小学校算数/6学年

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式と計算[編集]

分数の足し算・引き算[編集]

第5学年では分母が同じ値となっているときの分数の足し算を学びました。実際には、分数の足し算は分母が異なっている場合にも実行することができます。この章では、そのような分数の計算の仕方を学びます。


約分[編集]

分数は、できるだけ小さな数を使って表さなければなりません。

例えばは全て同じ数であることがわかりますが、どれが一番簡単に表していますか?それはではないでしょうか。のような簡単な分数にすることを、約分(やくぶん)といいます。 約分は分子と分母をその最大公約数(さいだい こうやくすう)で割るとできます。

また、のような、分母と分子に公約数を持たない(=分母と分子が互いに素である)分数の事を既約分数(きやくぶんすう)といいます。

通分[編集]

分母が異なっている分数の足し算を行なうには、それらの分数の分母を統一することが必要です。この操作を通分(つうぶん)と呼びます。(w:通分) 

実際には、分数はある整数どうしの割り算から作られています。例えば、

は整数の範囲では対応する値を持たないので、

という新しい量が作られました。この量は確かに

より大きく

より小さいことに注意。このことから、この量が対応する整数を持たないことがわかります。次に割り算の性質上、割る数と割られる数に同じ整数をかけ算しても得られる数は変わらないということがわかります。このことをまずは整数の場合について考えてみます。例えば、

に対して、4,2のそれぞれに2をかけ算して

としても結果はどちらもおなじく2となります。このことはつまり、割る数にかけた2と割られる数にかけた2が上手い具合に相殺したものと見ることができます。

例えば、あるところに4つのクッキーがあり、それを2人で分けようとしていたとします。ここで、さらに4つのクッキーが加わると1人の取り分は以前の2倍になります。しかし、次にクッキーを分ける人数も今までの2倍の4人になったとすると各々の取り分はやはり2枚のままであり、以前と変わっていません。

このことから、割る数と割られる数にかけられた整数が互いに打ち消す性質は、割り算の性質の1つで、常に保たれている必要があることが分かります。このことは、割り算の結果に対応する整数が無いときにも成立していることが期待されます。例えば、

については対応する整数は存在しません。しかし、このことは3枚のクッキーを5人で分ける場合に対応しており、 このとき、それぞれの取り分は

であることがわかります。上の話と同様にして、ここでもクッキーの枚数とそれを分ける人数の両方を2倍してもそれぞれの取り分は変わらないことが分かります。このことは6枚のクッキーを10人で分けることに対応しており、これを分数の形で書くなら、

に対応しています。ここまでの話を総合すると、ある分数について、分子と分母に同じ整数をかけたとしても、その分数の値は変化しないことがわかります。例えば、

などが成り立ちます。このように、分数の分子と分母に同じ整数をかけて計算に都合のいい分母の分数にすることを通分(つうぶん)と呼びます。

分母が異なる分数の大小[編集]

上で分数の通分の仕方を学びました。このことの応用として、分子の違った数の大小を計算する方法を考えてみましょう。通常、分数は小数と比べると大小を比べるには向いていません。例えば、 と、 の大小を比べることを考えてみます。実際に割り算をすることで、分数を小数に変換すると、(このことは、小学校算数/5学年で学習しました。) と、 となります。このことを見ると、

は、 よりも大きいことが一目瞭然です。このように、分数の大小を見るにはその数を小数に変換してみればよいことがわかります。しかし、このことを分数のままで見ることもできます。


ここでは、2つの分数の分母を通分することで、分数の大小を調べる方法を学びます。通分の章で、分数の値を変えること無く、分数の分母を好きなように 変えることが出来ることを学びました。ここでは、特に比較する分数の分母を、2数の分母の最小公倍数に統一することを考えます。特に、最小公倍数を選ぶ理由は、後に分数の足し算のところで詳しく述べます。仮に、これが実行されたとするとき、2数の大小の比較は、分母が等しい分数の大小比較に帰着し、それは2つの分数の分子の大小によっていることがわかります。よって、通分を行なうことで、2数の大小を比較することができます。

  • 計算例

ここでは、先ほどと同じように と、 の大小を調べてみましょう。2と3の最小公倍数は6なので、2数の分母を6にそろえることができます。実際やってみると、2数は、分子分母両方に3をかけた

