小学校算数/5学年

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5年生の算数では、整数、分数の計算、合同な図形、多角形などについて学習します。

整数[編集]

偶数と奇数[編集]

4年生までに、整数のことについて学びました。では、整数についてもっと深く学んでいきましょう。

2でわり切れる整数を「偶数(ぐうすう)」といい、2でわり切れない整数を「奇数(きすう)」といいます。 たとえば、2,8,32,174などは偶数で、5,9,17,239などは奇数です(0は2でわり切れると考えられるので、偶数です)。

なお、一の位の数が

0,2,4,6,8

ならばその数は偶数で、

1,3,5,7,9

ならばその数は奇数です。

  • 問題

54,78,85,231は偶数ですか、奇数ですか。

    • 答え

一の位の数に注目しましょう。 それぞれ、

4,8,5,1なので、

結果は、

54…偶数
78…偶数
85…奇数
231…奇数

となります。

倍数と約数[編集]

ある整数に整数をかけてできる数を、ある整数の倍数(ばいすう)といいます。

たとえば、3の倍数は

などがあります(0については考えません)。ある整数の倍数は、無数にあります。

ある整数をわり切ることができる整数を、ある整数の 約数(やくすう) といいます。 たとえば、12の約数には 1,2,3,4,6,12 があります。約数の()数には、(かぎ)りがあります。

約数の調べ方

12の約数を調べる方法を考えてみましょう。

  1. まずは、積が12となる2つの整数を探す方法で調べてみましょう。
このようなものを調べると(1との積が12になる整数、2との積が12になる整数、…と調べることができます)、
1と12、
2と6,
3と4

があります。

これから、12の約数は 1,2,3,4,6,12 であることがわかります。
(実際には、4以上との整数との積を調べる必要はありません。一度出ています。このように、一度出た整数が(ふたた)(あらわ)れたら終了(しゅうりょう)となります。

公倍数と公約数[編集]

2つの整数に共通している倍数を 公倍数(こうばいすう)といいます。特に、最も小さい公倍数を 最小公倍数 といいます。

たとえば、12と16の倍数を書き出すと、
12の倍数:12,24,36,48,60,72,84,96,120,132,144,156…
16の倍数:16,32,48,64,80,96,120,144,160…
となるので、12と16の公倍数は 48,96,144…となります。12と16の最小公倍数は 48 となります。
また、3つの数 4と6と9 の最小公倍数について考えてみましょう。
4の倍数:4,8,12,16,20,24,28,32,36,40…
6の倍数:6,12,18,24,30,36,42…
9の倍数:9,18,27,36,45,54…
となるので、4と6と9の最小公倍数は36となります。
なお、4と6の最小公倍数は12なので、12の倍数と9の倍数で考えることができます(同じように、6と9の最小公倍数である18の倍数と4の倍数を用いて考える、などの方法もあります。このように、最小公倍数は、それぞれの整数の倍数を書き出して考えることができます。

2つの整数に共通している約数を 公約数(こうやくすう)といいます。特に、最も大きい公約数を 最大公約数 といいます。

たとえば、12と16の公約数を書き出すと、
12の約数:1,2,3,4,6,12
16の約数:1,2,4,8,16
となるので、12と16の公約数は 1,2,4となります。12と16の最大公約数は 4 となります。

式と計算[編集]

整数と小数のしくみ[編集]

青森(あおもり)県と北海道(ほっかいどう)を結ぶ青函(せいかん)トンネルの長さは53.85kmです。この53.85という数について考えましょう。

青函トンネルを通る電車
10倍すると538.5、
100倍すると5385、
1000倍すると53850 と、小数点が(うつ)っていきます。
このように、ある数を10倍、100倍、1000倍…にすると、小数点が右に1けた、2けた、3けた…ずつずれていきます。

また、東京(とうきょう)都から大阪(おおさか)府を走っている東海道新幹線(とうかいどうしんかんせん)の路線きょりは515.4kmです。この515.4という数について考えましょう。

東海道新幹線
にすると51.54、
にすると5.154、
にすると0.5154、と、小数点が(うつ)っていきます。
このように、ある数をにすると、小数点が左に1けた、2けた、3けた…ずつずれていきます。



小数のかけ算、わり算[編集]

整数のかけ算、わり算の意味[編集]

小数のかけ算、わり算の意味[編集]

