小学校算数/4学年

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円と球[編集]

円(えん)

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この円の場合は 赤線の辺 R が半径です。
赤い矢印(←→)のところの長さが、直径です。

丸い形は、「円」(えん)といいます。円は、コンパスで書くことができます。コンパスでの円の書き方も学習しましょう。まず、コンパスを開きます。はりを紙にさして、ひとまわりさせると、円が書けます。

円のまん中の点を円の中心(ちゅうしん)といいます。中心から円のまわりまでの長さの線を、 半径 (はんけい)といいます。円のまわりから中心を通ってまわりまでの長さの線を、直径(ちょっけい)といいます。直径は、円の中にある直線の中で、一番長い直線です。直径は半径の2倍です。

球(きゅう)

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だんごのような丸い形を ま上 や ま横(よこ) から見ましょう。だんごは、どこから見ても円に見えます。だんごのような形を、 (きゅう)といいます。球を切った切り口は、円に見えます。

円周の長さと円周率[編集]

円のまわりの長さを 円周(えんしゅう) といいます。 例えば、

  • 直径7cmの円の円周は何cmですか?

という問題があります。

円周は曲がっているので、じょうぎでははかれません。でも、円はすべて同じかたちなので、「円周÷直径」はどの円でも同じです。これを 円周率(えんしゅうりつ) といい、円周率は およそ3.14 であることが わかっています。

円周率は、くわしくは 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 … というふうに、いつまでも、つづいていきます。

小学校では、円周率は 3.14 として計算することが多いです。

つまり、小学校では

円周率 = 3.14

です。

円周率は、分数で表すことはできない数で、小数で書くといつまでも終わらないことが、わかっています。

円周÷直径=3.14

でしたから、

円周=直径×3.14

ですね。この公式を使ってはじめの問題を解くと、7×3.14=21.98(cm)というようになります。

では、直径197cmの円の円周は何cmでしょうか。

さきほどと同じように計算すると、197×3.14=618.58(cm)ですね。でも、およその長さを知りたいだけならば、197cmはおよそ200cmですし、3.14はおよそ3ですので、200×3=600という計算で、およそ600cmであることはかんたんにわかります。


円周のように、まがっている線を 曲線(きょくせん) といいます。


ちなみに円の面積は

半径×半径×3.14

になります。 くわしい説明は、上の学年で、ならいます。


大きな数[編集]

億(おく)[編集]

次の数字を読んでみましょう。

128734906

まず、「1」は、何の位かを考えましょう。ヒントは、千万の10倍です。どんな数でも、10倍すると、位が1つ上がり、右はしに0を1こつけた数になりますね。千万を10倍した数を、 一億 (いちおく)といいます。答えは、一億 二千八百七十三万 四千九百六です。

100000000が 1億 です。 1 のうしろに 0 が 8個 あります。

一億の次は、十億、百億、千億です。


兆(ちょう)[編集]

千億の十倍は、何かを考えましょう。さっきの「億」と同じように考えてみましょう。数を10倍すると、位がひとつ上がります。答えは、 一兆(いっちょう)です。億の位の次は、兆の位になるのです。

1000000000000 が 1兆 です。 1 のうしろに 0 が 12個 あります。

一兆の次は、十兆、百兆、千兆です。


整数を作ろう[編集]

0、1、2、3、4、5、6、7、8、9の10この数を使って、一番大きい整数を作りましょう。一番大きい整数を作るには、大きい数からじゅんにならべましょう。答えは、9876543210です。

0、1、2、3、4、5、6、7、8の9つの数を使って、一番小さい整数を作りましょう。しかし、「012345678」ではありません。0は、一番左はしにつけることはできません。そのため、0は、左から2番目につけて、答えは、102345678となります。

兆から先のくらい[編集]