と、分子分母両方に2をかけた

になります。結局、

と、

の大小を比べればよいですが、これは確かに

の方が大きい。よって、

の方が、

より大きいことが確かめられました。


次に、

と、

の大小を調べます。ここで、2数の分母7,11の最小公倍数は77なので、分母を77に統一します。このとき通分によって

と、

が得られます。よって、

は、

より、大きいことが分かります。ちなみに、分数を小数に変換すると、

は、

で、

は、

となります。このことからも、

は、

よりも大きいことが分かります。

  • 発展 小数への展開

ここで、2数を小数に展開した形は、同じような数字の並びが続いていることが分かります。このことは偶然ではなく、分数を小数に変換したときの性質です。詳しくは、高等学校数学I 方程式と不等式を参照。

分数の足し算[編集]

すぐ上で分数の通分の仕方を学びました。また、分母が同じである場合の分数の足し算は既に学んでいます。小学校算数/5学年を参照。これら2つの事柄を用いて、異なった分母の分数の足し算を行なうことができます。例えば、

について考えてみましょう。

この量は1枚のクッキーを5人で分けた量と、1枚のクッキーを3人で分けた量を足し合わせたものです。どの程度になるか分かるでしょうか?

(5bunno1)-(3bunno1).jpg

直観的におおよそ半分ぐらいになるということは分かりますが(図)、正確な量を目分量で得ることは難しいです。しかし、通分の稿で用いた計算を再び用いると、上の量はそれぞれ3枚のクッキーを15人で分けた量と、5枚のクッキーを15人で分けた量に対応していることが分かります。これらの量はそれぞれ人の人数とクッキーの枚数を3倍、または5倍して得られました。15という量は実際には3と5の最小公倍数になっています。これは実際には最小にする必要は無く、2数の公倍数を選べば、計算を行なうことはできます。例えば、6枚のクッキーを30人で分けた量と、10枚のクッキーを30人で分けた量に対応しているとしても、これは共通の分母をもつ分数の計算に帰着して、計算を行なうことができます。しかし、このようにすると分子分母の数がむやみに大きくなるため通常は最小公倍数を用いるのがよいということになっています。また、最小公倍数以外を用いた場合、それぞれの分子と分母は必ず共通の約数を持つため、計算の最後に約分の操作を行なわなくてはならなくなって、更に計算が面倒になります。このことからも通常このような計算では最小公倍数を用いることが 推奨されています。

さて、このようにして分ける人数を定めた場合、それぞれの人間の取り分は簡単に求められます。ここでは、求める量が3枚のクッキーを15人で分けた量と、5枚のクッキーを15人で分けた量にの和に対応していることが分かっています。すぐに分かる通り、この量は、8枚のクッキーを15人で分けた量に対応しています。結局、分ける人数と分けられる枚数を適当に整数倍することで、1枚のクッキーを5人で分けた量と、1枚のクッキーを3人で分けた量を足し合わせた量が計算されたのです。結果を見ると、この量は、8枚のクッキーを15人で分けた量に対応しています。

ここで行なった操作を詳しく見てみると、

に対して、それぞれの分母の最小公倍数を計算し、それに合わせるようにそれぞれの分数の通分を行ないました。ここでその操作を実行すると、

が得られます。次に、同じ分母の足し算を行ないます。実際にそれを行なうと、

が得られます。このようにして、

が得られました。同じような操作で、異なった分母の分数の足し算を行なうことができます。

  • 計算例

を計算する。2と4の最小公倍数は

なので、分母を4に統一します。実際に統一して足し算を行なうと、

が得られます。次に、

を計算します。14と26の最小公倍数は、

です。分母を統一すると、

が得られます。これで答は得られましたが、46と182は共通の約数2を持っているので、約分の操作を行なう必要があります。実行すると、

が得られます。このように分数の足し算は複雑な計算を伴うことがあるので十分に練習を行なうことが重要です。

w:maxima,w:mathematicaなど、簡単に結果を求めるツールも知られていますが、あくまで結果を確かめる程度にとどめ、自分で計算を行なうことが重要です。

分数のかけ算[編集]

分数のかけ算は、それぞれ真分数または仮分数の場合は分数の分子と分母を個別にかけ算すればできます。 例えば、

× = =

となります。

ただし計算に帯分数が入っている場合は仮分数に直してからでなければいけません。これは分数の割り算も同じです。

2 ×1 = × = = = 3

分数の割り算[編集]

というのは、"1の中に1/2がどれだけあるか"と読めます。 答は2です。 このとき、



は 、"1の中にがどれだけあるか"と読めます。 答はです。 割る方の数を逆数にすると答が得られます。

概数を用いた積や商の見積もり[編集]

