制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/別法

予告しておいたように，像関数を $s$ で微分することは，原像に $-t$ をかけることに対応する．

公式 3

$F(s)\sqsubset f(t)$ ならば ${\frac {dF(s)}{ds}}\sqsubset -tf(t)$

証明

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt$

を $s$ で項別微分すると，

${\frac {dF(s)}{ds}}=\int _{0}^{\infty }(-t)f(t)e^{-st}dt$

となる． $\diamondsuit$

よって補題2.3は

${\frac {d(FG)}{ds}}={\frac {dF}{ds}}G+F{\frac {dG}{ds}}$

の原像であることが分かる．

一般に，加法と乗法の定義された代数系があって，演算 $T$ が，

$T(f+g)=Tf+Tg$

$T(f\circ g)=Tf\circ g+f\circ Tg$

なる形式を有するとき，$T$ は微分演算と考えてよいのである．

例55$\quad$

この公式 3を用いて公式 2を導け．

解答例

(1)

${\frac {d}{ds}}{\frac {1}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n-1}}}=-2(n-1){\frac {s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}$

を念頭において，

${\frac {1}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n-1}}}\sqsubset f_{n-1}$

公式 3を適用し，左辺を $s$ で微分した場合，

$-2(n-1){\frac {s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}\sqsubset (-t)f_{n-1}$

両辺を $-2(n-1)$ で割ると，($\because$Laplace 変換の線形性による．）

${\frac {s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}\sqsubset {\frac {t}{2(n-1)}}f_{n-1}$

(2)

${\frac {d^{2}}{ds^{2}}}{\frac {1}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n-1}}}={\frac {d}{ds}}\left(-{\frac {2(n-1)s}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}\right)$

$={\frac {-2(n-1)}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}+{\frac {4n(n-1)s^{2}}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n+1}}}$

$={\frac {-2(n-1)}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}+4n(n-1)\left({\frac {(s^{2}+\beta ^{2})-\beta ^{2}}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n+1}}}\right)$

$={\frac {-2(n-1)}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}+{\frac {4n(n-1)}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}-{\frac {4\beta ^{2}n(n-1)}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n+1}}}$

$={\frac {4n^{2}-4n-2n+2}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}-{\frac {4\beta ^{2}n(n-1)}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n+1}}}$

$={\frac {2(2n-1)(n-1)}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n}}}-{\frac {4\beta ^{2}n(n-1)}{(s^{2}+\beta ^{2})^{n+1}}}$

この原像は，

$t^{2}f_{n-1}=2(2n-1)(n-1)f_{n}-4\beta ^{2}n(n-1)f_{n+1}$

$4\beta ^{2}n(n-1)f_{n+1}=2(2n-1)(n-1)f_{n}-t^{2}f_{n-1}$

$f_{n+1}={\frac {1}{4\beta ^{2}}}\left\{{\frac {2(2n-1)}{n}}f_{n}-{\frac {t^{2}}{n(n-1)}}f_{n-1}\right\}$

$={\frac {1}{2\beta ^{2}}}\left\{{\frac {2n-1}{n}}f_{n}-{\frac {t^{2}}{2n(n-1)}}f_{n-1}\right\}$

これが求める結果である． $\diamondsuit$