1兆に1000をかけた数は 1000兆(せんちょう) です。 1兆に10000をかけた数は 1京(いっけい) と いいます。

10000000000000000 が 1京 です。1京は 1 のうしろに 0 が 16個 あります。

小学校の算数では、ふつうは 1京までの数字しか、つかいません。


さらに、さきは、つぎのように、なっています。

1の後ろに0が20個で 1垓(1がい) です。
1の後ろに0が24個で 1𥝱(1じょ) です。
1の後ろに0が28個で 1穣(1じょう) です。
1の後ろに0が32個で 1溝(1こう) です。
1の後ろに0が36個で 1澗(1かん) です。
1の後ろに0が40個で 1正(1せい) です。
1の後ろに0が44個で 1載(1さい) です。
1の後ろに0が48個で 1極(1ごく) です。
1の後ろに0が52個は 1恒河沙(1ごうがしゃ) です。
1の後ろに0が56個で 1阿僧祇(1あそうぎ) です。
1の後ろに0が60個で 1那由他(1なゆた) です。
1の後ろに0が64個で 1不可思議(1ふかしぎ) です。
1の後ろに0が68個で 無量大数(むりょうたいすう) です。

です。

小学校の算数の計算では、ふつうは、垓(がい)や𥝱(じょ)や無量大数(むりょうたいすう)などの大きな位(くらい)は、つかいません。


小学校の算数では、億(おく)や兆(ちょう)の使い方を、おぼえてください。


小数[編集]

みなさんは、「1.5」や「0.3」のような数を見たことをありますか?このように、「.」がつく数について学習しましょう。

0.1 や 0.5 や 4.8 のような数を 小数 (しょうすう)といいます。真ん中の「.」を、 小数点(しょうすうてん) といいます。小数点の右の数字を「小数第1位」(しょうすう だい いちい)や「の位」(じゅうぶんのいちのくらい)と、いいます。

0 や 1 や 10 などのような数を、つまり 小数では ない 数を、 整数 (せいすう)と いいます。

たとえば 3563 は整数です。たとえば 100.01 は整数では、ありません。

小数と数直線[編集]

3.7 は、1を 何こ と 0.1 を 何こ 合わせた 数 ですか。

答えは、3 と 0.7 を合わせた数です。

次に、3.7 は、0.1 を何こ集めた数ですか。

まず、3.7 について 考えましょう。

1は、0.1 が 10こ となります。つまり、3は 0.1 が 30こ です。0.7は 0.1 が 7こ です。 30と7を たしましょう。 3.7は、0.1を 37こ 集めた数です。

0.1を36こ集めた数はいくつでしょう。まず、36を3と6に分けて考えてみましょう。0.1を10こ集めた数は1です。0.1を30こ集めた数は3。0.1を6こ集めた数は0.6です。0.1を36こ集めた数は3.6です。

小数のたし算とひき算[編集]

次のたし算の問題を解いてみましょう。

  • 緑茶が0.4リットル、ウーロン茶が0.5リットル入っています。合わせて何リットルありますか。
  • 計算のしかたを考えてみましょう。0.1が (4+5)こ あります。 4+5=9 ですね。0.1が9こ集まると、0.9となります。なので、式は、 0.4+0.5=0.9 となります。答えは0.9リットルです。


  • りんごジュースが0.9リットルあります。みかんジュースが0.3リットルあります。ちがいは何リットルですか。
  • 0.1が (9-3) こあります。9-3=6なので、0.1が 6こ あるということです。式は、 0.9-0.3=0.6 です。答えは、0.6リットルです。


分数[編集]

1個のケーキから、四分の一をのぞいたら、四分の三が、のこる。
Fraction3 4.svg

分数 (ぶんすう)とは、 数の割合のことです。

例えば、「1リットルのジュースを2人で分けました。1人分は何リットルとなりますか?」という問題があります。

小数の場合は、 1÷2=0.5リットル という計算をします(5年生でくわしく習います)。しかし、分数の場合は、 1÷2=リットル となり、2分の1リットルと読みます。

この場合、 の上についている1のことを、分子(ぶんし)といい、下についている2のことを分母(ぶんぼ)と読みます。

分数の例[編集]

4分の2は、2分の1と同じです。.