小学校算/4学年では概数(がいすう)というものを習いました。ここでは、小学校算数/5学年に続いてどのように使うのかを学習しましょう。

次のかけ算の問題を考えてみましょう。

  • あるスーパーで、1本168円のジュースが、1週間で275本売れました。このジュースの売上高が、およそ何円になるかを見積もりましょう。

ジュースの値段と本数を上から1けたの概数にすると

ジュースの値段 

本数 

となります。

よって、ジュースの売上高はおよそ

となります。

実際のジュースの売上高を求めると

と、なります。

このように、概数を使って積や商の見積もりができます。

旅人算[編集]

この問題は教科書末の発展として出ているものである

A氏は毎時5kmで東に、B氏は毎時8kmで同じ向きに歩いている。BはAの3km後を歩いている。では、BがAに追いつくのは、何時間後か


つまり、

  B(→8km/h)     A(→5km/h)        

である。この間が3kmであると考える

旅人算の公式1

<追いつく問題では、追いつく時間=2人の間の距離÷(Bの速度-Aの速度)>

これを使うと、

3÷(8-5)=1

つまり、追いつくのは1時間後である

量と測定[編集]

面積の単位[編集]

小学校算数/5学年では単位にcmを使った面積を求めました。しかし実際に土地の面積などをcmを単位にするとけた数が多くなり面倒になります。ここでは単位にmを使った面積を求めてみましょう。

前と同じように考えてみると単位にmを使った面積は「m2」となります。m2は「平方メートル」と読みます。下の問題を見てください。

  • 縦3m×横5mの長方形の花だんの面積はいくらになるでしょうか?

面積は縦×横なので3×5=15(m2)となります。では次にこれをcmに直して計算してみましょう。

1mは100cmなので縦300cm×横500cmとなります。面積を計算すると150000cm2となります。すると、1m2=10000cm2であることが分かります。

また、統計にはa(アール)やha(ヘクタール)やkm2(平方キロメートル)と言う単位も使われます。1aは10m×10m、1haは100m×100m、1km2は1000m×1000mの面積に等しくなります。

身近にある図形の面積[編集]

小学校算数/5学年までにw:平行四辺形w:三角形等の図形の面積の求め方を学びました。しかし、実際に見られる図形は必ずしも完全な三角形ではなくでこぼこな図形などもあります。このような時にでもだいたいの面積を調べることができます。

例えば方眼紙(グラフなどを書いたりする正方形のメモリがたくさんついた紙のことです)に適当に書いた図形の面積を求めてみましょう。今までのやり方だとその図形の面積を求めることはできません。しかしだいたいの大きさなら調べることはできます。

方眼紙に書いた図形はたくさんのマスで区切られています。マスが完全にその図形で占められていたり、マスの上を図形の線が通っています。そのマスの数を調べることによっておおよその面積を調べることができます。

  • 1cm四方(1cm×1cmのことです)のマスで、図形が完全にふくまれているマスが100個、図形の線が通っているマスが20個ありました。その面積はいくらになりますか?

この図形の面積は、マス100個の面積よりも大きいことはすぐにわかります。そして、20個のマスは図形の線が通っていて、図形に完全にふくまれてはいないのですから、マス120個の面積よりは小さいことがわかります。だから、この場合はその図形の面積は の間であることがわかります。これではまだ少しおおざっぱですが、方眼紙のマスをより細かくする(例えば1mm四方のマスにとりかえる)ことによってより詳しい面積を知ることができます。

立体[編集]

小学校算数/5学年までに、図形のw:面積の考え方を学びました。面積とは平面上に書かれた図形の大きさを比べるための量でした。

しかしこれは平面だけのものであり、身の回りには高さのないものはほとんどありません。今までの縦と横に新しく高さの考えを加えた図形のことを立体または空間図形といいます。

さいころのような全て同じ長さでできた立体のことを立方体、ティッシュケースのような同じ長方形2つが3ペアある立体のことを直方体と言います。

体積[編集]

立体が占める空間の大きさのことを体積といいます。

面積では、縦と横が1cmの正方形の面積のことを1cm2といいました。体積では、縦と横と高さが1cmの立方体の体積を1cm3と書き、「1立方センチメートル」といいます。

直方体は長方形がたくさん積み重なったもの、立方体は正方形がたくさん積み重なったものと考えてみると、体積は底面×高さの式で求めることができます。立方体は全ての辺の長さが同じなので、高さも1辺の長さになります。また、底面の面積は今までどおり縦×横の式で計算できます。

つまり、

  • 直方体の体積は縦×横×高さ (cm3
  • 立方体の体積は一辺の長さ×一辺の長さ×一辺の長さ(cm3

で求めることができます。

下の問題を見てみましょう。

  • 縦2cm、横3cm、高さ6cmの直方体の体積はいくらになりますか?

