コンテンツにスキップ

学習方法/高校数学

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
このページ「学習方法/高校数学」は、まだ書きかけです。加筆・訂正など、協力いただける皆様の編集を心からお待ちしております。また、ご意見などがありましたら、お気軽にトークページへどうぞ。
※注意 勉強法に王道はありません。十人いれば十人それぞれに合った勉強法があります。だから、このページを過度に信用しないでください。


原則

[編集]

数学の参考書の使い方は、基本、最低限の公式の解説を読んで公式を導出できるようになったら(導出に時間が何十分と掛かっても構いません)、あとは参考書などにある問題を解くことです。よくスポーツの練習にたとえられ、たとえばスポーツは体を動かさないと上達しないように、数学も手を動かして、新しく学習した公式を使って適切なハードルの問題で計算練習しないと上達しないと言われます。


このため、入門的なレベルの参考書でも、題名に「演習」とか入っている場合があります。たとえば数研出版の白チャートや黄チャートなどがそれです。


書店で、色々な出版社の参考書の実物の中身を確認して、自分にあったものを選んでください。

高校数学の参考書選びのコツとして、決して大学入試までに問題練習を含めて終わらない難解で多量の問題のある参考書ではなく、入試までに問題練習も含めて全単元をそれぞれ9割ほど終えられる基本的な参考書を選ぶことです。

以下の学習法の解説は、「数学は手を動かして確認しながら学習するものである」のを前提にして、説明しています。

進学高校と底辺高校の差

[編集]

進学校は、定期試験の出題範囲が、すでに違っています。

数学なら、たとえば章末に入門的な「A問題」の頁と(基本問題~練習問題レベル)、「B問題」(応用問題~発展問題、理系向け問題)の頁とがあって、底辺高校だとA問題しか1~2年生の定期試験しか出ない、なんて差もあります[1]

底辺高校が3年生になってから文系コース数学で習うB問題が、すでに私立の進学高校では1~2年生の定期試験で文系コースがクリア済み、なんて差もあります。

なお、一般的に、B問題の最後のほう(下半分)の問題は、理系志望の志望のためのものなので、文系志望なら、とくにB問題の下半分はやる必要は無いです。やっても構いませんし思考力も身につくかもしれませんが、しかし文系の受験対策には、なりづらいです。

ほか、(私立進学高校などでは、)チャート式など参考書から定期試験の数学が出題される場合もあります[2][3]。私立高校側が入学前などに数学参考書を買い与えている場合もあります。(進学校でないと、検定教科書と、教科書会社による傍用問題集しか与えてない場合もあります。)

大学進学をしたい場合、このような差を意識して、参考書などで問題練習をしておく必要あります。


ある公立高校の理数科では、高校2年の終わりまでに、高校の数学III・Cまで終えます[4]

普通科の人は、べつに数学IIIの予習をする必要は無いです。なぜなら授業で教わったほうが効率的なので。理数科の生徒だって授業で教わっているのを復習しているわけだし。

しかし、普通科でも、授業で習った範囲の黄色チャートのやりこみは、可能なはすです。

なのにもし、まだ2年生の終わりの段階でも、「学年の単元でも勉強してない範囲が多く残っている(数学Bの単元のほとんどが家庭学習でも終わってない)」「検定教科書 + 白チャートしか終わってない」だと、大学受験の競争では、上記のような進度の早い学校(理数科や、中高一貫校など)に負けるので、一定以上の難関大には届きません。

果たして教育学的には、そこまでの難度の数学問題のヤリコミが必要かどうかは知りません(アメリカの大学入試共通テストは、もっと簡単な問題です。日本でも高専(工業高等専門学校)の数学は、難問は飛ばして、大学範囲の数学(偏微分(ヘンビブン)や線形代数など)に入ります)。しかし、少なくとも日本の場合、黄色チャート以上が網羅的に解けないと、大学入試では話になりません。国公立大学の入試問題もそうなっています。文句があるなら国公立大学に文句を言ってください。

使用すべき教材

[編集]

高校生の教材を用いる

[編集]

高校数学の学習で用いるべき教材は、まず高校生用の教科書と、高校生用の参考書です。

ですが、もし中学校の教科書レベルのことが分かっていないなら、中学校の数学も数研出版の最新シリーズの教科書や中学参考書で復習しましょう。ただし、一部の高校入試で出題されるようないたずらな難問を解けなくても気にする必要はありません。それに取り組むぐらいなら、高校の教科書で学習するべきです。

( Kwaweのコメント)高校教科書でお勧めするのは新課程だと、数研出版の最新シリーズ、第一学習社・実教出版・啓林館といった新編シリーズです。最新シリーズは易しい図解や脚注が多く苦手な人でもわかりやすく作られています。

  • 基本的には高校の学習を中心に。中学数学は現地調達で。

あなたが高校の新入生(高校1年生)だとして、中学数学の復習をしたほうがよいかどうかは、人にもよりますが、多くの人は数学の家庭学習では中学の復習よりも先に、まずは高校数学の教科書や参考書を読み進めて計算練習していくほうが良いでしょう。