4分の2は、2分の1と、同じですね。

このように、2個の分数が、たとえ分母の数が、ちがう数でも、分数ぜんたいで、おなじ数を表す場合も、あります。

3分の7とは、これです。 Fraction7 3.svg

3分の2は、6分の4と、同じ大きさです。 Fraction2 3.svg

さらに、6分の4は、9分の6と、同じ大きさです。 Fraction6 9.svg

  • 分数の計算の考え方

を計算しましょう。

分数の足し算は、つぎのように、考えて、計算します。

つぎの図を、見てください。

分母が同じ場合の、分数の、足し算 :

Fraction sum1.svg
Fraction sum2.svg

よって、

です。

  • 分数の引き算の例 :

を計算すると、どうでしょうか。

Fraction diff.svg

よって、

です。

2年生か3年生で、不等号(ふとうごう)を、習っていますね。。

分数にも、不等号で、数の「大きい」「小さい」を、くらべることが、できます。

  • 分子が同じなら、分母が大きいほうの分数が、小さい数になります。
Fraction comp1.svg

つまり

です。

  • 分母が同じなら、分子の大きいほうの分数が、大きな数になります。
Fraction comp2.svg

つまり

です。

分数の種類[編集]

分数の種類には、大きく分けて3通りあります。


  • 真分数(しんぶんすう)
分母よりも分子の数が小さい分数です。
たとえば  とか  とか  のようなものです。


  • 仮分数(かぶんすう)
分母と分子の数字が同じであるか、分子の数が分母より大きい分数のことです。
たとえば   とか  とか  のようなものがあります。


  • 帯分数(たいぶんすう)
真分数の左に整数がついたものです。
例えば  とか  とか  のようなものがあります。

概数(がいすう)[編集]

以下の場合を考えてみましょう。

  • 東京23区の人口は 8945695人 です。(平成22年10月1日の 国勢調査 (こくせい ちょうさ) による)

この数は人口を詳しく知りたい時は便利ですが、人口増加(ぞう加)の割合などを調べる時は不便な数となってしまいます。

そこで、数を分かりやすくするために 概数 (がいすう)というものを考えてみましょう。

上の例を使って東京23区の人口を分かりやすい数で表してみましょう。

切り上げ(きりあげ)と 切り捨て(きりすて)[編集]

ある位を見た時に、 その数字の1つ上の位に1を足して、それ以下の数字を全て0にする ことを 切り上げ (きりあげ)といいます。

また、逆に その数字の位以下の数字を全て0にする ことを 切り捨て (きりすて)といいます。

では東京23区の人口を一万の位で切り上げたり切り捨ててみましょう。一万の位で切り上げる場合は1つ上の位である十万の位に1を足して、一万の位以下の全ての位を0にします。例えばこの場合は 9000000人 となります。

同じように一万の位で切り捨ててみると、一万の位以下の全ての位を0にすればいいので、 8900000人 となります。


四捨五入[編集]

ある位を見た時に、 その数字が0~4の場合は切り捨てて、5~9の場合は切り上げる ことを 四捨五入 (ししゃ ごにゅう)といいます。また、概数(がいすう)と言われるものは ほとんどの場合は 四捨五入のことを指します。

では、東京23区の人口を、千の位と一万の位で四捨五入してみましょう。

千の位の数字は「5」です。つまり、この場合は切り上げればよいのです。すると、 8950000人 となります。

また、一万の位の数字は「4」です。つまり、この場合は切り捨てればよいのです。すると、 8900000人 となります。

四捨五入の位[編集]