という問題があります。

直方体の体積は縦×横×高さなので、2×3×6=36(cm3)と求められます。

異種の量の割合としての数量[編集]

単位量あたりの量[編集]

ここまでで長さを用いて、面積や体積の単位を定めることができました。このとき用いた単位は、長さの単位[cm]だけでした。しかし、実際には長さの単位だけではなく、それ以外の単位との組み合わせで、計られる量も存在します。例えば、次にあげるw:速さ(はやさ)や、w:水溶液(すいようえき)のw:濃度(のうど)、w:都道府県(とどうふけん)のw:人口密度(じんこうみつど)などが挙げられます。

「サッカーボール2つ3000円」と、「サッカーボール5つ8000円」、
どちらが安いでしょうか?

簡単にはどちらが安いのか分かりませんね。


なぜでしょう?


それは、サッカーボールの数が違うからですね。


一方、「サッカーボール1つで1200円」と、「サッカーボール1つで1300円」とであれば、 「サッカーボール1つで1200円」の方が安いということはすぐ分かります。

つまり、サッカーボールの数が違うときは、サッカーボール1つのときの値段を比べれば、どちらが安いか分かるわけです。


このように、「~1つあたりの値段」のようなものを、単位あたりの量といいます。「単位」(たんい)というのは、「基準とする量」のことです。普通は1を基準とします。

(注)「豚肉100gあたり130円」というように、肉の値段の単位は100gです。


上の例の、「サッカーボール2つ3000円」のとき、サッカーボール1つの値段は何円でしょうか?

(円)

(練習問題)

○サッカーボール5個で6000円のとき、サッカーボール1個あたりの値段を求めなさい。

(円)

○サッカーボール1個あたり1000円のとき、3個買うと、全部でいくらですか?

(円)

○1.5ℓのジュースが、180円でした。このジュース1ℓあたりの値段を求めなさい。

(円)

○1ℓあたり130円のジュースを2.3ℓ買いました。全部でいくらでしょう?

(円)

○1.5ℓのジュースが、200円でした。1円あたりジュースを何ℓ買えるでしょう?

(ℓ)

速さ[編集]

ここでは、特にw:速度(そくど)について詳しく考える。 例えば、ある物体1が10秒間に、100mだけ動いたとする。一方、もう1つの物体2は、10秒間に200mだけ動いたとする。このとき、物体2は、ある同じ時間に対して、物体1の2倍だけ動いていることがわかる。つまり、物体2は、物体1よりある時間あたりに動く割合が大きいのである。このようにある時間あたりに動く割合をさす言葉として 速さ(はやさ) という言葉を導入する。w:速さ

速さとは、ある物体がある時間の間に動く距離によって表わされる。例えば、上の例では、物体1は10秒間に、100mだけ動いたので、その速さは、

速さ =100 [m]/10[秒]

で書き表すことが出来る。このように、速さの単位は

[長さ] [時間]

で与えられる。特に多く用いられる単位としては、

[cm/秒]
[m/秒]
[km/時]

などがある。これらは上から

[cm/秒]は「センチメートル毎秒」と読み、
[m/秒]は「メートル毎秒」と読み、
[km/時]は「キロメートル毎時」と読み、

と読む。

また、[km/時]は

時速 ?? キロメートル

などと呼ばれることもあり、これは特に、w:自動車w:電車の速度を表わす単位として慣習的によく用いられる。

時速(じそく) とは、1時間あたりに進む距離(きょり)で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば、一時間に10kmを進む自転車の速さは、時速10kmです。 二時間で14kmを進んだとしたら、時速7kmです。

分速(ふんそく) とは、1分あたりに進む距離(きょり)で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば、時速10kmの速さを分速になおすと

10÷60=0.16666・・・

より、およそ分速0.166kmに、つまり、およそ分速166mになります。

秒速(びょうそく) とは、1秒あたりに進む距離(きょり)で速さをあらわした、速さの単位です。 たとえば秒速15cmを分速になおすと、

15×60=900

なので、よって秒速15cmは、分速900cmです。



これらの表式を用いると、上で得た物体1は、 (問題文  例えば、ある物体1が10秒間に、100mだけ動いたとする。一方、もう1つの物体2は、10秒間に200mだけ動いたとする。)


100 10 [m/秒]
= 10 [m/秒]

の速さで動いており、もう1つの物体2は、

200 10 [m/秒]
= 20 [m/秒]

で動いている。速度を見ると、物体2は物体1より2倍だけ速く動いていることがわかる。

実際には、このときには物体が動く時間が統一されていたので、特に、[m/秒]という単位を導入しなくても、物体の速度を比較することが出来た。しかし、例えば、30秒間に450mだけ動く物体3と、物体1、2の速さを比べるときには、単位をそろえることが重要である。

  • 計算例
    • 問題

あるマラソン選手が42.195 [km]を、2.2[時間]で走り終えた。選手の速度は何[km/時]か?

