例65
これを証明せよ.
解答例
とおく.任意の関数
で,

…①
が成立するとき,
として特定の形を①に代入して
の満たすべき必要条件をあぶり出す.
のとき,


等の定数に対する微分は
となるから,

…②
が必要.
のとき,


のとき
.よって,

…③
②③より

…④
のとき,



のとき
.よって,

…⑤
②④⑤より

…⑥
のとき,

のとき
,
のとき
,

…⑦
の場合から
がすでにいえており、これと⑦から
が必要.
以上から
は任意の関数であるとき,
が必要条件.
逆に
のとき,



…⑧
⑧は
が任意の
の関数であってもその値は常に
.
すなわち,

これにより十分性を示せた.
さらに微分作用素の和と差を,任意の微分可能な
に対して,

と,また積を,

が成立することと定義する.これらの定義と前に述べた
の定義と抵触しないことは明らかであろう.
このように微分作用素間の加減乗の 3 演算を定義すると,これらは多項式の加減乗の定義と一致するから,
これら 3 演算から導かれる多項式に関する公式は,そのまま微分作用素に対しても成立する[1].
例えば,
[補題 3.1]
を多項式とすると

が成立する.つまり微分作用素の積は交換可能である.
証明

とおく.まず,

を示す.

[2]
[3]
[4][5]
この結果を用いて,

[6]
[7]
[8]
よって,

が示された.
[補題 3.2]
が
で割り切れるならば,

の解は,

の解となる.
証明

と書けるから,
ならば,

[系]


ならば,

が成立する.ここに
は定数である.
証明
補題(3.2)より,

これと重ねあわせの原理Ⅰより明らか[9].
例66

は
の[10],また
は
の解[11]である.よって上記系より,

は
の解である.
[補題 3.3]
(i)

(ii)

証明
(i)





より明らか[12].
(ii)


またこの結果を 2 度用いると,
[13]
一般に,
[14]
となるから,求める結果を得る[15].
[系]

ならば
[16]
例67

であるから,
[17]
一般に
を高々
次の多項式とすると,

[補題 3.4]
(i)
が
の解となるための必要十分条件は,
が
を因数として持つことである.
(ii)

が
の解であるための必要十分条件は
が
を因数として持つことである.ただし
.
証明
十分性は 補題3.2 で示されている.(ii) の必要性だけ証明する.
(i) も (ii) も証明は同じであるから難しい方を示しておく[18].
![{\displaystyle p(s)=q(s){\bigg [}(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}+x(s-\alpha )+y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae72517099f599256f08098b4e4c059a459274a7)
とおき,
を示せばよい.[19]
![{\displaystyle {\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6c1402028088f4de60054c005bd7c8cfbe8943)
であるから[20],

[21]
[22]
![{\displaystyle =e^{\alpha t}{\bigg [}(B\beta x+Ay)\cos \beta t+(-A\beta x+By)\sin \beta t{\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06a0bca82c42d2e4c9e67bcd1f6ca868075a7b31)

これより,


が成立しなければならない[23].
であるから,

を得る[24][25].
- ^
例65 は,
である可能性はあっても,
はありえないことをいっている.この事実よりこれがいえる.
- ^

すなわち 式(3.9a)の微分作用素の定義式による.
- ^

すなわち,
による.
- ^

すなわちこれは,
による.

すなわちこれば,
による.
- ^
すなわち式(3.9a)の微分作用素の定義式による.
- ^


- ^
- ^
式(3.9a)の微分作用素の定義式による.
- ^
- ^
を変数分離法で解く.
,
.または解関数として
.両辺を
で積分して,


これは解
も含む表現である.(
, また
と置きなおしている.)
- ^
を変数分離法で解く.
,
.または解関数として
.両辺を
で積分して,


これは解
も含む表現である.(
, また
と置きなおしている.)
- ^


すなわち,
とおけば,
よって,
.
- ^

- ^

- ^
すなわち,
だから,

- ^
補題3.3より,
.
ならば 
すなわち,
- ^
補題3.3 より

今,
より,
- ^
(i) の必要性を証明する.

とあらわされるとき,
ならば,
であることを示す.
補題3.3)
.
今
のとき,
![{\displaystyle p(D)\cdot Ae^{\alpha t}={\bigg [}q(D)(D-\alpha )+x{\bigg ]}Ae^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1960caac5afb2d7a30a8cf297b33bd643627ee20)

より 
よって,
だから
すなわち,
であり,
は
を因数として持つことを示せた.
- ^
証明の方針を整理する.
どのような多項式
も,予め定めておいた
を含む二次式
で割れば,余りを許せば,
![{\displaystyle p(D)=q(D){\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}+xD+y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1660b722edf5098638cb64e5bb8488f5b9bfb958)
に書き換えることが可能である.係数
を調整すれば,
…①
の形にすることも当然可能である.
今,①の形のもとで,予めさだめておいた
に対して
を入力条件としたとき,これから
を結論とできるか、を証明するべき問題とする.
- ^
の解の一つが
であることは例48 ですでに証明している.ただし他の形の解が存在するかどうかはここでは触れないでおく.
- ^
![{\displaystyle p(D)\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}=q(D){\bigg [}\left\{(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}\right\}+x(D-\alpha )+y{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c8b330f6cd3a18888c796d167ffb85c48832fa)
![{\displaystyle =q(D){\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}+{\bigg [}x(D-\alpha )+y{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13eaefd5af0790fafd3aab72808a9b9d535b39d)
![{\displaystyle ={\bigg [}x(D-\alpha )+y{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd300b4adbbd1d206515eb8c648f707b1db3b98)
![{\displaystyle (\because {\bigg [}(D-\alpha )^{2}+\beta ^{2}{\bigg ]}\left\{e^{\alpha t}\left(A\cos \beta t+B\sin \beta t\right)\right\}=0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2bf126f4ee7249f81e09ee40e1fb6dee4936c6)
- ^
補題3.3(ii)
による.
- ^
三角関数の合成より,
とすると,
![{\displaystyle e^{\alpha t}{\bigg [}(B\beta x+Ay)\cos \beta t+(-A\beta x+By)\sin \beta t{\bigg ]}=e^{\alpha t}\cdot {\sqrt {(B\beta x+Ay)^{2}+(-A\beta x+By)^{2}}}\sin(\beta t+\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e075e12992e2cef7deaaafd5d4ead76db99daffb)
この値が全ての
で
であるためには,
かつ
が必要.
- ^

すなわち,


かつ 
- ^
より,

の形に表すことができ,すなわち,
が
を因数として持つことを示せた.