問題では「一万の位四捨五入」や「千の位まで四捨五入」、「上から1けたまでの概数」という書かれ方をよくします。この時、四捨五入をする位が少し違ってきます。

例えば、「一万の位四捨五入」の「で」の場合、その位(ここでは一万の位)で四捨五入をします。

一方で、「千の位まで四捨五入」の「まで」の場合、その1つ下の位(ここでは百の位)で四捨五入をします。

さらに、「上から1けたまでの概数」という場合は指定された1つ下の位(ここでは上から2けた目の位)で四捨五入をします。

  • まとめ

「で」とついている場合は指定された位で四捨五入します。また「まで」となっている場合は指定された位の1つ下の位で四捨五入します。

概算(がいさん)[編集]

四捨五入や概数(がいすう)をつかって、おおよその計算をすることを 概算(がいさん) といいます。

たとえば

4187603 + 2705626 =

を、十万未満の位は、四捨五入で計算した場合、

4200000 + 2700000 = 6900000

に、なります。

これは概算(がいさん)を、したことになります。


概算(がいさん)は、べつに足し算だけでは、ありません。引き算でも掛け算でもわり算でも、四捨五入や切り上げ・切り捨てなどをして概数(がいすう)を使って計算してれば概算です。

以上と以下と未満[編集]

  • 以上(いじょう)

ある数をふくめて、その数とおなじか、その数よりも大きいことを 以上(いじょう) といいます。

たとえば、「5以上」といったら、5を、5以上に、ふくみます。

たとえば 5.1 は5以上の数です。 6 は5以上の数です。 12 も5以上の数です。4は、5以上の数ではありません。 4.5は5以上の数ではありません。

7以上の数といったら、7をふくみます。 7.32 は、7以上の数です。8は7以上の数です。6.77は、7以上の数ではありません。

34以上といったら、34をふくみます。33は34以上ではありません。34.1は34以上です。35は34以上です。

  • 以下(いか)

ある数をふくめて、その数とおなじか、その数よりも小さいことを 以下(いか) といいます。

たとえば、「5以下」といったら、5を、5以下に、ふくみます。


たとえば 4.9 は5以下の数です。 3.5は5以下の数です。 15は、5以下の数ではありません。

8は,13以下の数です。9は、13以下の数です。 24は13以下の数では、ありません。


ある数が「13以上で18以下である。」ということを「13以上18以下」というふうに言うことがあります。

14や13.56や17や18は、すべて13以上18以下の数です。

12や18.4は、13以上18以下では、ありません。


「20以上 30以下」と言ったら、たとえば20や21や20.3や26や29や29.7や30は、すべて「20以上30以下」の数です。

「8以上 8以下」の数といったら、8のことです。「以上」や「以下」には、その数じしんも含めるので、こういう表現もできるのです。


「5以上 4以下」の数といわれても、そんな数は、ありません。


  • 未満(みまん)

ある数よりも小さい場合、その数の 未満(みまん) である、というふうに言います。

たとえば、「18未満」といったら、18は、ふくみません。 「18未満」は18よりも小さい数で、たとえば17 は、18未満です。 17.8は、18未満です。 19は、18未満では、ありません。 18.1は18未満では、ありません。

「3未満」といったら、3はふくまないで、3よりも小さい数です。 2は、3未満です。 2.3は3未満です。 3.2は3未満では、ありません。

「14以上 20未満」といわれたら、14以上で、20未満の数のことです。たとえば14、15、19とか14.3とか、19.98とかは、「14以上 20未満」にふくまれます。


もし、「7以上で、しかも、7未満の数を、のべよ。」と言われても、そんな数はありません。

量と測定[編集]

面積[編集]

Rectangle 4x5.svg

面積(めんせき)は、物の広さを表すものです。例えば、

  • たて4cmで、よこ5cmの長方形の面積はいくらでしょうか?