どうしても中学教材で復習する必要がある場合は、使う参考書は、よほど数学が苦手でない限りは、普通の高校受験レベルの中学参考書や、あるいは中高一貫用の教科書などで、多くの高校1年生は十分でしょう。

参考書の種類

[編集]

参考書を選ぶ際、高校数学の参考書はいくつか種類があるので、区別の必要があります。


苦手な人のための単元別の参考書

( Kwaweのコメント) こちらはいらないかと思います。

予備校の講師などが執筆している事が多いと思われます。書名に『山田太郎の よくわかる三角関数(数学II)』みたいな、題名に予備校講師の名前と、「三角関数」みたいな単元名が入っていたりした題名だろうと思います。

これは、練習問題などは少なめです。

名目としては、数学が苦手な生徒のための、教科書レベルから復習して「どうしてこの公式が成り立つのか?」といった再入門的な解説および簡単な練習問題のある参考書です。


網羅的かつ基礎的な参考書

( Kwaweのコメント) こちらもいらないかと思います。

『よくわかる 数学II・B』みたいな感じのタイトルで、あまり難問に入らないが、その学年のその科目をひととおり、よくあるパターンの問題を解説している参考書があります。

学校で習った単元や、上述の『よくわかる 三角関数』みたいな入門的な参考書をひととおり読んで理解した単元については、これらの基礎レベルの参考書で勉強すれば、かなり学力が上がります。(ただし、学校の定期試験に出題されるかどうか分かりません。)

実は学習塾でも、よほどの難関大対策の塾でないかぎり、高校1年や2年の塾テキストで紹介している問題なんて、このレベルのものが大半です。

塾の高1・高2の場合、学校で習ってない数学Aや数学Bの単元も塾では扱うので、あまり難問ばかり出来ません。塾の高1・高2むけカリキュラムは、意外と基本的なレベルの問題を練習させるのです。

辞書的な問題集に近い参考書

( Kwaweのコメント)こちらは必要です。

チャート式4色、東京書籍のニューアクションシリーズ、啓林館のフォーカスゴールドが入ります。

以下、私( Kwawe) の経験から書評を記述します。

★数研出版 チャート式

  • チャート式基礎と演習(白チャート):必ず購入しましょう。数学の教科書にありがちな説明不足を補うためです。
  • チャート式解法と演習(黄チャート):必要ありません。
  • チャート式基礎からの数学(青チャート):赤チャートとかなり重なるので必要ありません。
  • チャート式(赤チャート):2冊目としてはありです。最初に購入しないようにしましょう。

赤チャートと青チャートの使用には注意が必要です[5][6]

ネットでも、色々なサイトが、青チャート以上は、普段の学習ではなく辞書的に使えと警告しています[7]。時間不足で受験時までに終わらない参考書よりも、終えられる参考書のほうがマシです。

( Kwaweのコメント) ただし、白チャート「チャート式基礎と演習」は必ず自費で購入しましょう


ネット上の各種のブログや塾動画などの論者は、 Kwaweと異なる主張もしている人も多く、青チャート以上を不要とする論者もいます。真偽は分かりませんが、青チャートを完成させないでも難関大の理系に塾生が合格したと報告している塾・予備校もあります[8][9]。したがって、それ以上の赤チャートも、完成させる必要はありません。

多くの論者が共通しているのは、

入門用に、白チャート・黄色チャートのグループのうちの自分に合ったほう、
発展用に、青チャート、赤チャートのグループのうちの、自分や志望校に合ったほうです。

先に白チャートまたは黄色チャートを完成させてから、そのあと、青チャートで、入試対策などに合わせて補強をします。


ある塾の次の説明が分かりやすいでしょうので、引用します[10]

具体例として『基礎問題精講』と『チャート式』で話すと、参考書を完璧にする優先度は

1.ベストは終わる『チャート式』

2.終わる『基礎問題精講』

3.最悪は終わらない『チャート式』となります。


『基礎問題精講』よりも『チャート式』のほうが網羅性は高いので、完璧なら『チャート式』のほうが力はつきます!

だけど、大半の人は終わらないまま受験本番に突入してしまいます。

いきなり青チャート以上をやると、授業で扱っていない未習分野(たとえば数学Aや数学Bの後ろのほうの単元など)の基本問題や若干の応用問題が手つかずのまま高学年に突入する羽目になりかねないので、先に白・黄チャートなどで全体的に押さえておき、未習の範囲を狭めていきます。

青チャート以上に時間を掛け過ぎないように

おそらく、私立進学校の中高一貫校の生徒の言う「中3で数学IA(または数学II B)を終えた」などの話は、あくまでこの白チャート~黄色チャートなどのレベルの話です。

どういう事かというと、旧センター試験の時代、中高生が白~黄色チャートで良いので早めに数学II B まで早期に終わらせておくと、センター対策の模試なども有効に活用できて都合が良かったのです。

また、塾などで用いている教材の数学テキストの設問のレベルが、大体、黄色チャートくらいのレベルであり(塾にも寄りますが)、章末問題以外のレベルです。塾では、その分野を基礎から入試基礎まで広く練習させるので、問題のレベルは大体、黄色チャートくらいのレベルになります。


