaystyle =(a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n})e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d358219ab0ed75cd3a4c1e5f71961a02eb08a18)
すなわち,
とおけば,![{\displaystyle a_{0}+a_{1}\alpha +a_{2}\alpha ^{2}+a_{3}\alpha ^{3}+\cdots +a_{n}\alpha ^{n}=p(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eff69227f83e56e8fa964ddee932252ad017f07d)
よって,
.
- ^
![{\displaystyle (D-\alpha )\{e^{\alpha t}Dx\}=e^{\alpha t}Dx{\bigg |}_{x\gets Dx}=e^{\alpha t}D\cdot Dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1231b4ec7f4fe3f77fa96202c6d76b7cff0ab3)
- ^
![{\displaystyle (D-\alpha )^{m}e^{\alpha t}x=(D-\alpha )^{m-1}\{e^{\alpha t}Dx\}=(D-\alpha )^{m-2}\{e^{\alpha t}D^{2}x\}=(D-\alpha )^{m-3}\{e^{\alpha t}D^{3}x\}=\cdots =(D-\alpha )\{e^{\alpha t}D^{m-1}\}=e^{\alpha t}D^{m}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fc4829feed36ec4707adae0166b6f23d814f00)
- ^
すなわち,
だから,
![{\displaystyle p(D-\alpha )e^{\alpha t}x=e^{\alpha t}p(D)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b860d3fe7f6e2eb096d8bf1c75ec4fce166ef086)
- ^
補題3.3より,
.
ならば ![{\displaystyle e^{\alpha t}p(D)x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bebdc59cf7c6620df2514c5d1753aacb55369c)
すなわち,![{\displaystyle p(D-\alpha )e^{\alpha t}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1313ee17f57d5297c97565a3538d7312757e811)
- ^
補題3.3 より
![{\displaystyle (D-\alpha )^{m}e^{\alpha t}x=e^{\alpha t}D^{m}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea493fe66ad9e7339ea8c1179bf5de4215a762d4)
今,
より,
- ^
(i) の必要性を証明する.
![{\displaystyle p(D)=q(D)(D-\alpha )+x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9a4fe8e7801b3b20bfe9059d8c5e7766f507e5e)
とあらわされるとき,
ならば,
であることを示す.
補題3.3)
.
今
のとき,
![{\displaystyle p(D)\cdot Ae^{\alpha t}={\bigg [}q(D)(D-\alpha )+x{\bigg ]}Ae^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1960caac5afb2d7a30a8cf297b33bd643627ee20)
![{\displaystyle =xAe^{\alpha t}\quad (\because (D-\alpha )\cdot Ae^{\alpha t}=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40fada36a4ac0c1428a18ad5f05d86d303e4e64)
より ![{\displaystyle xAe^{\alpha t}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467e747b30ea3d664a4ff3e68ba9e3c18dac2c45)
よって,
だから
すなわち,
であり,
は
を因数として持つことを示せた.
- ^
証明の方針を整理する.
どのような多項式
も,予め定めておいた
を含む二次式
で割れば,余りを許せば,
![{\displaystyle p(D)=q(D){\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}+xD+y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1660b722edf5098638cb64e5bb8488f5b9bfb958)
に書き換えることが可能である.係数
を調整すれば,
…①
の形にすることも当然可能である.
今,①の形のもとで,予めさだめておいた
に対して
を入力条件としたとき,これから
を結論とできるか、を証明するべき問題とする.
- ^
の解の一つが
であることは例48 ですでに証明している.ただし他の形の解が存在するかどうかはここでは触れないでおく.
- ^
![{\displaystyle p(D)\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}=q(D){\bigg [}\left\{(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}\right\}+x(D-\alpha )+y{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c8b330f6cd3a18888c796d167ffb85c48832fa)
![{\displaystyle =q(D){\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}+{\bigg [}x(D-\alpha )+y{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13eaefd5af0790fafd3aab72808a9b9d535b39d)
![{\displaystyle ={\bigg [}x(D-\alpha )+y{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd300b4adbbd1d206515eb8c648f707b1db3b98)
![{\displaystyle (\because {\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2bf126f4ee7249f81e09ee40e1fb6dee4936c6)
- ^
補題3.3(ii)
による.
- ^
三角関数の合成より,
とすると,
![{\displaystyle e^{\alpha t}{\bigg [}(B\beta x+Ay)\cos \beta t+(-A\beta x+By)\sin \beta t{\bigg ]}=e^{\alpha t}\cdot {\sqrt {(B\beta x+Ay)^{2}+(-A\beta x+By)^{2}}}\sin(\beta t+\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e075e12992e2cef7deaaafd5d4ead76db99daffb)
この値が全ての
で
であるためには,
かつ
が必要.
- ^
![{\displaystyle {\begin{cases}B\beta x+Ay=0\\-A\beta x+By=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bfdb6a9b4e1db375fd2d7172a8e565798b553e5)
すなわち,
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}B\beta &A\\-A\beta &B\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e0fb5a8fe585f26c48dc98341d0a63c0cdc2f7)
![{\displaystyle \therefore {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}B\beta &A\\-A\beta &B\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\beta (A^{2}+B^{2})}}{\begin{pmatrix}B&-A\\A\beta &B\beta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72571f2242e7e40a8374db637ad7b03a9077ba19)
かつ ![{\displaystyle \beta \neq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36cb604de91d2dfe9c834628d2e4a5d8758f2eb1)
- ^
より,
![{\displaystyle p(D)=q(D)\left\{(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d501092de0995f2a95b0f5f129767428125b67)
の形に表すことができ,すなわち,
が
を因数として持つことを示せた.