出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
大学受験数学 三角関数/公式集も参照
- 三角関数相互の関係
![{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92879b003ad645724514d1f5b30485e58741d34f)
![{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5f3f2a99e5b6fca60dd60dfaecd7d61d4a30c90)
![{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-{\frac {1}{\tan \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897340fe52b7b5f4e2f8f792b7138e07d3689c09)
![{\displaystyle \sin(\pi +\theta )=-\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67138c91d3a8227e33cb7537a5b260c4501b36a7)
![{\displaystyle \cos(\pi +\theta )=-\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ee97443c395d56d0baf92163906253c45f1bf3)
![{\displaystyle \tan(\pi +\theta )=\tan \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfe61984b57c0968e7cf475c558ebef6b8778d3)
- 三角比の相互関係
(ピタゴラスの基本三角公式)
![{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c1226e1d3fcd47c7692602e6cbd7769db4296fe)
![{\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e174dd1c08ad4d1f53df0776cd9b24d90125c24e)
-
- 鋭角における三角比の相互関係(三角比のいずれかが有理数で表されている場合に有用)
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2f/Right_triangle_with_notations.svg/200px-Right_triangle_with_notations.svg.png)
であるとき。
, ![{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a}{\sqrt {c^{2}-a^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a697e8602d0a1804aaa33dcaa539d12be6c90db9)
であるとき。
, ![{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\sqrt {c^{2}-b^{2}}}{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a6a609acfac7f4c29c6aea642ee515122f37387)
であるとき。
, ![{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8baa5a88830a1461764d8761a25675c26280113)
![{\displaystyle \sin(-\theta )=-\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05280328a017fe88f5b1be9a4a3ad56c4b38e6cd)
![{\displaystyle \cos(-\theta )=\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1b6af2ba94621d797686e91d0d8218e4c950c2)
![{\displaystyle \tan(-\theta )=-\tan \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a9a642606a49ea00893d42db64d6b8638bdd3d)
![{\displaystyle \sin(\pi -\theta )=\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/471c920c770a97021e07a0351bfd1e744f0a32be)
![{\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcbcef6426672f28e34965669ec23f14197461e8)
- 負角の公式との合成
![{\displaystyle \sin(\theta -\pi )=-\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd14bc980b6959ddd15c910dd20a96b825e3c87b)
![{\displaystyle \cos(\theta -\pi )=-\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29d060b487efd7d1fe0c2b9a37e50e6f4cdaf24)
![{\displaystyle \tan(\theta -\pi )=\tan \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8293bd3ea928940c6052dc452524ebe79f0fd122)
![{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74f67f88e898de7b0b5ada7eb27221bad1bfe4e0)
![{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71566f5864a7f67e8b39a78c824888d8630fd728)
- 負角の公式等との合成
![{\displaystyle \sin \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=-\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886ae7df0cacf47ded7caaeef25f347b241d804c)
![{\displaystyle \cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022162e65270b6c2e2bead43b33b5f50fbd65354)
![{\displaystyle \tan \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{\tan \theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8885060d9d31d06acf80ff9581d6dc3f6c20122d)
証明は高等学校数学II/三角関数#加法定理を参照
![{\displaystyle \displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd69f509c6e5115ed4143d71d77812d5853f3b67)
![{\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c830c8d5e1ce18d495f52bbe84d4c842b0530d)
![{\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e83363d7fc6ea6310e04ba1f664e08d74fc08f)
(すべて複号同順)
加法定理で、
として、
![{\displaystyle \displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8d7666c00622a3611c73978663b42de73bb365)
![{\displaystyle \displaystyle \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dccb91a8db8cc99ab9e20ea413ecaf5face3eaf1)
![{\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21607a37dc6ead5c7da30941bf96e6d9f012da78)
← 倍角の公式より、
-
← 倍角の公式より、
-
-
-
- (拡張)
とするとき、
←
を
について解く。
←
に
を代入する。
![{\displaystyle \displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d916225d1332db804b9816960426131bc040a41)
![{\displaystyle \displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f9f371986069df24f7db61c99d4d43cb13d01c)
![{\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -4\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f57d34375fa6bde402f6d73c818e304f699f92)
![{\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb76f5c696508fe649faab69c24feb1ea1d27c8)
![{\displaystyle \sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87e01351800fff79b36d777b1041223966eb5ec9)
![{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0347e55bbe728ac32acc23a23741d22bb0fbbc38)
![{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972ae15cdca326836d5a7cab45d5f3bdb9404367)
![{\displaystyle \sin \alpha \cdot \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/478bd884a60dc17999026bbd2ef74eaf630f3661)
![{\displaystyle \cos \alpha \cdot \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bd7fce798ddc71f58cd9337a393f75296a1da0d)
![{\displaystyle \cos \alpha \cdot \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e21bd73d6aaa3c7c2cb85d5512a9b1a5c71112d)
![{\displaystyle \sin \alpha \cdot \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left\{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c083c0752cf81a9bf81a93a14fd97f4c2eccee)
ただし、![{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\cos \alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38dfa9a086dec29a3412098ab9dbd8cfb167d8f3)
覚え方
位相を
すると微分になると覚えましょう。
の三角関数も2階微分としてすぐに導出できます。
の三角関数は積分として覚えられます。また、点
を
回転した点
は原点を中心に点対称移動した点
であることからも、
の三角関数を導出できます。
の三角関数は、点
を
軸で線対称移動移動した点が
であることから導出できます。
加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。
の倍角の公式
は
という形を覚えて
は符号が
、1 の符号はその逆と覚えます。
2乗の三角関数
は、
という形を覚えて、
は符号が
と考えます。
以下、この節内では a, b ,c は実数とする。
![{\displaystyle a^{0}=1,a^{1}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be3eae9147a72da5035925309870b087aa3658a)
![{\displaystyle \displaystyle a^{b}\times a^{c}=a^{b+c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f805e084bdb5e895e6014af97c9bd52032e4dc)
![{\displaystyle a^{-b}={\frac {1}{a^{b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4002b5c2c3d0e0d824d4c1da45646933c11e6c57)
![{\displaystyle \displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd34784cf13990de5b8f596c845799fefb287142)
![{\displaystyle \displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eaccdcb3dd19ad01668244efee7c72f08916ff2)
以下、
かつ
とし、また対数の真数として表れるものはすべて正とする。
- 対数の定義
![{\displaystyle a^{b}=c\Leftrightarrow b=\log _{a}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f46acd72d6232af0e4d7945e32355a39ec8c3966)
, ![{\displaystyle \log _{a}{a}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffacf131ef4399230be36a05b70fad0487cb93cd)
![{\displaystyle \displaystyle \log _{a}(bc)=\log _{a}b+\log _{a}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8963f48401571f5b037afe6a607d2f4954dc2907)
![{\displaystyle \log _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)=\log _{a}b-\log _{a}c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9179997f1954482ba76e6f67774fc3675c2f9e)
![{\displaystyle \displaystyle \log _{a}b^{c}=c\log _{a}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b7498d2bf8d8c98042db95421a516d5f9ceb70f)
- 特に
, ![{\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64e7f85bb4463869b636a056f95d0adab1ecbaa)
![{\displaystyle a=b^{\log _{b}a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27c2377ae63681625e92113033babd08d49dba32)