同様、1年生での数学IAの模試の件もあり、高校1年に上がる前に中3で数学IAを終わらせておくと(遅くても高校1年の夏明けまでに数学IAを終わらせると)、模試などの高校1年の範囲で高得点を取れるので、模試を有効に活用できて都合が良いのです。

けっして、青~赤チャートや、(「基礎」問題精講ではなく)標準問題精講などの数学II B や数学III Cを中学や高校1年で終えているわけではありません(一部の数学マニアを除く)。

高校前半では、青チャート以上まで数学だけに時間を掛けるよりも、英単語・古典単語や地歴公民などの暗記問題に時間を掛けるほうが効率的です。

たとえば、数学の難問が分からなくて20分くらい悩む時間があるなら、その時間で、たとえば英単語リスニングをすれば、百個の単語を何周かリスニングできます。こっちのほうが入試の得点源になります。むしろ、このように英語も忘れずに時間を当てないと、2020年代の英単語数の増えたカリキュラム改訂をした受験英語には対応できなくなってしまいます。

英語・国語・地歴公民のほか、理科の予習復習を、基本レベルの参考書でしても良い。

そういう得点源をある程度は習得した上で、余った時間で、青チャート以上を使いましょう。

問題集の注意事項

[編集]

標準レベルを固める


難問集は多くの大学受験ではほぼ不要

[編集]

数学の問題集には、とても難しい問題集「ニューグローバル×LEGEND プレミアム版」と「新課程入試対応 数学難問集 100」もあります。腕試しやカッコつけのために挑戦する受験生もいますが、あまり得策ではない場合が多いでしょう。なぜなら近年の入試傾向では、数学の難しすぎる問題の出題は、減ってきています。また、数学だけ突出して成績を上げても、他教科とのバランスが悪ければ合格にはつながりません。

「進学校の生徒はよく、高校1年から入試過去問を解いている」とか聞くかもしれませんが、誤解してはいけません。数学IAの標準レベルの参考書を読めば、だいたい章末問題あたりに、習った知識の組み合わせで解ける過去問、あるいは少し改変した問題があります。そういうのの事です。

参考書とは別の「問題集」は、そういう標準レベルの参考書が終わった人が、分野横断問題などに対応するステップアップのために取り組み教材のことであり、かなり後回しです。各学年の後半や3年生で取り組むような教材です。

参考書を1冊に限定しない

[編集]

よく他の教科の参考書選びの方法として、「1冊の参考書をやりきる。複数冊に浮気するのは非効率」とかの指針があります。しかし数学の場合、それは違います。

数学の参考書の切り替えについては、次のようなプロセスです。


理論の理解: まず、学校の授業や、再入門用の参考書などを使って、理論をじっくりとした説明で理解します。


ほかの節でも説明したかもしれませんが、活用法として、定理の式を自分で導出できるようにします(時間が掛かっても構いません)。

この導出の仕方の意味を理解するために、再入門用の参考書の説明を読んだり、または授業を聞いたりするのです。


公式の導出は、教科書などをチラッと見てもいいので、とにかく手を動かして実際に計算をして、公式などを自分の計算で導出できるようにする必要があります。

それをしてからでないと、下記の問題練習で発展問題とか章末問題とかにチャレンジしても、ほぼ無意味です。

そして、この再入門用の参考書でいいので、掲載されている例題や基本問題などの問題で、理解を確認します。 

それが終わったら、もしこの再入門用の参考書に難問などがあっても、あまり深入りせず、下記のような少しレベルアップした参考書に突入します。

    ↓

基礎レベルの問題練習) 「基礎の 数学II B」みたいな難易度のやさしめの参考書を選び、問題練習で、上述の理解を定着させます。

再入門用の参考書で習ったはずのところは、例題だけ短時間で出来るので確認しておいて、あとの既習部分はとりあえず飛ばしても構いません。学習の抜けもあるかもしれませんが、そういうのは模試であとから確認すれば済みます。

中堅私大(大東亜帝国あたり)の一般学部(医学部などを除く)の数学は、このレベルでも十分に合格する可能性があります。

数学の参考書には大抵、それぞれの単元ごとに、やさしめの確認問題、普通の確認問題、とか、何段階か確認問題があります。

そのうち、各単元のやさしめの基本的な問題だけを、先にその分野の終わりまで勉強してしまえばいいのです[11]

難易度ひくめの問題は「基本例題」とか「重要例題」とか書いてあって、解法の説明も比較的に(別冊解答ではなく)参考書本体に書かれているでしょうから、そういう問題だけを先にこなします。

また、この勉強法ペース配分を間違えるミスも減り、安心です。


数学の場合、難易度の高めの難問は、大学の学部の出題傾向によっては出づらい場合もあります。しかし、難易度ひくめの典型的な問題は、多くの大学で似たような問題が出題されるので、まずはそういった低難易度を確実に得点できるように自己をトレーニングする必要があります。


    ↓

中級、やや上級レベルの問題練習)もし「やさしめの参考書があまりに簡単すぎる」と思ったら、時間に余裕があれば、少しレベルが上の参考書(たとえば青チャートあたり)に手を出します。他の教科の勉強もしなければいけないので、あまり時間をかけすぎる必要はありません。