という問題があります。いままでの単位では、どうやって表せばいいかわかりません。

そこで、面積の単位をcm2としてあげましょう。cm2は、「平方センチメートル」と読みます。cmの上についている「2」は、「cmを2回かけました」という合図です。

そうすればさっきの問題の面積を求めることができます。

面積は 長方形の場合と正方形の場合では、 たて×よこ で、表すことができます。

実際に問題を解いてみると、4×5=20(cm2)となります。



四角形の分類[編集]

垂直と平行[編集]

垂直[編集]

2本の線が、互いに90°で交わる時、その2本の直線の関係を垂直(すいちょく)といいます。

平行
平行[編集]

2本の直線がどこまで行っても交わらない時、その2本の直線の関係を平行(へいこう)といいます。

左の図で線aと線bは平行になっています。

台形

台形[編集]

向かい合った1組の辺が平行な四角形を、台形(だいけい)といいます。

左の図で、上の辺と下の辺は平行になっています。

平行四辺形

平行四辺形[編集]

向かい合った2組の辺が平行な四角形を、平行四辺形(へいこう しへんけい)といいます。

平行四辺形の、向かい合った辺の長さは等しくなっています。

また、向かい合った角の大きさも等しくなっています。となり合った角の角度をたすと、180°になります。

ひし形
ひし形

ひし形[編集]

4つの辺の長さがみな等しい四角形を、ひし形(ひしがた)といいます。

ひし形の、向かい合った辺は平行で、向かい合った角の大きさは等しくなっています(右の図を見てください)。

対角線

四角形の対角線[編集]

向かい合った頂点をつないだ直線を、対角線(たいかくせん)といいます。左の図では、ABが対角線になっています。

四角形の対角線の数は2本です。

立体[編集]

色々な立体(りったい)について学びましょう。

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柱(ちゅう)とは、同じ平面図形がいくつも重なってできる立体のことです。

  • 四角柱
    同じ形の四角形をたくさん重ねたような形を四角柱(しかくちゅう)と言います。この四角柱のうち、特別なものとして 立方体(りっぽうたい) と 直方体(ちょくほうたい) があります。


立方体
    • 立方体
      さいころのような、すべての面が同じ大きさの正方形である四角柱を 立方体 (りっぽうたい)と言います。
  • 展開図

立体を辺にそって、つながったまま、切り開いたものを 展開図(てんかいず) といいます。 立方体の展開図は、次の11とおりです。

Planificacao cubo.gif



直方体
    • 直方体
      ふでばこのような同じ大きさの長方形が重なってできた立体を 直方体 (ちょくほうたい)と言います。


立方体や直方体は、正方形や長方形で、かこまれています。

立方体や直方体をかこんでいる、図形のことを (めん) と言います。

たとえば立方体の面は6個あって、6個とも、面は、すべて、正方形です。

直方体には、頂点が 8個 あります。(数えてみてください。)

直方体には、辺が 12本 あります。(数えてみてください。)


直方体の展開図のうちの一つ

直方体の展開図は11種類あります。


  • 三角柱
    同じ大きさの三角形が重なってできた立体を 三角柱 (さんかくちゅう)と言います。特にその三角形が正三角形であれば、 正三角柱 (せいさんかくちゅう)と言います。

三角柱には面が、5個、あります。三角柱の面のうち、2個は三角形です。三角柱の面のうち、3個は四角形です。

三角柱には、頂点が 6個 あります。(数えてみてください。)

三角柱には、辺が 9本 あります。(数えてみてください。)


  • 円柱
円柱(えんちゅう)
  • トイレットペーパーの しん の ような 同じ大きさの円 が 積み重なってできた立体を 円柱 (えんちゅう)と言います。

円柱には面が、3個、あります。(数えてみてください。)

円柱の面のうち、2個は円です。(数えてみてください。)


円柱の展開図

錐(すい)[編集]

