大学受験数学 三角関数/公式集

円と三角関数の関係

初等数学公式集/初等関数の性質#三角関数も参照

三角関数の定義

単位円の図。この図では角度を変数 t としてある。
（記事の本文では角度はθだが、θで描かれた単位円の図が無いので、 t の図で代用した。記事の本文と照らし合わせる場合は t をθに置き換えて読むこと。）

xy平面上に半径1の円を考える。この円を単位円（たんいえん）という。単位円は方程式 $x^{2}+y^{2}=1$ が表す図形である。

x軸の正の部分を反時計回りに角度θだけ回転させた半直線が単位円と交わる点の座標を(x,y)とするとき、次で定まる値を角度θの三角関数（さんかくかんすう）という。

$\sin \theta =y$

$\cos \theta =x$

$\tan \theta ={\frac {y}{x}}$

それぞれsinを正弦関数（せいげんかんすう、sine サイン）、cosを余弦関数（よげんかんすう、cosine コサイン）、tanを正接関数（せいせつかんすう、tangent タンジェント）という。サインとコサインの定義域は実数全体だが、タンジェントの定義域は実数全体ではない。タンジェントの値が定義できないような角度が存在するからである。例えば $\tan {\frac {\pi }{2}}$ は定義できない。

次に紹介する3つは、現代では使用が減っており、高校数学や大学受験では通常扱われないが、これらも三角関数である。

$\cot \theta ={\frac {x}{y}}$

$\sec \theta ={\frac {1}{x}}$

$\csc \theta ={\frac {1}{y}}$

それぞれ余接関数（よせつかんすう、cotangent コタンジェント）、正割関数（せいかつかんすう、secant セカント）、余割関数（よかつかんすう、cosecant コセカント）という。この3つはどれも定義域が実数全体ではない。

サイン・コサイン・タンジェントとセカント・コセカント・コタンジェントの間には、定義から明らかに次の関係式が成り立つ。

$\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}$

$\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}$

$\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}$

サイン・コサイン・タンジェントに関する公式をもとにしてセカントなどに関する公式を導くことができるが、この項目ではセカントなどに関する公式は省略する。

注意

以下に記す公式は、式のどこかに定義できない箇所があるときや、分母がゼロになるときには、使うことができない。証明においてもそのようなケースは暗黙のうちに除外していることを注意されたい。

例えば $\alpha ={\frac {\pi }{3}}=60{}^{\circ },~\beta ={\frac {\pi }{6}}=30{}^{\circ }$ のときに加法定理を用いて $\tan(\alpha +\beta )$ を計算することはできない。

有名な三角関数の値

$\sin 0^{\circ }=0,~\cos 0^{\circ }=1,~\tan 0^{\circ }=0$

$\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}},~\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}},~\tan 30^{\circ }={\frac {1}{\sqrt {3}}}$

$\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}},~\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}},~\tan 45^{\circ }=1$

$\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}},~\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}},~\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}$

$\sin 90^{\circ }=1,~\cos 90^{\circ }=0$

三角関数の基本的性質

$\sin(-\theta )=-\sin \theta ,~\cos(-\theta )=\cos \theta ,~\tan(-\theta )=-\tan \theta$

$\sin(\theta +90^{\circ })=\cos \theta ,~\cos(\theta +90^{\circ })=-\sin \theta ,~\tan(\theta +90^{\circ })=-\cot \theta =-{\frac {1}{\tan \theta }}$

$\sin(90^{\circ }-\theta )=\cos \theta ,~\cos(90^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,~\tan(90^{\circ }-\theta )=\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}$

$\sin(\theta +180^{\circ })=-\sin \theta ,~\cos(\theta +180^{\circ })=-\cos \theta ,~\tan(\theta +180^{\circ })=\tan \theta$

$\sin(180^{\circ }-\theta )=\sin \theta ,~\cos(180^{\circ }-\theta )=-\cos \theta ,~\tan(180^{\circ }-\theta )=-\tan \theta$

nを整数とするとき、

$\sin(\theta +360^{\circ }\cdot n)=\sin \theta ,~\cos(\theta +360^{\circ }\cdot n)=\cos \theta ,~\tan(\theta +180^{\circ }\cdot n)=\tan \theta$

三角関数のグラフ

正弦波（赤色）と余弦波（青色）の関数グラフ

$\sin \theta ,\cos \theta$ は波型（サインカーブ）のグラフを描く。

加法定理

いずれの式も複号同順。

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \ \tan \beta }}$

加法定理の使用例

$\sin 15^{\circ }=\sin(45^{\circ }-30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$