基礎レベルの参考書で習ったはずのところは、とりあえずは深入りする必要はありません。もし学習の抜けがあっても、このレベルになると、もう模試や塾のテストなどで確認するしかありません。なぜなら参考書が厚くなってきたりするので、参考書を最初から始めるのは時間的に無理だからです。

復習を後回しにできる単元

[編集]

2年生になったら数Iの難問は後回し

[編集]

(数学Bではなく)数学IIは、そのなかに数学Iの内容を含んでいます。したがって、数学IIの基本的な学習をすることによって、自然と数学Iの復習にもなります。

なので、2年生になったら、よほど数学が苦手でないかぎり、数学Iの参考書の章末問題や発展問題よりも、まずは数学IIの学習に取り掛かるべきです。

たとえば、数学IIで三角関数を勉強するとき、いちいち数学Iの三角比の未習の問題に取り掛かる必要はありません。


ただし、これは数学A、数学B、数学Cの話ではなく、あくまで数学I、数学II、数学IIIの話です。

数学Aと数学Bと数学Cには、特にそのような含みの関係が無いので、これらはコツコツと未習分野を、入門的な参考書でいいので、空いた時間を使って勉強していく必要があります。


また、後回しにしていいのは、あくまで前学年の科目のうち、検定教科書の章末にあるような難問と、基礎的な参考書の発展問題レベル~章末問題レベルです。

さすがに数学Iの基本問題すらも分からない場合は、おそらく数学IIも分からないので、もし数学IIがいまいち分からなかったら、基本問題だけでいいので数学Iを復習しましょう。

また、2年で習わない部分の数学Iの単元があれば、なるべくきちんと勉強しておきましょう。


同様、3年生になって理系コースを選択している場合は、よほど未習分野が多くないかぎり、とりあえず数学IIの発展問題や章末問題とかよりも数学IIIの基本問題などを優先しましょう。

数学IIIの順序と復習

[編集]

数学IIIには、極限、微分法、積分法など色々な単元があります。入試対策としては結論から言うと、難問にはあまり入らず、平易な問題集でいいので最後の単元までやりきるほうが、入試対策としても効率的です。

その理由は、要点を述べると、教科書の最後のほうにある積分法が、微分法よりも入試で出題頻度が高いから、です[12][13][14]。特に、積分を使って面積・体積を求めさせる問題が頻出です[15]

また、仮に検定教科書では前のほうにある「極限」などの単元が入試に出ても、入試では教科書後半の微分法・積分法などとの複合問題としての出題の可能性もあるからです[16]

そもそも常識的に考えても、入門者はバランスよく勉強するほうが望ましいです。


詳しくは下記。

まず、検定教科書は

関数と極限 → 微分法 → 積分法

という順序で進んでいくし、前の単元で習ったことを前提知識として活用して、次の単元が始まります。

このため、1度やった問題の復習では、微分法を後回しにできます。(積分法は微分法の逆演算であるので、微分法の計算テクニックも含まれているので)

また、「関数と極限」のうち、関数の単元では分数関数や無理関数を扱うのですが、これらは微分法や積分法でも扱いますので、復習では微積で扱っている部分は飛ばしやすいでしょう。(微積で扱いづらい無限数列などを優先して復習すればいい)

勉強法で誤解しそうなこと

[編集]

「進学校では高校1年生で(または、2年生で)過去問をやる」とか聞くこともあるでしょうが、べつに赤本を低学年の高校1年でバンバンと解いているわけではありません。

数学の場合、そもそも検定教科書があまり自習用に作られていないので、参考書で自分で勉強します。そして、今あるかは知りませんが過去の文英堂の標準レベルの教材くらいにあった入試過去問のレベルです。数学の場合、参考書だと、標準レベルの参考書にも入試過去問があるのです。

なお、別に高校2年の夏までに数学III・Cを終わらせる必要はありません[17]

数学IIIをやらなくても、数学II・Bの入試過去問は解けますし、普通に標準レベル以上の参考書には過去問があります。

あまり数学の難問集とかを解いても、そもそも文系志望だったらそこまで入試で要求されないので無駄になるし(共通テストのレベルまでで充分な場合もあるので)、なので、標準レベルの参考書にある数学II・Bの入試過去問でも解いていれば十分なのです。

数学の場合、範囲の予習(たとえば2年生で数学IIIをやる的な)が難しいので、なので、代わりに、習った範囲で、参考書(標準レベルで良い)などにある入試過去問を解くのが定番です。

どうしても低学年のうちから予習をするなら、数学II・Bの終わりまでに留めるのが良いでしょう。

数学IIIの微分積分は、暗記問題になりやすいので(数学者の秋山仁もそう言っています)、なるべく後回しにするほうが効率的です。そもそも外国だと、数学IIIに相当する単元は大学に入ってから、という国もあります。

それでも、どうしても2年生のうちに数学IIIを予習したい場合は、教科書レベル(および、参考書で対応する範囲)までにしておきましょう。とはいえ、2年生なら、なるべくなら、数学IIIを予習するのではなく、余った時間で、英語や理科や地歴公民や国語を学習するのが良いでしょう。