速度は42.1952.2[km/時]で与えられる。答は、おおよそ19.2 [km/時]となる。


  • いろいろな速さの単位

速さの単位では、よく使うのは、時速や分速や秒速などですが、船や飛行機の速さでは、べつの単位を使うこともあります。


  • ノット

船では ノット という単位を使うこともあります。 1ノットは、およそ時速1.852kmです。 時速をメートルになおせば、1ノットは、およそ時速1852mです。

船の業界には、海里(かいり)という距離の単位があって、その1海里が、約1852mです。

40ノットは

1.852×40=74.08

より、40ノットは時速74kmくらいです。

30ノットは

1.852×30=55.56

より、30ノットは時速56kmくらいです。


  • マッハ

飛行機では、その飛行機の速さが、音(おと)の速さである音速(おんそく)をこえている場合などには マッハ という単位を使う場合もあります。または、音速を超えてなくても、音速にかなり近い場合には、マッハを使う場合があります。

音速の速さは、温度が15℃の時は、だいたい秒速340mです。この秒速340mが マッハ1 です。

マッハ1を秒速340mとした場合、マッハ2は秒速680mということになります。

図形[編集]

小学校算数/5学年では紙に書くことのできる図形を学びました。ここでは色々な立体について学びましょう。(立体・立方体・直方体については量と測定の部分を見てください。)

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柱(ちゅう)とは、同じ平面図形がいくつも重なってできる立体のことです。

  • 四角柱
    同じ形の四角形をたくさん重ねたような形を四角柱(しかくちゅう)と言います。この四角柱のうち、特別なものとして 立方体(りっぽうたい) と 直方体(ちょくほうたい) があります。


立方体
    • 立方体
      さいころのような、すべての面が同じ大きさの正方形である四角柱を 立方体 (りっぽうたい)と言います。
  • 展開図

立体を辺にそって、つながったまま、切り開いたものを 展開図(てんかいず) といいます。 立方体の展開図は、次の11とおりです。

Planificacao cubo.gif

立体の表面の面積のことを 表面積(ひょうめんせき) といいます。

立方体の表面積は、立方体の展開図の面積と等しくなります。

  • 立方体の体積は一辺の長さ×一辺の長さ×一辺の長さ(cm3

で求めることができます。


直方体
    • 直方体
      ふでばこのような同じ大きさの長方形が重なってできた立体を 直方体(ちょくほうたい) と言います。

直方体の表面積は、その直方体の展開図の、各面の面積の合計とおなじです。

直方体の体積は 縦(たて)×横(よこ)×高さ (cm3) で、求められます。

直方体の展開図のうちの一つ

直方体の展開図は11種類あります。

立方体は、直方体のうちの、特別な図形です。立方体は、直方体にふくまれます。 なぜなら、正方形とは、長方形のうちの特別な図形です。正方形は、長方形に含まれます。長方形とは、辺の長さが同じとはかぎらない、直角四角形のことです。なので、べつに辺の長さが同じであっても、いいわけです。なので、長方形の辺の長さが、かならずしも、ちがうとは、かぎりません。

このような考え方から、中学から先の数学では、「長方形のあつまりは、正方形のあつまりをふくむ。」と考える場合が多いです。

同様に、直方体とは、かならずしも、すべての面が、同じとは、かぎらない直角なハコ型の立体のことです。なので、べつに表面が同じ正方形であっても、いいわけです。なので、直方体の辺の長さが、かならずしも、ちがうとは、かぎりません。

このような考え方から、中学から先の数学では、「直方体のあつまりは、立方体のあつまりをふくむ。」と考える場合が多いです。




  • 三角柱
    同じ大きさの三角形が重なってできた立体を三角柱と言います。特にその三角形が正三角形であれば、正三角柱と言います。
  • 円柱
    トイレットペーパーのしんのような同じ大きさの円が積み重なってできた立体を円柱と言います。

錐(すい)[編集]