小数のかけ算とわり算も、整数の場合と同様にできます。

小数のかけ算、わり算の計算[編集]

小数 × 小数[編集]

次のかけ算の問題を解いてみましょう。

  • 1mの重さが2.3kgのパイプがあります。このパイプが2.8mあったら重さは何kgですか。

式は となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

パイプの重さを23kgと10倍にすると、求める重さも10倍になります。

パイプの長さが10倍になると、求める重さも10倍になります。

  • 1mの重さが23kgのパイプ28mの重さは

1mの重さが2.3kgのパイプ2.8mの重さを出すには、この積を にすればよいので

したがって、 となります。答えは6.44kgです。

小数 ÷ 小数[編集]

次のわり算の問題を解いてみましょう。

  • 6.5mの重さが7.8kgの鉄のぼうがあります。この鉄のぼう1mの重さは何kgですか。

式は となります。

計算のしかたを考えてみましょう。

同じぼうの長さを10倍にすれば、重さも10倍になります。

65mのぼうの重さは

鉄のぼう1mの重さは

したがって、 となります。答えは1.2kgです。

約分[編集]

右の図を見てください。Fraction2 3.svgファイル:Fraction4 6.svgFraction6 9.svg が同じ大きさであることがわかるでしょう。ですから、になおせますね。分数を、同じ大きさで、分母と分子ができるだけ小さい分数になおすことを 約分(やくぶん)する といいます。

ある分数の分子と分母に、同じ数をかけたりわったりしても分数の大きさは変わりません。

約分する方法には、分母と分子を分母と分子の最大公約数でわる方法があります。


通分[編集]

先ほどの 約分 とは逆に、たとえば、 となおせますね。

たとえば、…となおすことができます。

また、… となおすことができます。

いま、は それぞれ \frac{3}{6}</math>、 になおせました。このように、2つ以上の分数を 分母が同じ大きさになるように直すことを 通分(つうぶん)する といいます。通分する方法には、すべての分数の分母を すべての分数の分母の最小公倍数にそろえる方法があります。

分数のたし算とひき算[編集]

分母がことなる分数のたし算やひき算について考えてみましょう。

では、
について考えてみましょう。

分母が同じ分数のたし算はすでに学んでいます。そこで 通分 して、分母をそろえると、

となります。これを計算すると となるので、答えは です。

では、

について考えましょう。 これも、先ほどと同じように通分して、

となります。上のように、答えが約分できる場合は、必ず約分します。

わり算と分数[編集]

次の問題を解いてみましょう。

  • 2Lのジュースを3等分します。1人分は何Lになりますか。

式は となります。

小数で表すと …… となり、わりきれません。

1Lを3等分した量は、 Lになります。

2Lは1Lの2つ分です。

2Lを3等分した量のうちの1つは1Lを3等分した量の2つ分であるから、 Lになります。

したがって となります。

このように、分数は、分数を使うと正確(せいかく)に表すことができます。


整数どうしのわり算の商は、分数で表すことができます。

また、0.5と0.24を分数になおしましょう。

であるから、

であるから、

小数は、10、100などを分母とする分数になおすことができます。


5を分数になおしましょう。

整数は、1などを分母とする分数になおすことができます。

計算のきまり[編集]

次の問題を考えましょう。

●と○は全部で何個ありますか。

を全部あわせて考えると

の数との数をそれぞれ求めてあわせると

よって

が成り立ちます。

( )を使った式の計算には次のような法則(ほうそく)があります。

このような法則(ほうそく)を 分配法則(ぶんぱいほうそく) といいます。(小学校では、法則名は覚えなくても構いません。)


この考えを使って、くふうして暗算で計算しよう。


たし算とかけ算には、次のようなきまりがあります。

これを たし算の 交換法則(こうかん ほうそく)と言います。

これを たし算の 結合法則(けつごう ほうそく)と言います。

これを かけ算の 交換法則(こうかん ほうそく)と言います。

これを かけ算の 結合法則(けつごう ほうそく)と言います。


この考えを使って、くふうして暗算で計算しよう。

図形[編集]

合同[編集]

図のような三角形ABCと三角形DEFは合同である。

2つの図形が、その図形の位置や向きをかえて、形と大きさをかえずに、重ねられるとき、その2つの図形は 合同(ごうどう)である といいます。

多角形[編集]