錐(すい)とは、先がとがっている立体のことです。

  • 三角すい(さんかくすい)
三角すい
  • 底面が三角形で、先が とがっている 立体のことを 三角すい (さんかくすい)と言います。

三角すいには、面が 4個 あります。 三角すいの頂点は 4個 あります。 三角すいには、辺は 6本 あります。

正四面体

三角すいの、すべての辺の長さが等しいものを 正四面体(せいしめんたい) といいます。

正四面体の展開図のうち、展開の仕方のひとつは、つぎのように、なります。 Tetrahedron flat.svg

もうひとつ、正四面体のべつの展開のしかたがあるのですが、画像が見つからないので、必要なら外部のサイトなどで探してください。

  • 四角すい(しかくすい)
四角錐(しかくすい)の例。
  • 底面が四角形で、先が とがっている 立体のことを 四角すい (しかくすい)と言います。

四角すいには、面が 4個 あります。 四角すいの頂点は 5個 あります。 四角すいには、辺は 8本 あります。

  • 円錐(えんすい)
いろんな、円錐(えんすい)
  • カラーコーンのような底面が円で先がとがっている立体のことを 円すい(えんすい) と言います。

円すいには、面が 2個 あります。

円すいの面のうち、1個は円です。

円すいの展開図

円すいの展開図で、扇形の部分の開いている角度を 中心角(ちゅうしんかく) と言います。

用語[編集]

和(わ)[編集]

足し算をすることや、足し算の答えのことを (わ) と言います。

たとえば 12+5=17 では、17が和(わ)です。この式の場合、たとえば「12と5の和は、17である。」というふうに、言います。


他の式でも例をあげましょう。

25.4 + 40 = 65.4

この式では、65.4 が 25.4 と 40 との和です。


分数での例をあげましょう。

の和は です。


足し算を2回やってる式では、どうでしょうか。たとえば

2+3+7 = 12

では、どうでしょう?
この 2+3+7=12 の式の場合、和といったら、ふつうは 12 のことです。

では、

(2+3)+7 = 12

では、どうでしょう?
この (2+3)+7 = 12 の式の場合も、和といったら、ふつうは 12 のことです。

この (2+3)+7 = 12 の式では、まず 2 と 3 の和の 5 をもとめてから、その 5 と 7 の和の 12 を、もとめています。


差(さ)[編集]

引き算の答えのことを (さ) と言います。 たとえば、 12 から 5 を引いた差は 7 です。

たとえば、 38 と 6 の差は 32 です。

  • 小数の場合

たとえば 35.9 から 11.1 を引いた差は 24.8 です。

  • 分数の場合

たとえば から を引いた差は です。


  • 「差を、もとめなさい」と、いわれたら

問題文(もんだいぶん)で「差を、もとめなさい」と言われたら、ふつうは、2個の数の引き算をもとめる計算です。

たとえば「19と54の差を、もとめなさい。」と言われたら 54ー19=35 なので 35 が差です。なので答えは 35 です。


積(せき)[編集]

かけ算の答えのことを (せき) と言います。

たとえば 6と5の積は 30 です。たとえば 11 と 12 との積は 132 です。


  • 小数の場合

小数でも例をあげましょう。

1.3 と 2 の積は 2.6 です。
2.4 と 1.1 の積は 2.64 です。


  • 分数の場合

分数でも例をあげましょう。

と 6 との積は です。あるいは帯分数で書けば です。
の積は です。


  • 数が3個や4個の場合など

問題文で 「 2と3と5の積を求めよ。」 と言われたら、問題が きいているのは、ふつうは 2×3×5 のことです。

2×3×5=30 なので、2と3と5の積は30です。

「1と2と3と4の積を、もとめよ」と言われたら、問題が きいているのは、ふつうは 1×2×3×4 のことです。

1×2×3×4=24 なので、1と2と3と4の積は24です。


商(しょう)[編集]