錐(すい)とは、先がとがっている立体のことです。

  • 三角すい(さんかくすい)
三角すい
  • 底面が三角形で、先が とがっている 立体のことを 三角すい (さんかくすい)と言います。

三角すいには、面が 4個 あります。 三角すいの頂点は 4個 あります。 三角すいには、辺は 6本 あります。

正四面体

三角すいの、すべての辺の長さが等しいものを 正四面体(せいしめんたい) といいます。

正四面体の展開図のうち、展開の仕方のひとつは、つぎのように、なります。 Tetrahedron flat.svg

もうひとつ、正四面体のべつの展開のしかたがあるのですが、画像が見つからないので、必要なら外部のサイトなどで探してください。

  • 四角すい(しかくすい)
四角錐(しかくすい)の例。
  • 底面が四角形で、先が とがっている 立体のことを 四角すい (しかくすい)と言います。

四角すいには、面が 4個 あります。 四角すいの頂点は 5個 あります。 四角すいには、辺は 8本 あります。

四角錐の底面は、四角形の部分です。 四角錐の側面は4つある、三角形の部分です。

角錐の体積は、三角錐も四角錐も、どの角錐でも、

底面積×高さ÷3

です。

なぜ、角錐の体積の式が、こうなるかは、むずかしいので、このまま式を、おぼえてください。

  • 円錐(えんすい)
いろんな、円錐(えんすい)
  • カラーコーンのような底面が円で先がとがっている立体のことを 円すい(えんすい) と言います。

円すいには、面が 2個 あります。

円すいの面のうち、1個は円です。

円すいの展開図


円すいの展開図で、扇形の部分の開いている角度を 中心角(ちゅうしんかく) と言います。

円すいの表面積は、円の面積と、おうぎ形の面積を合わせた合計です。

円すいの、円の面の部分を、底面と言います。 円すいの側面は、展開すると、おうぎ形になる曲面の部分です。

展開したときの、おうぎ形の半径を 母線(ぼせん) と言います。

円錐の側面積は、おうぎ形の面積なので、

(円錐の側面積) = (母線の長さ) × (母線の長さ) × 3.14 × (中心角/360°)

です。

円錐の体積は、

底面積×高さ÷3

です。

なぜ、円錐の体積の式が、こうなるかは、むずかしいので、このまま式を、おぼえてください。

正多面体[編集]

正多面体とは、全ての面が同じ大きさの正多角形からできていて、すべての頂点において接する面の数が等しい立体のことです。以下の5つしかありません。

  • 正四面体
正四面体の対称性
  • 同じ大きさの正三角形が4個集まってできた立体です。
  • 正六面体
正六面体
  • 同じ大きさの正方形が6個集まってできた立体です。立方体とも呼ぶことができます。
  • 正八面体
正八面体
  • 同じ大きさの正三角形が8個集まってできた立体です。
  • 正十二面体
正十二面体
  • 同じ大きさの正五角形が12個集まってできた立体です。
  • 正二十面体
正二十面体
  • 同じ大きさの正三角形が20個集まってできた立体です。

線対称と点対称[編集]

  • 線対称(せんたいしょう)
正三角形と、その対称軸のうちの一本

ある直線を軸として図形をうらがえしたとき、元の図形と重なり合う場合、その図形は 線対称(せんたいしょう) である、というふうに言います。

「対称」の「称」の字を間違えないでください。「対象」ではなく、「対照」でもなく、「対称」です。

また、そのうらがえしの中心の直線を 対称軸(たいしょうじく) と言います。

  • 点対称(てんたいしょう)
点対称な図形の例を4つ。赤い点が、それぞれの図形の、対称の中心。

ある図形を回転させたとき、もとの図形と重なる場合、その図形は 点対称(てんたいしょう) である、というふうに言います。また、その回転の中心の点を 対象の中心(たいしょう の ちゅうしん) と言います。

数量関係[編集]

ここでは、いくつかの数を考え、その間の関係を記述する方法を学ぶ。

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ある2つの数を取ったとき、その間にある関係が存在することがある。 例えば、たくさんあるビー玉を左に3つずつ、右に2つずつ並べて行くことを 考える。

このとき、並べられたビー玉の数は常に左側の方が多い。 また、このときビー玉が増えていく割合が変化しないことから、 両側にあるビー玉のもう片側に対する数の割合も変化しないことが 予想される。