正六角形

多角形 (たかくけい)とは、3本以上の線でかつそのどれもが結ばれた図形のことを言います。名前は線が3本なら 三角形 、4本なら 四角形 、5本なら 五角形(ごかくけい)、・・・というふうになります。

また、辺の長さと角の大きさが全て同じである多角形のことを 正多角形 (せいたかくけい)と言います。三角形の場合は正三角形、四角形の場合は正四角形(「正方形」(せいほうけい)というのがふつうです)、五角形の場合は正五角形・・・というふうになります。

正五角形

正多角形のかきかた[編集]

正多角形は、まず円をかき、その中心の周りの角を等分することでかけます。例えば正五角形は、円をかき、その中心の周りの角を5等分して、72°ずつに区切り、区切る直線が縁と交わったところの点を結ぶことで書けます。なお、正六角形は、

図形の角[編集]

三角形の3つの角の大きさの和[編集]

三角形をかいて、3つの角の大きさの和を求めてみましょう。 三角形の3つの角の大きさの和は、どんな三角形でも 180°になります。

四角形の4つの角の大きさの和[編集]

四角形の4つの角の大きさの和は、どんな四角形でも 360°になります。

四角形に対角線を1本引けば、ふたつの三角形に分かれるので、2つの三角形の三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。

多角形の内角の和[編集]

五角形では、五角形の5つの角の大きさの和は、三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。

Catalan number triangulation.png

五角形の内角の和をもとめるための対角線のひきかたには、いろいろとありますが、とにかく五角形の内角の和は三角形の3つの角の大きさの和に等しくなります。

五角形の内角の和は 180°×(5-2)=540° より、五角形の内角の和は 540°になります。
Catalan-Hexagons-example.svg

六角形の6つの角の大きさの和をもとめるための対角線のひきかたには、いろいろとありますが、とにかく六角形の6つの角の大きさの和は、4つの三角形の3つの角の大きさの和になります。


円周の長さと円周率[編集]

円のまわりの長さを 円周(えんしゅう) といいます。 例えば、

では、直径7cmの円の円周は何cmでしょう。

円周は曲がっているので、定規でははかれません。しかし「円周÷直径」はどの円でも同じです。これを 円周率(えんしゅうりつ) といい、円周率は およそ3.14 であることが わかっています。

円周率は、くわしくは 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 … と、(かぎ)りなく続きます。

小学校では、円周率は 3.14 として計算することが多いです。

円周率は、分数で表すことはできない数で、小数で表すといつまでも終わらないことがわかっています。

円周÷直径=3.14

でしたから、

円周=直径×3.14

ですね。はじめの問題を(とく)くと、7×3.14=21.98(cm)というようになります。


円周率の研究の歴史(れきし)

円と、円にぴったり入る正多角形と、円がぴったり入る正多角形をかくと、この円の周は内側の正多角形より長く、外側の正多角形よりは短くなり、これから円周率のおよその値がわかります。古代ギリシアの数学者アルキメデスは、円にぴったり入る正96角形と、円がぴったり入る正96角形を使い、円周率は
3 (=3.1408…)より大きく、3 (=3.1428…)より小さいことを発見しました。また、オランダの数学者ルドルフ(1539年~1610年)は、
正4611686018427387904角形(千兆を10倍した数を「一京(いっけい)」といいます。)を使って、円周率を小数点以下35けたまで求めました。その後も、日本の数学者 関孝和(せきたかかず)や建部賢弘(たけべかたひろ)などが円周率を研究しました。2010年、長野(ながの)県飯田(いいだ)市に住む日本人が、コンピュータを使って円周率を5兆けた計算し、この計算でギネス世界記録に選ばれました。(正多角形の考え方ではなく、「計算結果が円周率になる式」が使われています。)今でも、円周率は日々計算されています。

面積[編集]

面積は、図形の広さを表すものです。例えば、

面積は長方形・正方形の場合は、たて×よこで表すことができました。

たとえば、たて4cm、よこ5cmの長方形の面積は、4×5=20(cm2)となります。

三角形の面積[編集]

図1
図2
図3

右の図1の方眼紙は1目もり1cmです。図1の三角形の面積を考えてみましょう。

図2のように三角形の周りにたて4cm、横8cmの面積を作ると面積の等しい直角三角形が2組できます。だから、三角形の面積はこの長方形の面積の半分になります。また、図3のように、三角形で、ある辺を底辺(ていへん)としたとき、向かい合う頂点(ちょうてん)から底辺に垂直(すいちょく)に引いた直線を高さといいます。辺と高さが重なったり、高さが図形の外にきたりすることもあります。図2の長方形で、たての長さは高さ、横の長さは底辺とみることができるので、三角形の面積の公式は 底辺×高さ÷2 となります。高さが図形の外にあってもこの公式は使えます。図1の三角形の面積は より、16cm2となります。