数学の場合、志望が理系志望の場合だと、もし数学I・Aで、高校1年の後半になっても未習の分野があれば、2年生の予習よりも先に未習分野の問題練習(標準レベルまでで良い)を先に片づける必要があります。当然、家での勉強時間を確保する必要があります。

もし、文系クラスと同じペースで3年生になってから復習をしようとすると、数学III・Cの学習時間と衝突してしまいます。このため、1年生のうちに数学!・Aの未習分野をすべて片づける(参考書の標準レベルを終わらせる)必要が理系志望ではあります。同様、2年生のうちに、数学II・Bの未習分野をすべて片づける必要があります。

各学年の秋ごろ(10月ごろ)になれば、「自分の高校では、どの単元を現学年では習わないか」が判明してくると思うので、残った未習単元は、家での自習で片づけます。

進学校の言う、数学の「予習」とは、こういう感じの意味です。けっして、数学IIIをいちはやく学習するレースをしているわけではありません。

ただし、これはあくまで数学、および、おそらく理科の物理などの場合です。

文系科目はもしかしたら、科目や分野によっては、予習をしたほうが良いかもしれません。理科や文系科目については、各科目のページで説明しますので、本ページでは省略します。


ただし、1年の1学期・2学期のうちは、大学進学を志望するなら、予習を進める必要があります。なぜなら高校範囲の復習をしようにも、1年の1学期では復習対象の範囲が無いので、この段階では予習が必要です。

偏差値50以上の普通の高校なら、高校入学までには中学数学の復習を終わらせているはずなので、1年生はさっさと予習に移り、しばらく予習を続けましょう。書店に行ってきて、数学IAの参考書を買ってきて、さっさと読んで、標準レベルの問題は解きに行くのが良いと思います。

教科全体の学習方針

[編集]

高校数学の開始で重要なことは?

[編集]

高校数学を学習し始めるにあたって、まず重要なこととは、なんでしょうか?

答えは「まずは、各単元の新たな理論の前提になる”決まりごと”を、知ること」です。高校数学の各単元における前提の決まりごとを文章化したものは、「定義」という言葉で表現されており、通常の教科書や参考書では、その単元の章・節の冒頭部のあたりに記載されています。

文章として表現された決まりごとは、それだけでは意味のわかりにくいものもあります。わかりにくい決まりごとの内容をかみ砕いて理解しやすくするために、簡単な計算例や例題・基本問題などを用いて決まりごとを説明している場合もあります。そのような例題などが、教科書・参考書では、各単元の冒頭のほうに書いてあるはずです。ある単元の決まりごとについて初めて学習する場合は、単に定義の字面を読むだけでなく、さらに例題とその解答を読み、理解しておきましょう。

高校数学で出現する新概念について、もし、まったく、これらの定義や決まりごとを知っていなければ、ほとんどの問題が解けません。逆に、定義を知っていれば、どんな問題でも、原理的には解くことが可能になります。なぜなら、決まりごとの中で問題が作られるわけですから。しかし、実際に全ての問題にテスト時間の短時間(たったの数十分)で、対応できる人間はほとんどいないので、決まりごとから公式や計算パターンなどを導いて解答の作成を効率化します。よって、公式などを覚えて使いこなすことが、問題を解くという観点では重要になります。

教科書や参考書などで公式が紹介されている場所は、かならずしも例題や基本問題といった冒頭部とは限らず、たとえば発展問題や応用問題などにも、導出にやや手間のかかる公式が紹介されている場合もあります。なので、できれば発展問題や応用問題なども計算練習しておきましょう。また、このため、各単元の初心者は、応用問題・発展問題などにも手を出せるような参考書を選んで練習するべきです。現役高校生があまりにも難しすぎる参考書を購入しても、せっかくの応用問題に手を出せず、多くの高校生には非効率になってしまいます。

実際の入試問題などでは、さらに入試頻出問題の解法パターンも覚えることが有効ですので、参考書のやや難し目の発展問題や章末問題なども練習することになりますが、新入生にとっては当面は後回しです。まず新入生は、基本問題あたりを重点的に計算練習しましょう。基本問題だけでは難関大学を突破するのは難しいですが、しかし基本問題の計算テクニックすらないと大学受験の数学を突破するのは困難です。出題頻度だけで見た場合、基本問題のテクニックのほうが入試では頻出ですので、まずは基本問題あたりを優先して練習します。

基本問題を優先する必要があるため、参考書えらびでは、けっして、難しすぎる参考書を選んではいけません。難しすぎる参考書だと、基本問題の掲載が不足しており、かえって非効率です。

例題への向き合い方

[編集]

「例題の練習の仕方は、例題を読んで、分からなければ、なるべく早く解説と解法を見ることです」[18]とか「そもそも教科書や参考書で、例題の直後に解説が書いてある理由は、なるべく読者に早めに解説を読んでもらいたいので、わざわざ例題の直後に解説を書いてあるのです。例題は、解説を理解させる事も目的です」[19]と言った主張があります。これらはあながち完全に間違いと決めつけることはできない主張ですが、ことはそう単純ではありません。学習の各段階に応じて、例題の使い方は変わってきます。ここでは、初めてその単元を学ぶ際の向き合い方について述べます。