わり算で、割り算の答えからあまりをはぶいた部分を 商(しょう) といいます。

たとえば、式

60÷20 = 3

では 3 が商です。

わりきれる式の場合は、わり算の答えが、そのまま商です。


整数(せいすう)では、わり切れない場合での、わり算の式では、どうでしょうか。

60÷8 = 7 ・・・ 4

この場合、7が商です。 4 は商では、ありません。

  • 小数の場合

60÷8 は、小数(しょうすう)まで もとめれば、わりきれます。

60÷8 = 7.5

この場合は 7.5 が商です。


  • 分数の場合

分数では、どうでしょうか。

この式の、どの数字も、商とは、言いません。5分の2の、5も2も、商では、ありません。

他の分数の式でも、考えてみましょう。

この式の、どの数字も、商とは、いいません。3は商ではありませんし、4も7も、商ではありません。

この章では、2年生の図形の学習の基礎を学びます。

対頂角 と 同位角 と さっ角[編集]

Vertical angles.GIF

直線が2つ交わると、その交点の周りに4つの角ができます。

このとき、右図の∠a と∠c のような向かい合わせの位置にある2つの角を対頂角(たいちょうかく)といいます。∠b と∠d も対頂角です。

たとえば∠b が45°のとき、∠a と∠c の大きさを比べてみると、

a = 180°-45° = 135°
c = 180°-45° = 135°

つまり、∠a = ∠c となります。 これは、∠b が何度であっても成り立ちます。なぜなら、∠a も∠c も、(180-∠b )°になるからです。ですから、次のことが言えます。

対頂角の性質
対頂角は等しい。
Corresponding angles.GIF

2直線を横切るようにもうひとつの直線が交わるとき、8つの角ができます(右図)。

このとき、∠a と∠e のように同じ位置にある2つの角を同位角(どういかく)といいます。∠a と∠e はどちらも、左上の位置にあるため、同位角といえます。∠b と∠f 、∠c と∠g 、∠d と∠h もそれぞれ同位角です。

また、∠b と∠h のように、2直線の内側にあり、斜め向かいの2つの角を錯角(さっかく)といいます。∠c と∠e も錯角です。

2直線が平行であるとき、同位角や錯角は等しくなります。また、同位角や錯角が等しいとき、2直線は平行になります。なぜそうなるのかを説明すると難しくなるので、ここでは省きます。


平行な場合の同位角は等しい。
平行な場合の錯角は等しい。
平行線と同位角・錯角
1, 2直線が平行であるとき、その同位角は等しい。また、錯角も等しい。
2, 同位角や錯角が等しいとき、その2直線は平行である。

三角形の内角と外角[編集]

三角形の3つの内角(図形の内側の角)の和はいくつになるでしょうか。ここでは、平行線と角の性質を用いて調べていきます。

内角の和.png

右図のΔABCに、辺BCの延長CDを引きます。

また、辺ABに平行で、Cを通る直線CEを引きます。

分かりやすいように、全ての角に右図のように名前をつけてみましょう。 このとき、平行線の同位角は等しいですから、

b = ∠e … (1)

また、平行線の錯角は等しいですから、

a = ∠d … (2)
c + ∠d + ∠e = 180°ですから、(1),(2)より、
a + ∠b + ∠c = 180°
三角形の3つの内角の和
三角形の3つの内角の和は180゚である。


外角の定義.png

実は上の証明は、外角に関する性質も導き出しています。
外角とは、内角と隣り合った角のことで、右図の1のような角を指します。2のような角は指しません。
それで、どのような性質かというと、

d + ∠e = ∠a + ∠bなので、

頂点Cの外角は、∠a + ∠b

折れ線グラフ[編集]

1年間の気温の、折れ線グラフの例。月平均で最低気温と最高気温が示されている。
Jは1月のこと、Fは2月のこと、Mは3月、・・・、Dは12月。
Month とは、1月や2月などの「月」(つき)のこと。
Temparature とは「温度」のこと。