平行四辺形の面積[編集]

図1
図2
図3
図4

右の図1の方眼紙は1目もり1cmです。図1の平行四辺形の面積を考えてみましょう。

図2の位置から図3の位置に色の()い三角形を移動すると、だから、三角形の面積はこの長方形の面積の半分になります。また、図4のように、平行四辺形で、ある辺を底辺(ていへん)としたとき、底辺とそれに向かい合う辺のはばを 高さ といいます。図2の平行四辺形で、たての長さは高さ、横の長さは底辺とみることができるので、平行四辺形の面積の公式は 底辺×高さ となります。高さが図形の外にあってもこの公式は使えます。図1の平行四辺形の面積は より、35cm2となります。

台形とひし形の面積[編集]

台形[編集]
図1
図2
図3

図1の台形の面積を考えてみましょう。

図2のように、この台形を2つならべると平行四辺形ができます。台形の面積はこの平行四辺形の半分です。図3のように、台形にで、平行な2本の辺をそれぞれ 上底(じょうてい)下底(かてい) といいます。この平行四辺形で、底辺は(上底+下底)で、高さはもとの台形の高さと同じなので面積は (上底+下底)×高さ となります。台形の面積はこの半分なので、台形の面積の公式は (上底+下底)×高さ÷2 となります。
ひし形[編集]
図1
図2
図3

図1のひし形の面積を考えてみましょう。

図2のように、ひし形の周りに長方形を作ります。ひし形の面積は長方形の面積のちょうど半分です。長方形のたてと横はそれぞれひし形の対角線となっています。ですから、図3のように、ひし形の面積の公式は 対角線×対角線÷2 となります。

体積[編集]

2年生では、「かさ」や「L」などの単位について、ならいました。

1Lと、立方(りっぽう)センチメートルとの、かんけい。
1L=1000cm3である。

立体の、空間での大きさ(今までに習った「かさ」のこと)を 体積 (たいせき) といいます。

面積では、縦(たて)と横(よこ)が 1cm の正方形の面積のことを 1cm2 と いいました。

体積では、縦(たて) と 横(よこ) と 高さ(たかさ) が 1cm の 立方体 の 体積 を 1cm3 と 書き 、「 1 立方(りっぽう) センチメートル」といいます。

体積は、縦と 横と 高さが 1cm の 立方体 の 体積(1cm3)が、いくつ分かで表します。

直方体(ちょくほうたい) は 長方形 が たくさん 積み 重なった もの 、 立方体は 正方形 が たくさん 積み 重なったもの と 考えてみると、体積は たて×横× 高さ の式で 求めることができます。

立方体(りっぽうたい) は 全ての辺の長さが同じなので、高さも1辺の長さになります。また、底面の面積は今までどおり 縦×横 の式で計算できます。

つまり、

  • 直方体の体積は たて×横×高さ
  • 立方体の体積は 1辺×1辺×1辺

で求めることができます。

下の問題を見てみましょう。

  • 縦2cm 、 横3cm 、 高さ6cm の 直方体の 体積を もとめましょう。

という問題があります。

直方体の体積は 縦×横×高さ なので、2×3×6=36(cm3)と求められます。


  • 立方メートル

一辺が1mの立方体の体積を1立方メートル(いち りっぽうメートル)と言い 1m3 と書きます。1立方メートルを立方センチメートルで書いたとすると、1mは100cmですから、1m3

1m3 = 100cm × 100cm × 100cm = 1000000 cm3

です。(一立方メートルは、百万立方センチメートル)


  • 内のりと容積

コップや水槽(すいそう)、プールなど、水などの液体(えきたい)をいれる容器(ようき)について、容器の内部の長さを内(うち)のりといい、その容器に入りきる液体の体積を 容積(ようせき) といいます。

容積の単位(たんい)は、体積と同じようにLやdLや立方cm3や立方m3などを、つかいます。


なお、1Lは 1000cm3 です。つまり

1L=1000cm3

です。

1dLは 100cm3 です。つまり

1dL=100cm3

です。


1mLは 1cm3 です。つまり

1mL = 1cm3

です。


角柱と円柱[編集]