初めて学ぶときには、例題を見てまず問題の意味を把握しましょう。問題の意味を把握しないのに自分で問題を解くことができるかできないかの判断もできませんし、問題の意味を把握する前に解答を読んでも意味がわかるはずがないのに完全に無意味です。問題の意味を把握する作業(図を描いてみたり、文字式に具体的な数字を代入して様子を観察する作業を含む)を省略していきなり解答を読むのは、間違った学習です。この把握作業は、しばしば思った以上に時間がかかりますし、かけるべきです。問題の意味を把握したうえで、解法が見えてくれば自分で解くことがベストですが、初めてであればしばしばそうもいかないでしょう。その場合には、解答を読み始めることになります。その際、解答が「何をしているのか」を把握しようとすることは言われなくても多くの人がすると思いますが、加えて「なぜそのようなことをしようとしたのか」にも意識を向けるのが大切です。すべての操作には動機がある、と言っても過言ではありません。動機は見えづらいことも多いですので、わからなければ先生などに質問してみるのもよいでしょう。操作の動機まで含めて、自分にとって腑に落ちるところまで例題をしゃぶりつくすのが第一段階です。

次に、しばらく時間を空けた後で、その例題や近くにある類題を用いて、解答の流れを再現してみましょう。ここができるかできないかには、先述した「なぜそのようなことをしようとしたのか」を真剣に考えることができたかできなかったかが関わってきます。「なぜ」の動機の部分だけならば覚える量も少ないですし、覚えるきっかけがあることも多いので、それを積み重ねていくのが有効なのです。その問題を忘れるための十分な時間を空けた後で解答を書くことができれば、学習は成功です。

以上のような向き合い方が理想的ですが、現実には時間の制約もあり、その理想通りにはいかないものです。しかし、理想形は忘れず念頭に置いた上での学習を進めたいものです。なお、受験直前期に解法パターンを確認するような場合にも例題は有効ですが、その場合には学習の仕方はまったく異なってきます。そのような場合の例題の活用法については、いずれ述べたいと思います。

公式の暗記について

[編集]

公式を暗記する、とよく言いますが、式の見た目の形を覚えるだけでは意味がありません。どのようなことが成り立つのか、その事実はいつ使えるのか、どうやって証明されるのか、を理解することが重要です。その式が、どのようなときに使えるのかを理解するためには、例題・基本問題などの計算練習が良い手段です。また、たとえ、式の詳細な形はうろ覚えでも、証明を理解していれば、自分で正確な形を導くことが可能です。

「知識を暗記することはすべて悪い」というわけではありません。いろんな問題の計算練習をたくさんしていく中で、しだいに公式を暗記していってほしいということです。いろんな問題で計算練習をたくさんするには、理解が必要です。

公式の証明は、きちんと理解するべきです。高校の教科書レベルの公式なら、証明はそんなに難しくないはずです。

教科書未掲載の証明については、チャート式基礎と演習(白チャート)に載っているので、それを活用しましょう。

ただし、すべての公式・計算パターンは、数が多すぎるので、ふつうは覚えきれません。通常の学習は、すべての公式の暗記ではなく、優先度の高い公式、優先度の高い計算パターンを覚えておいて、そこから、必要に応じて、他の計算式などを導きます。公式の中にも、重要度の高い公式と、やや重要度の低い公式とがあります。普通の教科書・参考書では、基本的な公式ほど、その本で優先的に(章の冒頭や、節の見出しの近くなどに)書いてありますので、それを参考にすると良いでしょう。やみくもに全ての式を平等に覚えようとするのではなく、大切な式は何かを念頭に置いて、数学の学習を進めましょう。どの公式が大切かは、単元によって違うので、一概には言えません。

解説の読み方

[編集]

問題集を解く中で、付属の解説を読むことはよくあります。しかし、解説を読んだら、読むだけで済ませずに、手を動かして計算をしてみて、自分の理解を確認してください。けっして解説を読んだだけで満足して終了しないでください。

自分の手を動かしてみると、案外と理解していないことに気付くこともあるものです。目を通しただけで「理解した」と自称する人が多くいますが、その中で本当に理解している人はかなり少ないのです。試験勉強をしていて「理解した」と思った問題が、その後の試験で解けなかったりするのがその証拠です。このような現象が発生するのは「理解したことを忘れるからだ」と思っている人は勘違い。それは「実は最初の時点で理解していなかったから」なのです。数学では、本当に理解したことを忘れることはありえません(※ 参考文献名は忘れましたが、数学者の秋山仁の著書でも、同様の主張があります)。

逆に、解説を読んでもどうしても分からなかったら、とりあえず解説の言うとおりに計算をしてみてください。計算によって、見落としていたことがはっきりする場合もあります。「才能がない」「センスがない」と嘆く人は、たいていこの作業をしていません。単に努力が足りないのです。高校数学に、大した才能なんて必要ないのです。