$\cos 15^{\circ }=\cos(45^{\circ }-30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

$\sin 75^{\circ }=\sin(45^{\circ }+30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

$\cos 75^{\circ }=\cos(45^{\circ }+30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}$

倍角公式

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

倍角公式の証明

加法定理から証明できる。

$\sin 2\alpha =\sin(\alpha +\alpha )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha =\cos(\alpha +\alpha )=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha$

$\tan 2\alpha =\tan(\alpha +\alpha )={\frac {\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan \alpha \ \tan \alpha }}={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

半角公式

$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha )$

$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha )$

$\tan ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}$

また、2乗が現れない次の公式もあるが、高校ではあまり扱われない。

$\tan \alpha ={\frac {\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }}$

半角公式の証明

$\cos 2\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha$
∴ $2\sin ^{2}\alpha =1-\cos 2\alpha$
∴ $\sin ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha )$

$\cos 2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$
∴ $-2\cos ^{2}\alpha =-1-\cos 2\alpha$
∴ $\cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha )$

この2つから

$\tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {{\frac {1}{2}}(1-\cos 2\alpha )}{{\frac {1}{2}}(1+\cos 2\alpha )}}={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}$

がいえる。通常は以上の3つを示しておけばよい。

残る式は、分母を払った形の式を考えれば示しやすい。 $(1+\cos 2\alpha )\tan \alpha =2\cos ^{2}\alpha \cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$
∴ $\tan \alpha ={\frac {\sin 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}$
$\sin 2\alpha \tan \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}=2\sin ^{2}\alpha =1-\cos 2\alpha$
∴ $\tan \alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }}$

半角公式の使用例

半角公式はしばしば次数を下げるために用いられる。たとえば、

$\int \sin ^{2}x\,dx=\int {\frac {1}{2}}(1-\cos 2x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{4}}(2x-\sin 2x)+C$

和積変換公式

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

和積変換公式の証明

$\alpha +\beta =x,~\alpha -\beta =y$ とおく。すると $\alpha ={\frac {x+y}{2}},~\beta ={\frac {x-y}{2}}$ と表せる。

sin の加法定理より

$\sin \alpha +\sin \beta =\sin \left({\frac {x}{2}}+{\frac {y}{2}}\right)+\sin \left({\frac {x}{2}}-{\frac {y}{2}}\right)$
$=\left(\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}+\cos {\frac {x}{2}}\sin {\frac {y}{2}}\right)+\left(\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}-\cos {\frac {x}{2}}\sin {\frac {y}{2}}\right)$
$=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {y}{2}}$
$=2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

他の3つも同様の方法で示せる。

積和変換公式

積和変換公式は次数を下げるために用いられる。

☆のついた公式は相互に書き換えができる。

$\sin \alpha \ \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\}$

☆ $\sin \alpha \ \cos \beta ={\frac {1}{2}}\{\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\}$

☆ $\cos \alpha \ \sin \beta ={\frac {1}{2}}\{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\}$

$\cos \alpha \ \cos \beta ={\frac {1}{2}}\{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\}$

積和変換公式の証明

天下り的だが、右辺から左辺へと変形すれば容易に証明される。

三倍角の公式

$\sin 3\alpha =-4\sin ^{3}\alpha +3\sin \alpha$

$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha$

三倍角の公式の証明

$\sin 3\alpha =\sin(\alpha +2\alpha )$
$=\sin \alpha \cos 2\alpha +\cos \alpha \sin 2\alpha$
$=\sin \alpha (1-2\sin ^{2}\alpha )+\cos \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha )$
$=\sin \alpha -2\sin ^{3}\alpha +2\sin \alpha \cos ^{2}\alpha$
$=\sin \alpha -2\sin ^{3}\alpha +2\sin \alpha (1-\sin ^{2}\alpha )$
$=3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha$

$\cos 3\alpha =\cos(\alpha +2\alpha )$
$=\cos \alpha \cos 2\alpha -\sin \alpha \sin 2\alpha$
$=\cos \alpha (2\cos ^{2}\alpha -1)-\sin \alpha (2\sin \alpha \cos \alpha )$
$=2\cos ^{3}\alpha -\cos \alpha -2\sin ^{2}\alpha \cos \alpha$
$=2\cos ^{3}\alpha -\cos \alpha -2(1-\cos ^{2}\alpha )\cos \alpha$
$=4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha$