円と三角関数の関係
初等数学公式集/初等関数の性質#三角関数も参照
単位円の図。この図では角度を変数 t としてある。
(記事の本文では角度はθだが、θで描かれた単位円の図が無いので、 t の図で代用した。記事の本文と照らし合わせる場合は t をθに置き換えて読むこと。)
xy平面上に半径1の円を考える。この円を単位円(たんいえん)という。単位円は方程式
が表す図形である。
x軸の正の部分を反時計回りに角度θだけ回転させた半直線が単位円と交わる点の座標を(x,y)とするとき、次で定まる値を角度θの三角関数(さんかくかんすう)という。
![{\displaystyle \sin \theta =y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d80b5d58bed05745127a4e7956b44cb9d9f1e94)
![{\displaystyle \cos \theta =x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f628c27d546b187d68f7ec5a5caea7e619b8742b)
![{\displaystyle \tan \theta ={\frac {y}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85a015809cb3cda7f784d0d5510275d8fcd97fd0)
それぞれsinを正弦関数(せいげんかんすう、sine サイン)、cosを余弦関数(よげんかんすう、cosine コサイン)、tanを正接関数(せいせつかんすう、tangent タンジェント)という。サインとコサインの定義域は実数全体だが、タンジェントの定義域は実数全体ではない。タンジェントの値が定義できないような角度が存在するからである。例えば
は定義できない。
次に紹介する3つは、現代では使用が減っており、高校数学や大学受験では通常扱われないが、これらも三角関数である。
![{\displaystyle \cot \theta ={\frac {x}{y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42940f050a74606d7bf74e0a4bad5ff059d993c6)
![{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ff474fdccdfa947788cb901ce3fe9f7c0635d8)
![{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/504e6e55a66e54acf61b23f654c13cc3a6cf848b)
それぞれ余接関数(よせつかんすう、cotangent コタンジェント)、正割関数(せいかつかんすう、secant セカント)、余割関数(よかつかんすう、cosecant コセカント)という。この3つはどれも定義域が実数全体ではない。
サイン・コサイン・タンジェントとセカント・コセカント・コタンジェントの間には、定義から明らかに次の関係式が成り立つ。
![{\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c43eb9e028209d26e1d51962ba37559724927e1c)
![{\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc7582242c8fdc73f37b9d206e559dc671689bc)
![{\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48e86e7fc615133fcc0ea9cdbe52a9535c0d82d)
サイン・コサイン・タンジェントに関する公式をもとにしてセカントなどに関する公式を導くことができるが、この項目ではセカントなどに関する公式は省略する。
以下に記す公式は、式のどこかに定義できない箇所があるときや、分母がゼロになるときには、使うことができない。証明においてもそのようなケースは暗黙のうちに除外していることを注意されたい。
- 例えば
のときに加法定理を用いて
を計算することはできない。
![{\displaystyle \sin 0^{\circ }=0,~\cos 0^{\circ }=1,~\tan 0^{\circ }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5835f9a0bd2aef331eedb786cca21dbfa8b62f72)
![{\displaystyle \sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}},~\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}},~\tan 30^{\circ }={\frac {1}{\sqrt {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9b277d043852390f7dfa2b3b796da4008f3b3da)
![{\displaystyle \sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}},~\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}},~\tan 45^{\circ }=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b318c068bd22a871ecc5bf94a716b42741278956)
![{\displaystyle \sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}},~\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}},~\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc3fd16f982842ad5499f9793c9b02856f049af)
![{\displaystyle \sin 90^{\circ }=1,~\cos 90^{\circ }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e51a40d3f2f3b53099c531e9d905a4fee90c3335)
![{\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta ,~\cos(-\theta )=\cos \theta ,~\tan(-\theta )=-\tan \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc8312168e272253cc748dfde79ccac1356dd22b)
![{\displaystyle \sin(\theta +90^{\circ })=\cos \theta ,~\cos(\theta +90^{\circ })=-\sin \theta ,~\tan(\theta +90^{\circ })=-\cot \theta =-{\frac {1}{\tan \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0bc99eac21287c1499196629d25f6058cd4b7e)
![{\displaystyle \sin(90^{\circ }-\theta )=\cos \theta ,~\cos(90^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,~\tan(90^{\circ }-\theta )=\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c02e27f04b8ccffa010dd42e96b84f1bdd8332b)
![{\displaystyle \sin(\theta +180^{\circ })=-\sin \theta ,~\cos(\theta +180^{\circ })=-\cos \theta ,~\tan(\theta +180^{\circ })=\tan \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc736410f3ab9ee1a5b2b4db8c9599e2d80b4c35)