天下り的に感じたら

[編集]

初めて学習をする際には、ある程度は天下り的に感じることがあるかもしれません。数学の理論を作られる手順と、数学を教育する際に教える順序とは、少々違うからです。多くの単元で、理論が作られるまでの試行錯誤の部分は省略され、「このような事実が成り立つ。証明はこれこれである」という記述になりがちです。ここに違和感を覚えることもあるかもしれません。

たとえば高校では、二次方程式を解く過程で虚数が必要になる、という説明をしています。しかし、虚数を導入しないと解けない方程式は、解けないということにしてしまえば済むじゃないか、と思うかもしれません。実際、歴史的には虚数は三次方程式の研究の中で必要性が見いだされました。三次方程式の解の公式を作る中で、解は実数だけれど計算過程で虚数が登場してしまうということがあったのです。しかし、そのようなことは現代において複素数を利用するために学習するという立場では、学習に時間が掛かり、多くの高校生には不適切なので、説明されません。

既に存在する知識を学習するというのは、このようなものです。歴史の教科書に「縄文時代には磨製石器が使われた」「源氏物語は紫式部が書いた」とあるのを、自分が石器を掘ったり文献を読んだりしていないからといって納得しないでいては話が進みません。数学も同じで、ある程度までは諦めて他人の言うことを鵜呑みにしたほうがよいのです。もちろん、ある程度まで学習した後に、改めて「あれは、どうしてだったのだろう」と考え直すことは大切なことです。でも、その答えがそう簡単に得られるものばかりとは限りません。気長に時間をかけて勉強する中で、だんだんとわかってくる背景というものもたくさんあります。数学は一生かけて勉強する価値のある学問です。気になることがあるのであれば、一生をかけて、背景も含めて理解していけばよいのです。

よりすすんだ数学の学習について

[編集]

あなたが数学をより理解したいと思っているのであれば、高校数学よりさらに高度な数学を学習するのも悪くはありません。ただし、それは大学受験の受験勉強では、役に立たないことは承知しておいてください。

さて、中学入試や高校入試では、難関校を受験する人などは、進学先の課程の先取り学習をして受験勉強をした人もいると思います。なぜなら、出題先の学校が、進学先の中学レベルや高校レベルの知識を知っていれば簡単に解けるが、知らないならば相当の思考力を要する、という問題を出題することがあるからです。それに対応するための勉強法として、先取り学習をすることで対策ができるため、そのように対策をしたという人もいるかと思います。

しかし、大学入試ではそのような先取り学習をするメリットは、あまり ありません。大学に入ってから学ぶ数学というのは、知識の面では既に知っているようなことを、見方をより精密にしたり、より抽象度を上げることでまとめて扱ったり、といった部分も多いためです。たとえば、なのは高校生でも知っていますが、大学1年生の授業でもほぼ間違いなくもう一度証明します。「受験勉強」に特化するのであれば公式を覚えていさえすればよいのですから、これを先取り学習してもあまり効果がないのです。

数学ばかりを学習しない

[編集]

数学の学習はもちろん大切なことですし、人によっては楽しくて数学ばかりをしたくなる事もあるでしょう。あなたが趣味で高校数学を学習しているのであれば、それで構いません。ですが、あなたが高校生であり、高校を卒業したい、進学や就職をしたいと考えているのであれば、他教科の学習も当然必要です。数学の学習ばかりに時間を割いてはいられないはずです。

数学は、定義などの決まり事の中から導く学問ですから、もし数学しか勉強しないと、その決まり事の中の事しか知識が身に付かないので、知識量が少くなります。

ノートをどうやって使うか

[編集]

数学では、一度理解したことを忘れることはありませんので、授業で聞いたり参考書を読んだりしたときにすべてを理解できるのであれば、その内容をメモするノートは必要ありません。しかし、そのような人はまれですので、多くの人はノートを利用することになります。ただし注意すべきなのは、ノートはあくまで補助であって、ノートづくりが目的ではないということです。複数の色を駆使して鮮やかなノートを作り上げる人がときどきいますが、その作業自体は数学の学習には役立たず、無駄な時間になることがほとんどです。

一方、ノートではない「雑紙」は、他の教科と比べてたくさん必要になるのが数学の学習です。紙の枚数のことを気にせずに好きなだけ計算や試行錯誤に使えるような「紙」はたくさん用意しておくべきです。不要になったプリントの裏紙など、なるべく遠慮なく使い捨てられる紙を、たくさんストックしておくとよいでしょう。そのような紙を用いて、問題に対してどんどん試行錯誤を繰り返して挑戦する作業のほうが、はるかに数学の学習として役に立ちます。

そうして試行錯誤した結果をきれいにまとめたものを、ノートに記すとよいでしょう。むろん「きれいに」という意味は、日本語の助詞の「てにをは」をしっかり補って、読みやすい文章で答案を作成するということであり、色鮮やかにすることではありません。そうして完成したノートを教員に確認してもらうことで、採点者に通用する答案を作成する練習をすることができます。