角柱と円柱[編集]

  • 三角柱

三角柱には面が、5個、あります。三角柱の面のうち、2個は三角形です。三角柱の面のうち、3個は四角形です。

三角柱には、頂点が 6個 あります。(数えてみてください。)

三角柱には、辺が 9本 あります。(数えてみてください。)

三角柱の上下の2つの三角形の面を 底面(ていめん) と言います。

底面の面積のことを 底面積(ていめんせき) と言います。

三角柱の底面積は、底面の円の面積とおなじです。


上側の面も、「底」面というのは変だと思うかもしれませんが、慣習(かんしゅう)で、こう呼びます。

三角柱の、2つの三角形である底面のあいだのきょりを、三角柱の 高さ といいます。

三角柱の、展開すると四角形になる部分の面を 側面(そくめん) と言います。

側面の面積のことを 側面積(そくめんせき) と言います。



  • 円柱
円柱(えんちゅう)
この図では、hが「円柱の高さ」です。
円柱の展開図
  • トイレットペーパーの しん の ような 同じ大きさの円 が 積み重なってできた立体を 円柱 (えんちゅう)と言います。

円柱には面が3個あります。

円柱の面のうち2個は円です。


円柱の上下の2つの円の面を 底面(ていめん) と言います。

円柱の、2つの円である底面の中心を結んだきょりを、円柱の 高さ といいます。

円柱の、展開すると四角形になる部分の面を 側面(そくめん) と言います。


展開図をみると、側面積の縦の長さを「円柱の高さ」にとった場合は、側面積の横の長さは、底面の円周です。

です。

数量関係[編集]

単位量あたりの大きさ[編集]

単位量あたりの量[編集]

サッカーボールを買うために、2つの店 A店とB店に行きました。

A店では 「サッカーボール2つ3000円」で売っており、
B店では「サッカーボール5つ8000円」で売っていました。
どちらが安いといえるでしょうか。

ここでは、サッカーボールの数が(ちが)います。どのように(くら)べればよいでしょうか。


一方、「サッカーボール1つで1200円」と、「サッカーボール1つで1300円」とであれば、 「サッカーボール1つで1200円」の方が安いということはすぐ分かります。

つまり、サッカーボールの数が違うときは、サッカーボール1つあたりの値段(ねだん)(くら)べれば、どちらが安いか分かるわけです。


このように、「~1つあたり」のようなものを、単位あたりの量といいます。「単位」というのは、「基準(きじゅん)とする量」のことです。ふつうは1を基準とします。

(注意)「(ぶた)肉100gあたり130円」などというように、1を基準としないものもあります。
A店でのサッカーボールの1個あたりの値段は、円で、
B店でのサッカーボールの1個あたりの値段は、円で、

1個あたりの値段で比べれば、A店のほうが安いといえます。

(練習問題)

  • サッカーボール5個で6000円のとき、サッカーボール1個あたりの値段を求めましょう。
(円)
  • サッカーボール1個あたり1000円のとき、3個買うと、全部でいくらですか。
(円)
  • 1.5Lのジュースが、180円でした。このジュース1Lあたりの値段を求めましょう。
(円)
  • 1Lあたり130円のジュースを2.3L買いました。全部でいくらですか。
(円)
  • 1.5Lのジュースが、200円でした。1円あたりジュースを何L買えるでしょう。
(L)

人口密度[編集]

1km2あたりの人口を人口密度(じんこうみつど)といいます。 では、東京(とうきょう)都と高知(こうち)県の人口密度を求めてみましょう。

東京都の人口:1351万人、面積:2191km2
高知県の人口:72万人、面積:7104km2 (2015年の国政調査(こくせいちょうさ)データ・改)
東京都:1351000÷2191=6166.13… より、約6200人、 
高知県:720000÷7104=101.35… より、約100人 
となります。

速さ[編集]

速さ[編集]

ここでは、特に速さについて学んでいきましょう。 例えば、ライオンが9秒間に、200mだけ走ったとします。また、キリンは、6秒間に100mだけ走ったとします。このとき、ライオンは1秒間におよそ22.2m,キリンは、1秒間におよそ16.7m走ったことになります。このように、ある時間あたりに動く割合(わりあい)をさすものを速さといます。 速さはある時間あたりの速さを表すものですから、速さは