実際、左側のビー玉の数で右側のビー玉の数を割ると、 最初は、左3個、右2個であるので、

が右に対する左の割合として得られる。

次にビー玉を増やしてもう一度計算してみる。 このとき、左6個、右4個であるので、

となり、やはりこのときも右に対する左の割合は変化しない。

さらにもう一度だけビー玉を増やして計算してみる。 このとき、左9個、右6個であるので、

となり、やはりこのときも右に対する左の割合は変化しない。

このように右と左の数の割合が変化しないような情况では、 数の割合をもっとも簡単な仕方で表わしておくと便利である。 今の場合では

が割合として使える。しかし、慣習的にこのような割合を指す記法として

が用いられることが多い。

ここで、

は2対3と読まれ、このような関係を2数の比と呼ぶ。


  • 計算例
    • 問題

15個のクッキーを AさんとBさんの比が

になるように分けたい。 AさんとBさんはそれぞれ何枚受け取ればよいか。

    • 解答

AさんとBさんがそれぞれ2単位、3単位ずつ受け取るとしたら AさんとBさんを合わせたときには5単位受け取ることになる。

実際には、クッキーは15枚あるので、1単位は3枚のクッキーに対応することが 分かる。そのため、Aさんは6枚、Bさんは9枚のクッキーを受け取ることになる。

(

  • NOTE

このような問題は難しく見える場合が多い。実際には多くの場合このような計算は 方程式を用いて計算される。

詳しくは中学校数学 2年生-数量を参照。 )


比を簡単にする[編集]

問題

  • 169:507を簡単にしなさい


このように難しい比になると、よくわかりません。たとえば、この比は大体何対何くらいなのか、まったくわかりませんよね。そこで、比は簡単にすることもできます。

みなさんは、「約分」をしたと思います。約分のルールは、共通因数で割ることでした。比も共通因数で割って簡単にできます。

たとえば、15:3

これを簡単にしてみましょう。

15と3の共通因数は、3です。なので、3で両辺を割ります

15:3=5:1

5と1には共通因数がありませんので、これ以上簡単にはなりません

ちなみに、169:507は、

507=169×3

なので、

1:3になります


比を求める[編集]

問題 次のxにあてはまる数を答えよ

3:x=6:4

答え

xの値を求めることは、実は簡単です。

比には、

外側の項(外項)の積と内側の項(内項)の積は等しい

というルールがあります。

つまり、

a:b=c:d

となっているとき、

ad=bc

です。

これをこの問題に当てはめると、

6x=3×4

これは、上の法則を当てはめたものです

6x=12

つまり、x=2です。

伴って変わる2つの数量[編集]

上で扱ったクッキーの例では左のクッキーの数と右のクッキーの数は 互いに伴って増加していった。このように互いに関連を持って変化する 量は様々なものが考えられる。

例えば、ひもの長さと振り子が戻って来るまでにかかる時間は互いに関連している。 また、一般に家電製品などある程度寿命が長い製品は、発売されてから時間がたつに つれて、値段が下がっていく傾向がある。

ここではこのように、互いに関連しあって変化していく数量の関係を 見ていく。


比例[編集]

代表的な2つの数の関係として、比例関係がある。 比例関係とは、2つの数がある割合を保って増減することである。

例えば、先ほどのクッキーの例のように左の数と右の数が 比3:2を保ちながら変化する場合、2数は比例しているという。

比例関係を持つものは非常に多い。買い物をするときにあるものを買った個数と それらの合計の値段は比例関係にある。ただし、多く買ったときに値段が安くなる ようなものに対してはこの限りではない。もしくは抽選でおまけがつくような 場合にもこのこととははずれることになる。

しかし、大雑把に考えることで、ある2つの関連の無さそうな量が単純な 比例関係があるようにとらえられることもある。例えば、子どもの数と 教育費にかかる値段はおおよそ比例する。


比例の関係を見るために、比例関係にある2数を用いて、表とグラフを 作ってみる。ここでは、ある量ともう1つの量が互いに2倍だけ異なる 比例の表、グラフを作る。

このとき、この比例の表は

比例の表
x 1 2 3 4 5
y 2 4 6 8 10

一方比例のグラフは

  • グラフ

となる。

グラフを見ると分かる通り、比例のグラフは両方が0になる点を通る直線に なる。例えば、1つもものを買わなかった場合、それにかかる値段は当然0円である。 このことは購入にかかる代金と、購入した個数が比例しているために、 満たされている必要がある関係である。

    • 問題

互いの比が1:5であるような比例関係の表とグラフを 小さい方の数が0から10までの範囲で作製せよ。

    • 解答

表は

比例の表
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

となる。

また、グラフは

  • グラフ

となる。

平均[編集]

平均は「へいきん」と読む。平均の意味を、これから説明する。 似たような値が数多く得られたときにそれを代表するような値を 取って、その集団全体の傾向を扱うことがある。 例えば、試験の成績はそのように扱われることが多い。