問題集の解答解説をノートにきれいに書き写し、その中で論理展開がわからないところを教員に質問する人がいます。その作業は、意味があることもありますが、無意味なこともあります。その問題を解くための基礎知識が不足している場合は、解答を読んでもわからないのは当然だからです。そのような状況で教員に質問し、やっぱり意味がわからなかった、あの教員は説明が下手だ、と嘆く前に、自分の基礎知識を疑うべきでしょう。

科目別の学習方針

[編集]

まず前提として、高校を卒業するためには、入学時に示されたカリキュラムの科目をすべて履修・修得することが必須です。ただ受験に必要がないというだけの科目を「必要がない」と言ってはいけません。あなたが大学受験をするとしても、その前段階として高校を卒業しようとしているはずです。

その上で、大まかな流れを述べると、数学Ⅰ·Ⅱ·Ⅲの3科目は、この順序で積み上げていくことが必要な科目です。数学Ⅲが難しいので理解できない、という人の何割かは、数学Ⅱを理解していないせいです。数学という教科の特性として、土台が揺らいでいるにもかかわらずその上の内容を理解することは絶対に不可能です。特に、二次関数・三角関数・微分積分に関する計算力・処理力を、低学年のうちの反復練習を通じてしっかり身につけておかなければなりません。

数学A・Bの2科目は、その流れからは外れて個別に学習することができる内容が多いです。ただ、数学Bを理解するには数学Aを理解しているに越したことはないですし、数学Bを理解していないと数学Ⅲを理解することはできません。とはいえ、数学Ⅰ·Ⅱの理解を確実に深めておかなければならないことに比べると、優先順位は下がるでしょう。

大学受験を考える場合、大学入学共通テストでは数学Ⅰ・数学ⅠA・数学Ⅱ・数学ⅡBの試験があります。多くの大学は数学Ⅰや数学Ⅱでは受験不可なので、大学入学共通テストを利用して大学進学を目指す場合、ⅠAもしくはⅠAⅡBの学習が必要になるでしょう。数学Ⅲは大学入学共通テストでは課されません。

数学ABを受験で使用する場合は単元の選択にも注意が必要です。学習指導要領ではそれぞれ3つの単元から「適宜選択」することになっており、学校ではすべての単元を授業しない場合もあります。しかし、大学入学共通テストで数学ⅠAや数学ⅡBを受験する場合はそれぞれ最低2単元は学習する必要があります。さらに国公立大学の二次試験などでは、数学Aは3単元すべて、数学Bは「数列」と「ベクトル」の2単元を出題範囲とするのが一般的です。これらの授業を受けていなければ、独学が必要になる場合があります。

参考文献

[編集]

主な書籍文献

[編集]
  • 船登惟希 『改訂版 高校一冊目の参考書』、KADOKAWA、2019年3月18日

参考文献の脚注

[編集]
  1. ^ 塩浜進学教室 著『高校時代の思い出25 進学校は始業式から授業あり』、2023年12月10日ごろ 2023年12月11日に閲覧.
  2. ^ 『「青チャート」は挫折しやすい!?使ってはいけない参考書!』 2021.07.05
  3. ^ (動画) 塩浜進学教室『教育を斬る61 偏差値低い高校が青チャートを使うな』 7:20 あたり、 2024/02/15
  4. ^ 『シラバス・教科書 - 埼玉県立大宮高等学校』
  5. ^ 数学専門塾インテグラル 著『大学受験「参考書ルート」とは、独学で陥りやすい3つの罠』2021.08.26
  6. ^ 『「青チャート」は挫折しやすい!?使ってはいけない参考書!』 2021.07.05
  7. ^ 数学専門塾インテグラル 著『大学受験「参考書ルート」とは、独学で陥りやすい3つの罠』2021.08.26
  8. ^ 『「青チャート」は挫折しやすい!?使ってはいけない参考書!』 2021.07.05
  9. ^ (動画) 塩浜進学教室『教育を斬る61 偏差値低い高校が青チャートを使うな』 7:20 あたり、 2024/02/15
  10. ^ 『「青チャート」は挫折しやすい!?使ってはいけない参考書!』 2021.07.05
  11. ^ 『高校数学の基礎力固めの参考書は黄色チャートだけで大丈夫』公開日 : 2023年3月14日
  12. ^ 濱川学院 〜HammerAcademy〜 『二次試験対策【数学Ⅲ】 』2024年1月18日 10:24
  13. ^ (動画)篠原好 『【完成版】『チャート式』の使い方。誰でも偏差値70を超える方法。』、2024/03/05、 12:00 あたり
  14. ^ 『数学Ⅲの勉強の仕方』
  15. ^ 濱川学院 〜HammerAcademy〜 『二次試験対策【数学Ⅲ】 』2024年1月18日 10:24
  16. ^ 『「数Ⅲは難しい」と感じている人が知っておきたい勉強法 』2022/1/15
  17. ^ 『嘘の先取りに騙されるな!』, 2024/07/10 , 9:50 あたり
  18. ^ 船登惟希 『改訂版 高校一冊目の参考書』、KADOKAWA、2019年3月18日、92ページ
  19. ^ 船登惟希 『改訂版 高校一冊目の参考書』、KADOKAWA、2019年3月18日、92ページ