右のグラフのように、数を折れ線でつないだものを 折れ線グラフ(おれせんグラフ) という。

ある国での、ある年の月平均気温。  (℃)
最高気温 最低気温
1月(J) ー8 ー14
2月(F) ー5 ー12
3月(M) 0 ー6
4月(A) 6 ー1
5月(M) 10 3
6月(J) 14 7
7月(J) 17 10
8月(A) 17 10
9月(S) 13 5
10月(O) 7 ー1
11月(N) 1 ー7
12月(D) ー5 ー11


上の表で、0℃よりも、ひくい、氷点下の温度は、マイナス「ー」で、あらわした。

折れ線グラフにすると、かわっていくようすが、わかりやすい。


折れ線が右上がりの場合は、増えていく(ふえていく)場合である。折れ線が右下がりの場合は、減っていく(へっていく)場合である。

折れ線が平らな場合は、増えも減りもせず、かわらない場合である。

植木算[編集]

たとえば、まっすぐな道に、2メートルごとに、旗(はた)を、たてたとします。

このとき、20メートルのまっすぐな道では、旗は、なんほん、たつでしょうか。

これを

20÷2=10  (まちがい!!)

で、こたえは「10本」と、考えたら、マチガイです。

こたえは 11本 です。

まず、ためしに図を書いて、考えて(かんがえて)みましょう。|を木として、―を1mとします。

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 m
|― ―|― ―|― ―|― ―|― ―|― ―|― ―|― ―|― ―|― ―|
1     2     3     4    5    6     7     8     9     10    11 本


まず、2メートルのまっすぐな道に、2メートルごとに旗をたてる場合は、両端(りょうはし)に旗をたてられるので、2本の旗が立ちます。

0  1  2 m
|― ―|
1     2 本

4メートルのまっすぐな道では、3本の旗がたてられます。


0  1  2  3  4 m
|― ―|― ―|
1     2     3 本


6メートルのまっすぐな道では、4本の旗がたてられます。

0  1  2  3  4  5  6 m
|― ―|― ―|― ―|
1     2     3     4 本


2メートルふえるごとに、1本ずつ、旗が、ふやせます。


こう考えると、道の長さを、旗の間隔(かんかく)で割った数に、1を足すと、いいわけです。

ためしに、2メートルの道の場合は、

(2÷2)+1=1+1=2

で 2本になり、答えにあってます。


4メートルの道の場合は、

(4÷2)+1=2+1=3

で 3本になり、答えとあってます。


6メートルの道の場合は、

(6÷2)+1=3+1=4

で 4本になり、答えとあってます。


このような、一定の間隔ごとに、なにかを立てたり、置いたり(おいたり)するときの、その立てられる数などをもとめる計算を 植木算(うえきざん) といいます。


べつの計算例も考えてみましょう。

学校の運動場で、50メートルのまっすぐなコースに、5メートルごとに、三角コーンを置きます。

三角コーンは、いくつ、必要(ひつよう)でしょうか。



式と答え

式は、

(50÷5)+1=10+1=11

になります。

答えは、11個の三角コーンが必要、です。


今までの植木算は、道がまっすぐな場合でした。


こんどは、道が、まっすぐではなく、道が一周する場合を、考えます。


  • 道が一周する場合

たとえば、校庭に四角い線が引いてあって、四角のまわりの長さが10mだとして、その線の上に、石をおくことにした。

10mごとに石を置く場合、石はいくつ、必要か。

こたえは1個です。1個しか、石を置けません。

図を書いてみましょう。|と―を1mとします。

    1  2  3  4 
    ーー石ーー
10 |     | 5
    ーー  ーー
    9  8  7  6

もし、石を2個、置いたら、まわりの長さが 2×10m = 20m で、まわりが20メートルの長さがあることになってしまい、おかしな計算結果になります。

このように、 道が一周する場合は、「+1」がなくなります。


  • 問題

池があって、池のまわりの長さが300mだとして、この池の水ぞいに、木を植えることにした。

5mごとに木を植える場合、木は何本、必要か。





こたえ

300÷5=60

で、答えは60本です。

算数ドリル[編集]

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