集団を代表するような値には様々なものがあるが、ここでは平均値を 代表値として取り、これを説明する。

平均値とは各々の数を足して、それを足した数の個数で割ったものである。 例えば、なんらかのゲームを行ないその結果として、

の5つの数が得られたとする。この数値はどれも10から20までにおさまっており、 割合近い数であるといえる。

一方で別の1人が同じことを行ない、

の値を得たものとする。ここでも数値はどれも10から20までにおさまっており、 上の数値とよく似た値であるといえる。

仮に上の結果と下の結果でどちらが優れているかを定めたいと考えたとしよう。 このとき、用いるべき値としてはそれぞれの結果の合計値が考えられる。 実際、それでよいのだが、合計値はしばしば大きい数になり、また1度ごとの 値とも近くない値が現われるため使い勝手がよくない。 そのため、合計値を求めた後それらを足した数で割っておおよそ1回ごとの値と 近い値にする。このようにして得たものが1回ごとの平均値である。

実際に計算を行なってみる。 上の場合では平均値は

となり、最初にゲームを行なった人は おおよそ1回ごとに14点を稼ぎ出すことが分かる。

一方、次にゲームを行なった人は、

となり、おおよそ1回ごとに15点を手に入れることが出来ることがわかる。 このため、このゲームについては上の人より下の人の方が成績がよかったことが 分かる。

ここでは、平均値は整数になったが値によってはこの値は小数や分数に なることもある。このような値は実際のゲームでは出て来ていなかった。 このように平均値は実際の値とは異なった性質を持っていることが あるので、これを代表値として扱う場合には十分な注意が必要である。

  • 計算例
    • 問題

算数の試験を行なったところ、点数は

となった。この試験の平均点は何点か?

    • 解答

平均は各々の数を足して、それを足した数の個数で割ったものなので、 平均点の場合は点数を足して、のべ人数で割ればよい。 具体的には、

を計算すればよい。 実際に計算を行なうと、

が得られる。

よって、試験の平均点は69.25点である。


  • NOTE

このような平均の計算は数が多いと面倒になり易い。現在では パソコンの表計算ソフトを用いてこのような計算を行なうことが多い。 詳しくは高等学校数学B/統計とコンピューター高等学校数学B/数値計算とコンピューター参照。

文字と式[編集]

同じ値段のえん筆を6本買います。

えん筆1本の値段を50円としたとき、式はとなります。

えん筆1本の値段を円、6本の代金を円として、の関係を式に表すと、となります。

えん筆1本の値段をx(エックス)円、6本の代金をy(ワイ)円として、xとyの関係を式に表すと、となります。

x=60のときは、のxに60をあてはめて計算すると、となります。

縮図と拡大図[編集]

拡大と縮小

ある図形を、形をかえないで大きくすることを、その図形を 拡大(かくだい)する といいます。 たとえば右の絵では、上の青い図形を拡大して、下の黒い図形にしています。

拡大された図を 拡大図(かくだいず) と言います。右の絵では、上の青いLを基準(きじゅん)に考えた場合は、下の黒い図のほうが拡大図です。

ある図形を、形をかえないで小さくすることを、その図形を 縮小(しゅくしょう)する といいます。 たとえば右の絵では、下の黒いLの図形を縮小して、上の青い図形にしています。

縮小された図を 縮図(しゅくず) と言います。右の絵では、黒いLを基準に考えた場合は、上のあおい図のほうが縮図です。


Japan sea map.png
Japan satellite.jpg

地図の縮尺(しゅくしゃく)も、縮図のような考え方です。例えば縮尺が25000分の1となっているなら、本物の25000分の1の大きさで、全く同じ形に書いてあります。 また、本などを縮小コピーしたり、拡大コピーしてみましょう。やはり、原稿と同じように印刷されますが、大きさは変わっているはずです。

では、もっと簡単な図形である三角形はどうでしょうか。全く同じ形でも大きさが違う三角形では、どういう共通な性質を持っているでしょうか。

SimilarTriangles.jpg

この2つの三角形は、全く同じ形をしていますが、大きさが違います。この2つの三角形を比べると、次のことが言えます。

  • ∠A = ∠D であり、 ∠B = ∠E であり、 ∠C = ∠F である。
  • AB:DE = BC:EF = CA:FD

このような三角形も拡大と縮小の関係にあります。

三角形ABCを基準に考えてみれば、三角形DEFは、三角形ABCを拡大したものです。 つまり、三角形DEFは、三角形ABCの拡大図です。


三角形DEFを基準に考えてみれば、三角形ABCは、三角形DEFを縮小したものです。 つまり、三角形ABCは、三角形DEFの縮図です。


算数ドリル[編集]

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