速さ=道のり÷時間 
という式で、求められます。

時速(じそく)とは、1時間あたりに進む距離(きょり)で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば、1時間に10kmを進む自転車の速さは、時速10kmです。2時間で14kmを進んだら、時速7kmです。

分速(ふんそく) とは、1分あたりに進む距離(きょり)で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば、時速10kmという速さを分速になおすと

10÷60=0.16666…

より、およそ分速0.167kmに、つまり、およそ分速167mになります。

秒速(びょうそく) とは、1秒あたりに進む距離(きょり)で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば秒速15cmを分速になおすと、

15×60=900

より、秒速15cmは、分速900cm、つまり分速9mとなります。

なお、「時速5km」を、「毎時5km」「5km/h」などと表すこともあります。

  • 問題1

あるマラソン選手が42.195kmを、2.2時間で走り終えました。この選手の速さは、時速何kmですか。

  • 答え

式は42.1952.2 となります。これを計算すると 19.17…となるので、およそ時速19.2kmとなります。

速さの公式[編集]

速さ=道のり÷時間 であるから

道のりは 道のり=速さ×時間 という式で求められます。
同じように考えてみると
時間は 時間=道のり÷速さ という式で求められます。
  • 問題2 
(1)時速40kmで3時間走った車は、何km進みましたか。
(2)A君は、9kmはなれたところにあるおばさんの家に、時速15kmの自転車で向かっています。何分でつきますか。

(分速を求める方法と、何時間でつくか求める方法でやってみましょう)

割合[編集]

はじめに[編集]

5年生は200人いて、そのうち音楽をよく聞く人は100人です。一方、6年生は50人いて、
そのうち音楽をよく聞く人は30人です。
5年生と、6年生では、どちらの方が音楽をよく聞くといえるでしょうか。

簡単(かんたん)には、分かりませんね。

それは、5年生と6年生で、全体の人数が(ちが)うからです。

そこで、(くら)べるために、5年生と6年生のの人数をそろえてみます。

たとえば、全体の人数を100人にそろえてみましょう。


5年生はもともと全体の人数が200人ですから、これを2でわって100人にします。

同時に、音楽好きな人の人数も2でわります。
<5年生>
全体の人数 :200人 --> 100人(2でわった)
音楽好きな人:100人 -->  50人(2でわった)

一方、6年生はもともとの全体の人数が50人ですから、これを2倍して100人にします。 同時に、音楽をよく聞く人の人数も2倍します。

<6年生>
全体の人数 : 50人 --> 100人(2倍した)
音楽好きな人: 30人 -->  60人(2倍した)

つまり、全体の人数が100人だったとすると、音楽をよく聞く人は、5年生では50人、6年生では60人 いることになります。

この結果、6年生の方が音楽をよく聞くと言えます。

ここでは全体の人数を100人にあわせましたが、もちろん他の数にしても同じ結果になるはずです。

それでは、全体の人数が1人だとして、同じように計算してみましょう。

5年生はもともと全体の人数が200人ですから、これを200でわって1人にします。 同時に、音楽をよく聞く人の人数も200でわります。

<5年生>
全体の人数 :200人 -->   1人 (200でわった)
音楽好きな人:100人 --> 0.5人 (200でわった)

一方、6年生はもともとの全体の人数が50人ですから、これを50で割って1人にします。 同時に、音楽好きな人の人数も50で割ります。

<6年生>
全体の人数 : 50人 -->    1人 (50で割った)
音楽好きな人: 30人 -->  0.6人 (50で割った)

つまり、全体の人数が1人だったとすると、音楽好きな人は、5年生で0.5人、6年生では0.6人 いることになります。

この結果、6年生の方が音楽好きであると言え、先ほどと同じ結果になりました。

この2つめの例のように、ある量(もとにする量という)を1としたとき、別のある量(くらべる量という)がある量の何倍かを表す数を

割合(わりあい)といいます。

割合[編集]

一般(いっぱん)に、割合は

割合というのは、「ある量(比べる量)が、ある別の量(もとにする量)の何倍かということです。 ですから、 割合 = くらべる量 ÷ もとにする量

という式で求めることができます。

また、この式から、

くらべる量 = もとにする量 × 割合
もとにする量 = くらべる量 ÷ 割合
となります。

割合の表し方[編集]