![{\displaystyle \sin(180^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,~\cos(180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta ,~\tan(180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d71f97ed7905518e955652f485711a0f246f00f)
nを整数とするとき、
![{\displaystyle \sin(\theta +360^{\circ }\cdot n)=\sin \theta ,~\cos(\theta +360^{\circ }\cdot n)=\cos \theta ,~\tan(\theta +180^{\circ }\cdot n)=\tan \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbbaf609b1570125533f9638727a56ec88def8dc)
正弦波(赤色)と余弦波(青色)の関数グラフ
は波型(サインカーブ)のグラフを描く。
いずれの式も複号同順。
![{\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3159b803711cc3a47304fcec500d50a62fa1e94)
![{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c830c8d5e1ce18d495f52bbe84d4c842b0530d)
![{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \ \tan \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763dfcfb575c9f595c1f80cf6d5a2d1cb84b28a7)
![{\displaystyle \sin 15^{\circ }=\sin(45^{\circ }-30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5f01e4e2b5e1268e3a7a3966edb604d38207252)
![{\displaystyle \cos 15^{\circ }=\cos(45^{\circ }-30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b2f39820078c491ee90798cb441faedd3d2a02)
![{\displaystyle \sin 75^{\circ }=\sin(45^{\circ }+30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f022080f12b5202dc3e11e6cc4e1042e8fd7d3a)
![{\displaystyle \cos 75^{\circ }=\cos(45^{\circ }+30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51f7469cf63bd11f656abbd589ec61ed669cc89)
![{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b055e70f0d1bcb3ce73889da1226181f96128d)
![{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c13b9d4dc7ddbe856ee426af10940deaaa37bb90)
![{\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ea23121a61a4dfdd4f0768c6b1b2ca549b2d4a)
加法定理から証明できる。
![{\displaystyle \sin 2\alpha =\sin(\alpha +\alpha )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2c4c1450c2948ec8e4597d837d5ddf93d23ab7d)
![{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos(\alpha +\alpha )=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de00de532a40817cd729764532327b98272cbce)
![{\displaystyle \tan 2\alpha =\tan(\alpha +\alpha )={\frac {\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan \alpha \ \tan \alpha }}={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05229b80b53366e9d4dffe116db396ee80c9a19a)
![{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef4cd9beab5b6ee8a40e89fa0fc46dee930837c)
![{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59fd56999c69e70f523317de09cdb2e36ad8e74)
![{\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c100cd6f7c2c134307cf3998606832e895dafca3)
また、2乗が現れない次の公式もあるが、高校ではあまり扱われない。
![{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55cf5826708bf691b7bcab9cbca3313e73ae8c1e)
![{\displaystyle \cos 2\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb11760379ced4a22a9f96093881f544fb05afe)
∴ ![{\displaystyle 2\sin ^{2}\alpha =1-\cos 2\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4084723a1eb845f2e3a4245e04158bd180113e3)
∴
![{\displaystyle \cos 2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d249da82d49ff69109da4c64928f668bed8a50)
∴ ![{\displaystyle -2\cos ^{2}\alpha =-1-\cos 2\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf56fdb4d8b5b91e03cd870e9b4cc70dd5f97b7)
∴
この2つから
![{\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {{\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha )}{{\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha )}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46e3e29cf707468111ea95c89cc03e4230140381)
がいえる。通常は以上の3つを示しておけばよい。
残る式は、分母を払った形の式を考えれば示しやすい。
![{\displaystyle (1+\cos 2\alpha )\tan \alpha =2\cos ^{2}\alpha \cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ab4a2257f7620f8fa3776c09b4efff6816bfc4a)
∴ ![{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6016d3423ed2e024934fdadcdc4acafdc4b81e59)
![{\displaystyle \sin 2\alpha \tan \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=2\sin ^{2}\alpha =1-\cos 2\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9dc40ce9f527619c8b80dd77fbc38d6f3a5447)
