数学演習 高等学校II・B/数列 解答

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本項は高等学校数学B/数列の演習用問題の解答を提供する。 問題はこちら

等差数列と等比数列

問題1

(1) $a_{n}=2n+1$

(2) $b_{n}=4^{3-n}$

漸化式と数学的帰納法

問題2

$n=2$のとき、

$(1+k)^{2}-(1+2k)=k^{2}>0$

なので、成り立つ。$n=l$のとき成り立つと仮定すると、

$(1+k)^{l+1}-\{1+(l+1)k\}>(1+lk)(1+k)-(1+lk+k)=lk^{2}>0$

なので、$n=l+1$でも成り立つ。以上より、1より大きいすべての自然数$n$について成り立つ。

（参考：帰納法を用いない証明）

二項定理より

$(1+k)^{n}-(1+kn)=(1+kn+_{n}C_{2}k^{2}+\cdots +k^{n})-(1+kn)=(_{n}C_{2}k^{2}+\cdots +k^{n})>0$