割合は例えば「このりんごジュースは果汁(かじゅう)100%です。」や「あるプロ野球選手の今シーズンの打率は3(わり)1()5(りん)でした。」などと使われます。この単位はどのような割合を表すか見てみましょう。

百分率[編集]

0.01倍を 1(パーセント)と表す表し方を 百分率(ひゃくぶんりつ) といいます。ですから、元にする量は 100% となります。

歩合[編集]

0.1倍を 1(わり)、0.01倍を()、0.001倍を(りん)と表す割合の表し方を「歩合(ぶあい)」といいます。野球の打率などの表し方で使われています。


割合を表すグラフ[編集]

割合を表すグラフには、(おび)グラフ(えん)グラフがあります。

比例[編集]

2つの量で、一方が2倍、3倍、…となったとき、もう一方が2倍、3倍、…となるとき、2つの数量は 比例(ひれい)している といいます。

図形と比例[編集]

  • 直方体において、高さが変わっていくとき、高さと体積は比例します。
  • 三角形や平行四辺形において、高さが変わっていくとき、高さと面積は比例します。
  • 円において、直径が変わっていくとき、円周は直径に比例します。


平均[編集]

3つのコップに 160mL、210mL、230mL のジュースが入るので、これをAさん、Bさん、Cさんの3人で飲もうと思います。しかし、これでは、1人分の量が 均等(きんとう) ではありません。そこで、3人でぴったり分ける方法を考えましょう。

そこで、3つのコップのジュースを合わせて、それを同じ量ずつ3つのコップに分けることにしました。このとき、3つのコップのジュースの量の合計は 160+210+230=600 (mL) になるので、1人分の量は 600÷3=200 (mL) となります。

このように、いくつかの数量を、1つあたりの量が等しくなるようにならしたものを 平均(へいきん)といいます。

平均の求め方

平均=合計÷()

また、合計=平均×個数、個数=合計÷平均 となります。

  • 問題1

8人に算数のテストを行ったところ、点数は

となりました。このテストの8人の平均点は何点ですか。

    • 答え

平均 = 合計 ÷ 個数 なので

(点)

となります。 なお、平均は小数や分数となることもあります。

また、、10人いるクラブの各メンバーの体重が、つぎのようなとき、

  • データ1
番号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重(kg) 60.3 57.9 65.4 56.1 53.6 62.7 70.0 55.8 67.1 63.1


体重の平均は

より、61.2 kg が平均の体重となります。

平均の(あつか)いかた[編集]

下の表は、ウィキ小学校の5年1組の、ある1週間の、本の()し出し冊数(さっすう)です。

貸し出し冊数
冊数・曜日
貸出冊数 8 5 0 6 9


この表では、水曜日に、0冊とまったく借りられていませんが、「0」のデータでも平均に(ふく)めます。

貸出冊数の平均は、 より、5.6冊です。


下は、Aさんの、5回の幅跳(はばと)びの結果を表したものです。

記録
回数 1 2 3 4 5
記録 158cm 167cm 161cm 327cm 164cm

4回目に、ほかの記録と大きくはなれた「327cm」という記録が出ていますが、はかりまちがえてしまったようです。

このような、記録ミスなどによる、大きくはなれたデータがあるときは、それをふくめずに平均を計算することがあります。
ここでは、平均は
で、平均は162.5cmです。

平均の求め方のくふう[編集]

あるグループの5人の身長は、145cm,156cm,149cm,141cm,152cm となっています。この5人の身長の平均を求めてみましょう。

ふつうに計算すると となりますが、これを計算するのは少し大変です。
そこで、くふうした平均の計算方法を考えてみましょう。
まず、5人の身長はすべて140cmより高いので、「5人の身長と140cmの差」の平均を求めて、それに140をたす という方法で平均を求めてみましょう。
まず、「5人の身長と140cmの差」の平均は となります。
これに140をたすと 8.6+140=148.6 となり、これでも平均を求められます。
また、一番身長の低い人の身長は、141cmです。そこで、「5人の身長と141cmの差」の平均を求めて、それに141をたす という方法で平均を求めてみましょう。
まず、「5人の身長と141cmの差」の平均は となります。
これに141をたすと 7.6+141=148.6 となり、これでも平均を求められます。
このように、くふうして平均を求めることができます。

算数ドリル[編集]

下の「5年生のための算数ドリル」の文字を()すと、

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