∴
半角公式はしばしば次数を下げるために用いられる。たとえば、
![{\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx=\int {\frac {1}{2}}(1-\cos 2x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{4}}(2x-\sin 2x)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a39fff69a4e940f987d9fe010eed4993bef18933)
![{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb76f5c696508fe649faab69c24feb1ea1d27c8)
![{\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e01351800fff79b36d777b1041223966eb5ec9)
![{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0347e55bbe728ac32acc23a23741d22bb0fbbc38)
![{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972ae15cdca326836d5a7cab45d5f3bdb9404367)
とおく。すると
と表せる。
sin の加法定理より
![{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =\sin \left({\frac {x}{2}}+{\frac {y}{2}}\right)+\sin \left({\frac {x}{2}}-{\frac {y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5f782422d42129df9de8f449639283f40a5d6a)
![{\displaystyle =\left(\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}+\cos {\frac {x}{2}}\sin {\frac {y}{2}}\right)+\left(\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}-\cos {\frac {x}{2}}\sin {\frac {y}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/021dfc9c20e0ced3c0900fc2a80d1208f21e9830)
![{\displaystyle =2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e103b0e4dd87e960e0070b24b2337f73876ad885)
他の3つも同様の方法で示せる。
積和変換公式は次数を下げるために用いられる。
☆のついた公式は相互に書き換えができる。
![{\displaystyle \sin \alpha \ \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/855ad759cb4026040baf311f4050df051c5b93c1)
- ☆
![{\displaystyle \sin \alpha \ \cos \beta ={\frac {1}{2}}\{\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82fdfe53f99fa2bcfc6584a21d05709a53298524)
- ☆
![{\displaystyle \cos \alpha \ \sin \beta ={\frac {1}{2}}\{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce714dbed85cb2ca157b12aa6b38039d64da277a)
![{\displaystyle \cos \alpha \ \cos \beta ={\frac {1}{2}}\{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc19e8b70fec5e4f454f905df79bc7f027974b6)
天下り的だが、右辺から左辺へと変形すれば容易に証明される。
![{\displaystyle \sin 3\alpha =-4\sin ^{3}\alpha +3\sin \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc21f9b1a9c15991554b36e8f1a99c8b3799b0dd)
![{\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3bec7def30bbe89d0bef5a98beda55e1bc9002)
![{\displaystyle \sin 3\alpha =\sin(\alpha +2\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ff6dd673c24ef1fb34c49404e47e91039ad5b4)
![{\displaystyle =\sin \alpha \cos 2\alpha +\cos \alpha \sin 2\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f421cc70575f3432498d72796b245014a5a027)
![{\displaystyle =\sin \alpha (1-2\sin ^{2}\alpha )+\cos \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/881c5eb9ac7fd29535cdb6a4f3af1b11b888cf9a)
![{\displaystyle =\sin \alpha -2\sin ^{3}\alpha +2\sin \alpha \cos ^{2}\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e3eff893cf70af0e624a4defa9532c96829896)
![{\displaystyle =\sin \alpha -2\sin ^{3}\alpha +2\sin \alpha (1-\sin ^{2}\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50d2614798f037279c89f8eb9fafbfd13db1579f)
![{\displaystyle =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009f5c3c1ec9afc247d03b811c428dee17510ab4)
![{\displaystyle \cos 3\alpha =\cos(\alpha +2\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d041089ced3b3185700cb0565f2c4f1e474ee13)
![{\displaystyle =\cos \alpha \cos 2\alpha -\sin \alpha \sin 2\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d0ed1167c43d1a0a920d486b55b5233c9912a7d)
![{\displaystyle =\cos \alpha (2\cos ^{2}\alpha -1)-\sin \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f5c19f17d55d49ee93b6f7b43f8fb9ac4f097f5)
![{\displaystyle =2\cos ^{3}\alpha -\cos \alpha -2\sin ^{2}\alpha \cos \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51aefc375311b73923e5c42983ec2784112106dd)
![{\displaystyle =2\cos ^{3}\alpha -\cos \alpha -2(1-\cos ^{2}\alpha )\cos \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c7281d235680f1bfb13054379e8053c680cac5)